Jenis – Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Posted on
         Pondok Soal.com – Pada rumus ABC sebelumnya , $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \, $ , bentuk $ D = b^2 – 4ac \, $ disebut sebagai nilai Diskriminan. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ sanggup ditentukan menurut nilai Diskriminannya $(D) \, $ . Berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ , persamaan kuadrat terdapat akar-akar maksimal sekaya dua adalah $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ .
Adapun jenis-jenis akar persamaan kuadratnya :

(i). Jika $ D \geq 0 \, , $ maka kedua akarnya positif (real)
(ii). Jika $ D > 0 \, , $ maka kedua akarnya positif (real) dan berbeda
(iii). Jika $ D = 0 \, , $ maka kedua akarnya positif (real) dan sama (kembar)
(iv). Jika $ D < 0 \, , $ maka kedua akarnya tak positif (imajiner) atau tak punya akar real
(v). Jika $ D = p^2 \, $ (dengan $ p \, $ bilangan bulat) , maka kedua akarnya rasional.

      Dari kelima jenis akar di atas, tentu anda resah ya? OK, kami akan terangkan perihal apa itu bilangan real, imajiner dan rasional.

Bilangan Real dan Imajiner

      Misalkan ada bilangan $ a = \sqrt{-1} \, $ , bilangan yang memuat bentuk $ \sqrt{-1} \, $ inilah yang disebut dengan bilangan imajiner. Bentuk $ \sqrt{-1} \, $ biasanya disimbulkan dengan $ i \, $ dengan nilai $ i = \sqrt{-1} \, $ . Sementara bilangan real merupakan bilangan yang tak memuat bentuk $ \sqrt{-1} \, $ . Bilangan real termasuk semua bilangan bulat, pecahan, prima, rasional , irrasional, dan lainnya.
Contoh bilangan imajiner :
(i). $ \sqrt{-3} \, $ , lantaran $ \sqrt{-3} = \sqrt{3.(-1)} = \sqrt{3}.\sqrt{-1}=\sqrt{3}i $
(ii). $ – \sqrt{-1} \, $ , lantaran $ – \sqrt{-1} = – i $

Bilangan Rasional

      Bilangan rasional merupakan bilangan yang sanggup dirubah dalam bentu belahan $ \frac{a}{b} \, $ dengan $ a \, $ dan $ b \, $ bilangan bulat.
pola bilangan rasional :
(i). $ 4 \, $ , lantaran $ 4 = \frac{4}{1} = \frac{8}{2} = \frac{12}{3} = …. $
(ii) . $ \frac{-3}{5} \, $ , jelas lantaran telah berbentuk pecahan.
(iii). $ 0,555555…. \, $ , lantaran $ 0,555555…. = \frac{5}{9} $
sementara bentuk akar bukan bilangan rasional (contoh $\sqrt{2} \, $ ) tenamun disebut bilangan irrasional.

Bilangan Kompleks

      Bilangan kompleks merupakan suatu bilangan yang merupakan hasil adonan dari bilangan real dengan bilangan imajiner atau salah satunya, artinya bilangan kompleks merupakan bilangan yang cakupannya paling luas.
pola bilangan kompleks :
(i). $ 3-\sqrt{-2} \, $ , adonan dari real dan imajiner .
(ii). 2 , bilangan real saja.
(iii). $ \sqrt{-5} \, $ , bilangan imajiner saja.
      Kita kembali pada jenis-jenis akar, menurut nilai diskriminannya ($D$) , akar-akar PK dibagi menjadi lima jenis menyerupai yang tercantum di atas adalah real, real beda, real sama/kembar, imajiner, dan rasional. Untuk lebih terangnya, kita lihat pola berikut.

Contoh 1.

Agar persamaan kuadrat $ 2x^2 -3x + p-1 = 0 \, $ terdapat akar kembar(sama), tentukan nilai $ p \, $ yang memenuhi.
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ PK : $ 2x^2 -3x + p-1 = 0 \rightarrow a = 2, \, b=-3 , \, c = p-1 $
$\spadesuit \, $ Syarat akar kembar : $ D = 0 $
$\begin{align} D = b^2 – 4ac & = 0 \\ (-3)^2 – 4.2.(p-1) & = 0 \\ 9 – 8(p-1) & = 0 \\ 9 – 8p+8 & = 0 \\ 17 – 8p & = 0 \\ 8p & = 17 \\ p & = \frac{17}{8} \end{align}$
Jadi, supaya akarnya kembar nilai $ p = \frac{17}{8} . \heartsuit $

Contoh 2.

Persamaan kuadrat $ x^2 – mx + \left( \frac{1}{2}m+2 \right) = 0 \, $ memiliki akar real (nyata), tentukan nilai $ m \, $ yang memenuhi?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 – mx + \left( \frac{1}{2}m+2 \right) = 0 $
$ a = 1 , \, b = -m, \, c = \frac{1}{2}m+2 $
$\clubsuit \,$ Syarat akar-akar real : $ D \geq 0 $
$\begin{align} D = b^2 – 4ac \geq 0 \\ (-m)^2 – 4.1.\left( \frac{1}{2}m+2 \right) \geq 0 \\ m^2 – 2m-8 \geq 0 \\ (m+2)(m-4) \geq 0 \\ m = -2 \vee m & = 4 \end{align}$

Jadi, nilai $ m \, $ yang memenuhi supaya akar-akarnya real merupakan $ m \leq -2 \vee m \geq 4 \, $ . (menggunakan konsep pertaksamaan). $ \heartsuit $

Baca Juga:   Menentukan Nilai Variabel Dalam Persamaan Kuadrat

      Bagaimana dengan bahan jenis-jenis akar persamaan kuadrat ini, menyenangkan bukan? Untuk pola yang lainnya sanggup dilihat pada soal-soal pendalaman persamaan kuadrat. Secara umum gotong royong jenis-jenis akar dibagi menjadi dua adalah akar real dan akar tak real (imajiner). Kemudian akar-akar real dibagi lagi menjadi akar-akar berbeda, akar-akar sama (kembar), dan akar-akar rasional (atau tak rasional).

      Semoga bahan “jenis-jenis akar” ini sanggup bermanfaat. Terima kasih untuk kunjungannya ke blog ini.