Jarak Titik Dan Bidang Pada Dimensi Tiga

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada bahan sebelumnya kita telah mempelajari Konsep Jarak pada Dimensi Tiga dimana yang dibahas merupakan jarak antara dua titik dan jarak titik ke garis. Pada artikel ini kita lanjutkan pembahasan konsep jarak yaitu Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga. Sebenarnya kami ingin membahas bahan ini menjadi satu dengan bahan konsep jarak sebelumnya, akan tenamun artikelnya menjadi sangat panjang lagi, hal ini akan membuat pembaca cepat bosan. Maka dari itu kita pilah-pilah setiap penghitungan jaraknya dengan menyertakan pola soalnya yang lebih kaya.

         Materi Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga lebih sulit dari pada jarak titik dan garis. Prinsip kerja secara umumnya merupakan kita proyeksikan titik ke bidang yang akan kita cari jaraknya, kemudian kita hitung jaraknya dengan santunan garis pada bidang tersebut. Artinya sesudah itu kita harus mengingat kembali konsep jarak titik ke garis yang sudah dibahas sebelumnya pada artikel konsep jarak pada dimensi tiga. Penting bagi kita juga untuk menguasai bahan Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang semoga memperlancar dalam pengerjaan soal nantinya dan pemahaman materinya.

Jarak Titik ke Bidang pada Dimensi Tiga
       Misalkan X merupakan suatu bidang datar dan titik P merupakan sebuah titik yang berada di luar bidang X. Jarak titik P terhadap bidang X merupakan panjang garis tegak lurus dari titik P ke bidang X. Panjang garis tegak lurus inilah merupakan jarak terpendeknya dari titik P ke bidang X. Perhatikan gambar ilustrasinya berikut ini,

Jarak dari titik P ke bidang X diwakili oleh panjang garis PA, dimana garis PA tegak lurus dengan bidang X dan titik A terletak pada garis k.

Langkah-langkah mengubah jarak titik P ke bidang X menjadi jarak titik P ke garis k :
1). Lukis bidang W yang melalui titik P dan tegak lurus bidang X.
2). Lukis garis k yang merupakan perpotongan antara bidang W dan X.
3). jarak titik P ke bidang X merupakan jarak titik P ke garis k.

Catatan :
       Meskipun yang ingin kita cari merupakan jarak titik ke bidang, tenamun kita tak eksklusif sanggup mencari jaraknya alasannya ialah akan sulit. Untuk memudahkan, kita harus membuat garis santunan yang ada pada bidang, selanjutnya kita akan menghitung jarak titik ke garis tersebut yang merupakan perwakilan dari jarak titik ke bidang yang dicari dan risikonya sama.

Baca Juga:   Konsep Jarak Pada Dimensi Tiga Atau Berdiri Ruang

Contoh soal jarak titik ke bidang :
1). Sebuah kubus KLMN.OPQR terdapat panjang rusuk 6 cm. Perhatikan segitiga KMR, tentukanlah jarak titik N ke bidang KMR ?

Penyelesaian :
*). Kita buat bidang yang melalui titik N dan tegak lurus dengan bidang KMR yaitu bidang NTR menyerupai gambar berikut ini.

*). Dari gambar di atas, jarak titik N ke bidang KMR sama dengan panjang NS dimana NS ada pada garis TR yang merupakan perpotongan kedua bidang KMR dan NTR. dengan kata lain juga, kita cukup mencari jarak titik N ke garis TR. Salah satu cara yang kita gunakan untuk memilih panjang NS dari titik N ke garis TR yaitu perbandingan luas segitiga.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga NTR :
NR = 6 cm,
$ NT = \frac{1}{2} NL = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} $
$ RT = \sqrt{NT^2 + NR^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{18 + 36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} $
*). Menentukan panjang NS dengan luas segitiga :
$ \begin{align} \text{Luas NTR } & = \text{Luas NTR } \\ \frac{1}{2}. RT . NS & = \frac{1}{2}. NT . NR \\ RT . NS & = NT . NR \\ 3\sqrt{6} . NS & = 3\sqrt{2} . 6 \\ NS & = \frac{3\sqrt{2} . 6}{3\sqrt{6} } \\ & = \frac{\sqrt{2} . 6}{\sqrt{6} } \\ & = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak titik N ke bidang KMR merupakan $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

2). Tentukan jarak titik A ke bidang CDHG pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm?
Penyelesaian :

*). Kita buat bidang yang melalui titik A dan tegak lurus dengan bidang CDHG, bidang tersebut merupakan bidang ADHE. Kedua bidang berpotongan pada garis DH, sesampai kemudian jarak A ke bidang CDHG sama dengan jarak titik A ke garis DH.
*). Jarak A ke garis DH = panjang garis AD alasannya ialah AD tegak lurus dengan DH, sesampai kemudian jarak titik A ke garis DH merupakan 6 cm.
Jadi, jarak titik A ke bidang CDHG merupakan 6 cm.

Baca Juga:   Cara Menggambar Atau Melukis Kubus

3). Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH merupakan $ \sqrt{5} \, $ cm. Titik P terletak pada garis AD dengan AP = 2 cm, dan titik Q terletak pada garis EH dengan EQ = 2 cm menyerupai gambar berikut ini.

Tentukan jarak titik A ke bidang PQFB?
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang yang melalui titik A dan tegak lurus dengan bidang PQFB. Bidang tersebut merupakan bidang PAB yang berpetongan di garis BP dengan bidang PQFB. Sesampai kemudian jarak titik A ke bidang PQFB sama saja dengan jarak titik A ke garis BP yaitu panjang garis AN. Perhatikan gambarnya berikut ini,

*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga PAB,
$ PB = \sqrt{AP^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3 $
*). Menentukan panjang AN dengan luas segitiga PAB :
$ \begin{align} \text{Luas PAB } & = \text{Luas PAB } \\ \frac{1}{2}. PB. AN & = \frac{1}{2}. PA.PB \\ PB. AN & = PA.PB \\ 3. AN & = 2.\sqrt{5} \\ AN & = \frac{2}{3}\sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik A ke bidang PQFB merupakan $ \frac{2}{3}\sqrt{5} \, $ cm.

4). Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, P dan Q masing-masing merupakan titik tengah AB dan CD, lagikan R merupakan titik perpotongan EG dan FH. Tentukan arak titik R ke bidang EPQH ?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita gambar dahulu kubus dan titik yang diketahui :

*). Kita buat bidang melalui titik R dan tegak lurus dengan bidang EPQH yaitu bidang PQTS menyerupai gambar berikut ini,

Kedua bidang berpotongan di garis TN, sesampai kemudian jarak titik R ke bidang EPQH sama dengan jarak titik R ke garis TN yaitu panjang garis RM.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga TNR,
NR = 8 cm, TR = 4,
$ TN = \sqrt{TR^2 + NR^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} $
*). Menentukan panjang RM dengan luas segitiga TNR,
$ \begin{align} \text{Luas TNR } & = \text{Luas TNR } \\ \frac{1}{2}. TN. RM & = \frac{1}{2}. NR.TR \\ TN. RM & = NR.TR \\ 4\sqrt{5}. RM & = 8 . 4 \\ \sqrt{5}. RM & = 8 \\ RM & = \frac{8}{5} \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik R ke bidang EPQH merupakan $ \frac{8}{5} \sqrt{5} \, $ cm.

5). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik P merupakan titik tengah rusuk CG. Tentukan jarak titik E ke bidang BPD?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita gambar dahulu kubus dan titik yang diketahui :

*). Kita buat bidang melalui titik E dan tegak lurus dengan bidang BPD yaitu bidang ACGE menyerupai gambar berikut ini,

Kedua bidang berpotongan di garis PM, sesampai kemudian jarak titik E ke bidang BPD sama dengan jarak titik E ke garis PM yaitu panjang garis EN.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga EPM,
$ EM = \sqrt{EA^2 + AM^2} = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 + 32} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} $
$ EP = \sqrt{EG^2 + GP^2} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{128 + 16} = \sqrt{144} = 12 $
$ MP = \sqrt{MC^2 + CP^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{32 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} $
Menggunakan Aturan cosinus,
*). Perhatikan segitiga EMP, kita terapkan hukum cosinus pada sudut M.
$ EP^2 = ME^2 + MP^2 – 2 . ME. MP \cos M \rightarrow \cos M = \frac{ME^2 + MP^2- EP^2}{2 . ME. MP} $.
Menentukan nilai cos M :
$ \begin{align} \cos M & = \frac{ME^2 + MP^2- EP^2}{2 . ME. MP} \\ & = \frac{(4\sqrt{6})^2 + (4\sqrt{3})^2- 12^2}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{96 + 48- 144}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{144- 144}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{0}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ \cos M & = 0 \rightarrow M = 90^\circ \end{align} $
Karena sudut M $ \, = 90^\circ \, $ , maka segitga EMP siku-siku di M sesampai kemudian panjang EN sama dengan panjang EM yaitu $ \, 4\sqrt{6} $ .
Jadi, jarak titik E ke bidang MPD merupakan $ 4\sqrt{6} \, $ cm.

Baca Juga:   Cara Proyeksi Titik, Garis, Dan Bidang

       Menghitung Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga memanglah tak gampang dibandingkan dengan menghitung jarak antara dua titik atau menghitung jarak titik ke garis. Kita harus memilih terlebih dahulu garis yang mewakili bidang sesampai kemudian kita sanggup mencari jarak antara titik ke garis yang mewakili jarak titik ke bidang. Tentu kemampuan menggambar dan mengimajinasikan bidang-bidang dan garis yang terbentuk itulah yang cukup sulit bagi kita. Kuncinya sabar dan terus berlatih dan jangan aib untuk bertanya kepada suapapun yang lebih sanggup daripada kita.OK!