Jumlah Riemann Pada Integral

Posted on

         Pondok Soal.com – Hallow sobat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada artikel kali ini kita akan membahas bahan Jumlah Riemann pada Integral yang terkait pribadi dengan luasan suatu tempat dan bentuk integral tertentu. Sesuai dengan namanya, Riemann merupakan seorang ilmuan berkebangsaan Jerman yang lahir di Breselenz, sebuah desa didekat Danneberg di Kerajaan Hanover di Jerman dengan nama kompleks George Friedrich Bernhard Riemann. Salah satu sumbangsihnya yang masih populer hingga kini merupakan, dia memperkenalkan secara modern perihal definisi integral tentu. Untuk menghormatinya, disebut Intergal Riemann. Pada goresan pena ini akan kita pelajari sedikit ilmu yang telah dijabarkan oleh Riemann. Untuk memudahkan dalam mempelajari bahan ini, teman-teman harus menguasai bahan notasi sigma terlebih dahulu.

Perhatikan tempat yang diarsir berikut ini :

Jika kita diminta untuk menghitung luas tempat yang diarsir di atas, bagaimanakah caranya?
Nah, disinilah wangsit si jenius Rieman keluar. Caranya, Riemann melaksanakan pendekatan dengan membagi tempat arsiran tersebut menjadi sedikit persegi panjang, kemudian semua luas persegi panjang tersebut dijumlahkan menyerupai nampak menyerupai gambar berikut ini.

Dengan notasi sigma, maka sanggup kita hitung jumlah seluruh persegi panjangnya.
Persegi panjang 1 terdapat luas $ A_1 \, $ dengan panjang $\Delta x_1 \, $ dan lebar $ f(x_1) $ .
         dengan $ A_1 = p \times l = f(x_1) \Delta x_1 $
Persegi panjang 2 terdapat luas $ A_2 \, $ dengan panjang $\Delta x_2 \, $ dan lebar $ f(x_2) $ .
         dengan $ A_2 = p \times l = f(x_2) \Delta x_2 $
Persegi panjang 3 terdapat luas $ A_3 \, $ dengan panjang $\Delta x_3 \, $ dan lebar $ f(x_3) $ .
         dengan $ A_3 = p \times l = f(x_3) \Delta x_3 $
dan seterusnya …………..
Persegi panjang 8 terdapat luas $ A_8 \, $ dengan panjang $\Delta x_8 \, $ dan lebar $ f(x_8) $ .
         dengan $ A_8 = p \times l = f(x_8) \Delta x_8 $
Sesampai kemudian luas total persegi panjangnya dinyatakan dalam notasi sigma :
$ \begin{align} A_1 + A_2 + A_3 + … + A_8 & = f(x_1) \Delta x_1 + f(x_2) \Delta x_2 + f(x_3) \Delta x_3 + … + f(x_8) \Delta x_8 \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^8 f(x_i) \Delta x_i \end{align} $

Definisi Jumlah Riemann
       Nilai dari $ \displaystyle \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \, $ disebut sebagai Jumlah Riemann fungsi $ f(x) \, $ dengan $ x_i \, $ merupakan titik wakil pada interval ke-$i \, $ dan $ \Delta x_i \, $ lebar interval ke-$i \, $ dan $ n \, $ kaya subinterval (kayanya persegi panjang yang terbentuk) dari interval $[a,b]$ . Titik wakil $(x_i) \, $ kita peroleh dengan tiga cara adalah titik ujung kiri subinterval, titik tengah subinterval, dan titik ujung kanan subinterval, dimana setiap jenis titik wakil memperlihatkan hasil yang berbeda.

Contoh soal jumlah riemann :
1). Tentukan jumlah Riemann dari fungsi yang diperlihatkan oleh gambar berikut.

Penyelesaian :
*). Menentukan luas persegi panjang masing-masing :
Persegi panjang 1 : panjang = 0,7 , titik wakil $ x_1 = 0,5 \, $
sesampai kemudian lebar $ \, = f(x_1) = f(0,5) = (0,5)^2 – 4 (0,5) + 3 = 1,25 $ .
Luas : $ L_1 = p \times l = 0,7 \times 1,25 = 0,875 $

Persegi panjang 2 : panjang = 1,7 – 0,7 = 1 , titik wakil $ x_2 = 1,5 \, $
sesampai kemudian lebar $ \, = f(x_2) = f(1,5) = (1,5)^2 – 4 (1,5) + 3 = -0,75 = 0,75 $ .
Luas : $ L_2 = p \times l = 1 \times 0,75 = 0,75 $

Persegi panjang 3 : panjang = 2,7 – 1,7 = 1 , titik wakil $ x_3 = 2 \, $
sesampai kemudian lebar $ \, = f(x_3) = f(2) = (2)^2 – 4 (2) + 3 = -1 = 1 $ .
Luas : $ L_3 = p \times l = 1 \times 1 = 1 $

Persegi panjang 4 : panjang = 4 – 2,7 = 1,3 , titik wakil $ x_4 = 3,5 \, $
sesampai kemudian lebar $ \, = f(x_4) = f(3,5) = (3,5)^2 – 4 (3,5) + 3 = 1,25 $ .
Luas : $ L_4 = p \times l = 1,3 \times 1,25 = 1,625 $

*). Menentukan jumlah riemannya :
Jumlah riemann $ \, = L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 0,875 + 0,75 + 1 + 1,625 = 4,25 $
Jadi, jumlah riemann pada gambar merupakan 4,25.

2). Misalkan diketahui suatu fungsi $ f(x) = x $ pada interval [0, 3], tentukan jumlah Riemann dengan memakai 6 subinterval sama panjang dan titik wakilnya :
a). titik ujung kanan subinterval
b). titik tengah subinterval
c). titik ujung kiri subinterval

Penyelesaian :
a). titik ujung kanan subinterval
*). Menentukan panjang setiap subinterval $(\Delta x_i ) $ :
Pada interval [0,3] dibagi menjadi 6 subinterval sama panjang, sesampai kemudian :
$ \Delta x_i = \Delta x = \frac{3-0}{6} = \frac{3}{6} = 0,5 $
Untuk sanggup memilih jumlah Riemann fungsi $ f(x) = x $ dengan 6 subinterval pada selang [0,3], perhatikan grafik fungsi $ f(x) = x $ pada interval [0, 3] dan titik ujung kanan subinterval, berikut:

*). Menentukan titik wakil $(x_i)$ :
Karena yang diminta merupakan titik ujung kanan subinterval, maka nilai $ x_i \, $ yang dipakai merupakan sebelah kanan setiap subintervalnya.
*). Menentukan lebar (tinggi ) masing-masing subinterval dengan fungsi $ f(x) = x $
Subinterval 1 : 0 – 0,5 dengan $ x_1 = 0,5 \rightarrow f(x_1) = f(0,5) = 0,5 $
Subinterval 2 : 0,5 – 1 dengan $ x_2 = 1 \rightarrow f(x_2) = f(1) = 1 $
Subinterval 3 : 1 – 1,5 dengan $ x_3 = 1,5 \rightarrow f(x_3) = f(1,5) = 1,5 $
Subinterval 4 : 1,5 – 2 dengan $ x_4 = 2 \rightarrow f(x_4) = f(2) = 2 $
Subinterval 5 : 2 – 2,5 dengan $ x_5 = 2,5 \rightarrow f(x_5) = f(2,5) = 2,5 $
Subinterval 6 : 2,5 – 3 dengan $ x_6 = 3 \rightarrow f(x_6) = f(3) = 3 $
*). Menentukan jumlah Riemann :
$ \begin{align} \text{Jumlah Riemann } & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x_i \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x \\ & = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + f(x_4) \Delta x + f(x_5) \Delta x + f(x_6) \Delta x \\ & = [ 0,5 + 1 + 1,5 + 2 + 2,5 + 3 ] \times 0,5 \\ & = [ 10,5 ] \times 0,5 \\ & = 5,25 \end{align} $
Jadi, jumlah riemann dengan titik ujung kanan subintervalnya merupakan 5,25.

Baca Juga:   Rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri Dilengkapi Contoh

b). titik tengah subinterval
Untuk sanggup memilih jumlah Riemann fungsi $ f(x) = x $ dengan 6 subinterval pada selang [0,3], perhatikan grafik fungsi $ f(x) = x $ pada interval [0, 3] dan titik tengah subinterval, berikut:

*). Menentukan titik wakil $(x_i)$ :
Karena yang diminta merupakan titik tengah subinterval, maka nilai $ x_i \, $ yang dipakai merupakan nilai tengah setiap subintervalnya.
*). Menentukan lebar (tinggi ) masing-masing subinterval dengan fungsi $ f(x) = x $
Subinterval 1 : 0 – 0,5 dengan $ x_1 = 0,25 \rightarrow f(x_1) = f(0,25) = 0,25 $
Subinterval 2 : 0,5 – 1 dengan $ x_2 = 0,75 \rightarrow f(x_2) = f(0,75) = 0,75 $
Subinterval 3 : 1 – 1,5 dengan $ x_3 = 1,25 \rightarrow f(x_3) = f(1,25) = 1,25 $
Subinterval 4 : 1,5 – 2 dengan $ x_4 = 1,75 \rightarrow f(x_4) = f(1,75) = 1,75 $
Subinterval 5 : 2 – 2,5 dengan $ x_5 = 2,25 \rightarrow f(x_5) = f(2,25) = 2,25 $
Subinterval 6 : 2,5 – 3 dengan $ x_6 = 2,75 \rightarrow f(x_6) = f(2,75) = 2,75 $
*). Menentukan jumlah Riemann :
$ \begin{align} \text{Jumlah Riemann } & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x_i \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x \\ & = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + f(x_4) \Delta x + f(x_5) \Delta x + f(x_6) \Delta x \\ & = [ 0,25 + 0,75 + 1,25 + 1,75 + 2,25 + 2,75 ] \times 0,5 \\ & = [ 9 ] \times 0,5 \\ & = 4,5 \end{align} $
Jadi, jumlah riemann dengan titik ujung kanan subintervalnya merupakan 4,5.

c). titik ujung kiri subinterval
Untuk sanggup memilih jumlah Riemann fungsi $ f(x) = x $ dengan 6 subinterval pada selang [0,3], perhatikan grafik fungsi $ f(x) = x $ pada interval [0, 3] dan titik ujung kiri subinterval, berikut:

*). Menentukan titik wakil $(x_i)$ :
Karena yang diminta merupakan titik ujung kanan subinterval, maka nilai $ x_i \, $ yang dipakai merupakan sebelah kiri setiap subintervalnya.
*). Menentukan lebar (tinggi ) masing-masing subinterval dengan fungsi $ f(x) = x $
Subinterval 1 : 0 – 0,5 dengan $ x_1 = 0 \rightarrow f(x_1) = f(0) = 0 $
Subinterval 2 : 0,5 – 1 dengan $ x_2 = 0,5 \rightarrow f(x_2) = f(0,5) = 0,5 $
Subinterval 3 : 1 – 1,5 dengan $ x_3 = 1 \rightarrow f(x_3) = f(1) = 1 $
Subinterval 4 : 1,5 – 2 dengan $ x_4 = 1,5 \rightarrow f(x_4) = f(1,5) = 1,5 $
Subinterval 5 : 2 – 2,5 dengan $ x_5 = 2 \rightarrow f(x_5) = f(2) = 2 $
Subinterval 6 : 2,5 – 3 dengan $ x_6 = 2,5 \rightarrow f(x_6) = f(2,5) = 2,5 $
*). Menentukan jumlah Riemann :
$ \begin{align} \text{Jumlah Riemann } & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x_i \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x \\ & = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + f(x_4) \Delta x + f(x_5) \Delta x + f(x_6) \Delta x \\ & = [ 0 + 0,5 + 1 + 1,5 + 2 + 2,5 ] \times 0,5 \\ & = [ 7,5 ] \times 0,5 \\ & = 3,75 \end{align} $
Jadi, jumlah riemann dengan titik ujung kanan subintervalnya merupakan 3,75.

Catatan :
Sebenarnya untuk memilih jumlah Riemann, tanpa gambarpun tak apa-apa.

3). Misalkan diketahui suatu fungsi $ f(x) = x^2 $ pada interval [0, 3], tentukan jumlah Riemann dengan memakai 6 subinterval sama panjang dan titik ujung kanan subinterval sebagai titik wakil tiap-tiap subinterval.

Penyelesaian :
*). Menentukan panjang setiap subinterval $(\Delta x_i ) $ :
Pada interval [0,3] dibagi menjadi 6 subinterval sama panjang, sesampai kemudian :
$ \Delta x_i = \Delta x = \frac{3-0}{6} = \frac{3}{6} = 0,5 $
*). Menentukan titik wakil $(x_i) $ dengan membagi menjadi 6 subinterval :
Karena yang diminta merupakan titik ujung kanan subinterval, maka nilai $ x_i \, $ yang dipakai merupakan sebelah kanan setiap subintervalnya.
*). Menentukan lebar (tinggi ) masing-masing subinterval dengan fungsi $ f(x) = x^2 $
Subinterval 1 : 0 – 0,5 dengan $ x_1 = 0,5 \rightarrow f(x_1) = f(0,5) = 0,5^2 = 0,25 $
Subinterval 2 : 0,5 – 1 dengan $ x_2 = 1 \rightarrow f(x_2) = f(1) = 1^2 = 1 $
Subinterval 3 : 1 – 1,5 dengan $ x_3 = 1,5 \rightarrow f(x_3) = f(1,5) = 1,5^2 = 2,25 $
Subinterval 4 : 1,5 – 2 dengan $ x_4 = 2 \rightarrow f(x_4) = f(2) = 2^2 = 4 $
Subinterval 5 : 2 – 2,5 dengan $ x_5 = 2,5 \rightarrow f(x_5) = f(2,5) = 2,5^2 = 6,25 $
Subinterval 6 : 2,5 – 3 dengan $ x_6 = 3 \rightarrow f(x_6) = f(3) = 3^2 = 9 $
*). Menentukan jumlah Riemann :
$ \begin{align} \text{Jumlah Riemann } & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x_i \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x \\ & = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + f(x_4) \Delta x + f(x_5) \Delta x + f(x_6) \Delta x \\ & = [ 0,25 + 1 + 2,25 + 4 + 6,25 + 9 ] \times 0,5 \\ & = [ 22,75 ] \times 0,5 \\ & = 11,375 \end{align} $
Jadi, jumlah riemann dengan titik ujung kanan subintervalnya merupakan 11,375.

Baca Juga:   Teknik Integral Parsial

         Perhatikan ketiga gambar luasan berikut ini.

Misalkan kita diminta untuk menghitung luas sesungguhnya suatu tempat menyerupai gambar (c) di atas, maka kita sanggup memakai jumlah riemann dengan membentuk $ n \, $ subinterval dengan $ n \, $ mendekati tak hingga kemudian. Dari gambar (a), nampak masih ada sedikit tempat yang belum terkover oleh persegi panjang yang dibuat, tempat pada gambar (b) juga demikian belum tercover semuanya. Tapi apabila nilai $ \Delta x \, $ nya semakin kecil (atau kaya subintervalnya hingga tak hingga kemudian), maka akan terbentuk tempat menyerupai gambar (c) yang artinya luas sesungguhnya sudah sanggup kita hitung.

Luas Suatu Daerah dengan Jumlah Riemann
       Misalkan kita akan menghitung luas suatu tempat yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) \, $ pada selang interval [a,b] dengan membagi menjadi $ n \, $ subinterval ($n \, $ menuju tak hingga kemudian), maka akan kita peroleh luas sesungguhnya dengan perhitungan :
              Luas $ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \, $
dengan $ \Delta x_i = \Delta x = \frac{b-a}{n} $ .
penulisan lainnya : $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i = \int \limits_a^b f(x) dx \, $

Catatan :
Bentuk $ \int \limits_a^b f(x) dx \, $ inilah yang disebut sebagai integral Tentu fungsi $ f(x) \, $ pada interval [a,b] .

Untuk memudahkan dalam pengerjaan jumlah riemann, sebaiknya kita pelajari rumus umum notasi sigma berikut ini :
i). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k = 1 + 2 + 3 + … + n = \frac{1}{2}n(n+1) $
ii). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $
iii). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3 = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 $

Baca juga penyelesaian limit tak hingga kemudian.

Contoh Soal :
4). Misalkan diberikan suatu fungsi $ f(x) = x $, tentukan integral tentu dari $ f(x) = x $ pada interval [0, 3] atau $ \int \limits_0^3 x dx $

Penyelesaian :
*). Interval yang diminta [a,b]=[0,3]
*). Menentukan nilai $ \Delta x_i = \Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{3-0}{n} = \frac{3}{n} $
*). Menentukan bentuk umum dari $ f(x_i) $
$ x_1 = 0 + \Delta x = 0 + \frac{3}{n} = \frac{1 \times 3}{n} $
$ x_2 = 0 + 2\Delta x = 0 + \frac{2 \times 3}{n} = \frac{2 \times 3}{n} $
$ x_3 = 0 + 3\Delta x = 0 + \frac{3 \times 3}{n} = \frac{3 \times 3}{n} $
dan seterusnya ……..
$ x_i = 0 + i \Delta x = 0 + \frac{i \times 3}{n} = \frac{i \times 3}{n} $
Untuk bentuk $ f(x) = x \, $ , maka $ f(x_i) = \frac{i \times 3}{n} $
*). Menentukan jumlah riemannya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{i \times 3}{n} \frac{3}{n} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n i \times \frac{9}{n^2} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^2} \sum_{i=1}^n i \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan rumus notasi sigma)} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^2} [\frac{1}{2}n(n+1)] \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{9}{2}n(n+1)}{n^2} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{9}{2}n^2 + \frac{9}{2}n }{n^2} \\ & = \frac{9}{2} \end{align} $
Sesampai kemudian nilai dari $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i = \int \limits_0^3 x dx = \frac{9}{2} $

5). Misalkan diberikan suatu fungsi $ f(x) = x^2 $, tentukan integral tentu dari $ f(x) = x^2 $ pada interval [0, 2] atau $ \int \limits_0^2 x^2 dx $

Penyelesaian :
*). Interval yang diminta [a,b]=[0,2]
*). Menentukan nilai $ \Delta x_i = \Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n} $
*). Menentukan bentuk umum dari $ f(x_i) $
$ x_1 = 0 + \Delta x = 0 + \frac{2}{n} = \frac{1 \times 2}{n} $
$ x_2 = 0 + 2\Delta x = 0 + \frac{2 \times 2}{n} = \frac{2 \times 2}{n} $
$ x_3 = 0 + 3\Delta x = 0 + \frac{3 \times 2}{n} = \frac{3 \times 2}{n} $
dan seterusnya ……..
$ x_i = 0 + i \Delta x = 0 + \frac{i \times 2}{n} = \frac{i \times 2}{n} $
Untuk bentuk $ f(x) = x^2 \, $ , maka $ f(x_i) = \left( \frac{i \times 2}{n} \right)^2 = \frac{4}{n^2} \times i^2 $
*). Menentukan jumlah riemannya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{4}{n^2} \times i^2 \frac{2}{n} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n i^2 \times \frac{8}{n^3} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2 \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan rumus notasi sigma)} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^3} \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^3} \frac{1}{6}(2n^3 + 3n^2 + n) \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n^3} \frac{1}{3}(2n^3 + 3n^2 + n) \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8n^3 + 12n^2 + 4n}{3n^3} \\ & = \frac{8 }{3 } \end{align} $
Sesampai kemudian nilai dari $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i = \int \limits_0^2 x^2 dx = \frac{8}{3} $

Baca Juga:   Pengertian, Rumus Dasar Dan Sifat-Sifat Integral Tentu

6). Nyatakan limit berikut sebagai suatu integal tentu :
a). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{4i}{n}} \frac{4}{n} $
b). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left( 1 + \frac{2i}{n} \right) \frac{2}{n} $
c). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \cos (\frac{\pi}{n}) + \cos (\frac{2\pi}{n}) + \cos (\frac{3\pi}{n}) + … + \cos (\frac{n\pi}{n}) \right) $

Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{4i}{n}} \frac{4}{n} $
*). Berdasarkan rumus : $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \, $ maka :
*). $ \Delta x_i = \frac{b-a}{n} = \frac{4}{n} \rightarrow b – a = 4 $
dengan $ a = 0 \, $ maka $ b – a = 4 \rightarrow b – 0 = 4 \rightarrow b = 4 $.
*). Bentuk $ x_i = i \Delta x_i = i \frac{4}{n} = \frac{4i}{n} $
$ f(x_i) = \sqrt{\frac{4i}{n}} = \sqrt{x_i} \, $ artinya $ f(x) = \sqrt{x} $.
*). Bentuk integral tentunya :
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{4i}{n}} \frac{4}{n} = \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_0^4 \sqrt{x} dx $
Jadi, bentuk integral tentunya merupakan $ \int \limits_0^4 \sqrt{x} dx $ .

b). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left( 1 + \frac{2i}{n} \right) \frac{2}{n} $
Dari soal ini, bentuk $ 1 + \frac{2i}{n} \, $ , artinya $ x_i = a + i \Delta x_i \, $ , sesampai kemudian $ a = 1 $
*). Berdasarkan rumus : $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \, $ maka :
*). $ \Delta x_i = \frac{b-a}{n} = \frac{2}{n} \rightarrow b – a = 2 $
dengan $ a = 1 \, $ maka $ b – a = 2 \rightarrow b – 1 = 2 \rightarrow b = 3 $.
*). Bentuk $ x_i = a + i \Delta x_i = 1 + i \frac{2}{n} = 1 + \frac{2i}{n} $
$ f(x_i) = \left( 1 + \frac{2i}{n} \right) = (x_i) \, $ artinya $ f(x) = x $.
*). Bentuk integral tentunya :
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left( 1 + \frac{2i}{n} \right) \frac{2}{n} = \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_1^3 x dx $
Jadi, bentuk integral tentunya merupakan $ \int \limits_1^3 x dx $ .

c). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \cos (\frac{\pi}{n}) + \cos (\frac{2\pi}{n}) + \cos (\frac{3\pi}{n}) + … + \cos (\frac{n\pi}{n}) \right) $

*). Kita jadikan bentuk notasi sigma :
$ \displaystyle \frac{1}{n} \left( \cos (\frac{\pi}{n}) + \cos (\frac{2\pi}{n}) + \cos (\frac{3\pi}{n}) + … + \cos (\frac{n\pi}{n}) \right) = \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \cos \pi (\frac{i}{n}) $
*). Sesampai kemudian soal yang akan kita ubah merupakan $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \cos \pi (\frac{i}{n}) $
*). Berdasarkan rumus : $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \, $ maka :
*). $ \Delta x_i = \frac{b-a}{n} = \frac{1}{n} \rightarrow b – a = 1 $
dengan $ a = 0 \, $ maka $ b – a = 1 \rightarrow b – 0 = 1 \rightarrow b = 1 $.
*). Bentuk $ x_i = i \Delta x_i = i \frac{1}{n} = \frac{i}{n} $
$ f(x_i) = \cos \pi (\frac{i}{n}) = \cos \pi (x_i) \, $ artinya $ f(x) = \cos \pi x $.
*). Bentuk integral tentunya :
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \cos \pi (\frac{i}{n}) = \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_0^1 \cos \pi x dx $
Jadi, bentuk integral tentunya merupakan $ \int \limits_0^1 \, \cos \pi x \, dx $ .

       Bagaimana dengan bahan Jumlah Riemann yang ada pada artikel ini? Pasti seru dan menyenangkan yah!!!^_^!!! . Untuk penghitungan bentuk integral tentu, kita tak perlu memakai jumlah riemann menyerupai contoh di atas. Cara pengerjaannya kita memakai Teorema Fundamental Kalukulus II, dengan cara ini akan memudahkan kita dalam mengerjakan semua bentuk integral tertentu.

       Kita harus bersyukur dengan lahirnya ilmuan Jerma (Riemann) ini, dengan sumbangsih pengetahuannya kita sanggup mempelajari dan sanggup menghitung luas suatu tempat dengan jumlah Riemann. Meskipun ilmu terus berkembang sedemikian pesat, hasil fatwa dia tetap menjadi salah satu teladan bagi kita terutama yang mendalami bahan matematika.