Kecepatan Dan Percepatan Memakai Turunan

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada materi sebelumnya kita mempelajari laju perubahan sesaat pada artikel “Penerapan Limit pada Laju Perubahan“. Untuk melanjutkan pembahasan materi laju perubahan, pada artikel kali ini kita akan membahas Kecepatan dan Percepatan Menggunakan Turunan yang tentu ada kaitannya dengan laju perubahan juga. Khusus untuk percepatan, kita akan memakai konsep “turunan kedua“. Namun jangan lupa juga membaca materi “turunan fungsi aljabar” ya, alasannya yaitu kita akan menurunkan bentuk fungsi aljabar pada materi ini.

Menentukan Kecepatan Menggunakan Turunan
       Jika $ s = f(t) \, $ menyatakan persamaan gerak dari suatu benda sepanjang garis lurus, dengan $ s \, $ merupakan perpindahan atau jarak eksklusif benda dari titik awal pada waktu $ t $ . Fungsi $ f \, $ yang menggambarkan gerakan disebut fungsi posisi benda. Pada selang waktu dari $ t = c \, $ hingga dengan $ t = c + h \, $ , perubahan posisi merupakan $ f(c+h) – f(c) \, $ menyerupai gambar berikut,

Kecepatan rata-rata pada selang waktu ini merupakan
kecepatan rata-rata $ = \frac{\text{perpindahan}}{\text{waktu}} = \frac{f(c+h) – f(c) }{h} $

       Misalkan kita akan menghitung untuk selang waktu yang sangat kecil ($h \, $ mendekati 0), maka kita memperoleh yang namanya kecepatan sesaat untuk $ t = c $ ,
Kecepatan sesaat $ = v(c) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(c+ h ) – f(c)}{h} $
yang tak lain bentuk ini merupakan turunan pertama pada fungsi $ s= f(t) \, $ yaitu $ f^\prime (c) \, $ apabila nilai limitnya ada.

       Dapat disimpulkan bahwa kecepatan suatu fungsi $ s(t) = f(t) \, $ pada waktu $ t \, $ tertentu merupakan : $ v(t) = s^\prime (t) \, $ atau $ v(t) = f^\prime (t) $

       Secara fisis, kecepatan sesaat gerak benda pada waktu $ t \, $ tertentu merupakan $ f^\prime (t) \, $. Sedangkan laju perubahan sesaat benda didefinisikan sebagai nilai mutlak besarnya kecepatan sesaat, ditulis laju $ = |v(t)| = |f^\prime (x) | = |s^\prime (t)| $ . Kecepatan sesaat sanggup bernilai positif atau negatif tergantung benda bergerak dalam arah positif atau arah negatif. Jika kecepatan sesaat nilainya nol, maka benda dalam keadaan diam.

Menentukan Percepatan Menggunakan Turunan
       Laju perubahan sesaat dari kecepatan disebut percepatan sesaat. Misalkan benda bergerak mengikuti fungsi gerak $ s = f(t), \, $ dengan kecepatan sesaat pada $ t \, $ tertentu merupakan $ v \, $ dan percepatannya merupakan $ a \, $ . Percepatan ($a$) merupakan turunan pertama dari $ v \, $ terhadap $ t \, $ atau percepatan merupakan turunan kedua dari $ s \, $ terhadap $ t $ .
Percepatannya : $ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 s}{dt^2} = v^\prime = s^{\prime \prime } $ .
Baca Juga:   Aturan Rantai Turunan Fungsi

       Dari definisi percepatan ini sanggup kita simpulkan bahwa apabila $ a > 0 \, $ maka $ v \, $ bertambah , apabila $ a < 0 \, $ maka $ v \, $ berkurang , dan apabila $ a = 0 \, $ maka $ v \, $ tak berubah.

Hubungan kelajuan, kecepatan, dan percepatan
       Laju benda pada $ t \, $ detik merupakan $ |v| $, sesampai kemudian kekerabatan laju, kecepatan, dan percepatannya yaitu :
i). apabila $ v \geq 0 \, $ dan $ a > 0 \, $ , maka laju bertambah,
ii). apabila $ v \geq 0 \, $ dan $ a < 0 \, $ , maka laju berkurang,
iii). apabila $ v \leq 0 \, $ dan $ a > 0 \, $ , maka laju berkurang,
iv). apabila $ v \leq 0 \, $ dan $ a < 0 \, $ , maka laju bertambah.

Contoh :
1). Suatu benda bergerak sepanjang garis mendatar mengikuti persamaan :
$ s (t) = t^3 – 3t^2 + 5 \, $ , dengan jarak satuan meter dan $ t \, $ detik.
Tentukan :
a). Kecepatan dan percepatan dalam $ t $ ,
b). Kecepatan dan percepatan ketika $ t = 3 \, $ detik ,
c). Kapankah benda tersebut berhenti atau diam.
Penyelesaian :
a). Menentukan kecepatan dan percepatan,
Fungsi : $ s (t) = t^3 – 3t^2 + 5 $
Kecepatan : $ v(t) = s^\prime (t) = 3t^2 – 6t $
Percepatan : $ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t – 6 $

b). Kecepatan dan percepatan ketika $ t = 3 $ :
Kecepatan : $ v(t) = 3t^2 – 6t \rightarrow v(3) = 3.3^2 – 6.3 = 9 \, $
Sesampai kemudian kecepatannya merupakan 9 m/detik.
Percepatan : $ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t – 6 \rightarrow a(3) = 6.3 – 6 = 12 $
Sesampai kemudian percepatannya merupakan 12 m/detik$^2$.

c). Benda akan berhenti ketika kecepatannya nol,
$ v(t) = 0 \rightarrow 3t^2 – 6t = 0 \rightarrow 3t(t-2) = 0 \rightarrow t = 0 \vee t = 2 $
Jadi, benda berhenti atau membisu pada ketika $ t = 2 \, $ detik.

2). Sebuah bola dilemparkan vertikal ke atas dari tanah dengan kecepatan awal 80 m/detik. Jika arah positif diambil ke atas, persamaan gerak merupakan $ s(t) = -16t^2 + 80t \, $ . Misalkan $ t $ menyatakan waktu semenjak bola dilemparkan dinyatakan dalam detik, dan $ s $ jarak bola dari titik awal dinyatakan dalam meter pada ketika $ t $ detik. Tentukan :
a). kecepatan dan percepatan sesaat bola sesudah 2 detik,
b). waktu yang diharapkan bola untuk mencapai titik tertinggi,
c). waktu dan kecepatan yang diharapkan bola untuk menyentuh tanah kembali.
Penyelesaian :
*). Menentukan kecepatan dan percepatan dari fungsi : $ s(t) = -16t^2 + 80t $
Kecepatan : $ v(t) = s^\prime (t) = -32t + 80 $
Percepatan : $ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = -32 $

Baca Juga:   Definisi Turunan Fungsi Secara Umum

a). kecepatan dan percepatan sesaat $ t = 2 $
Kecepatan : $ v(2) = -32.2 + 80 = 16 $
Percepatan : $ a(2) = -32 $
artinya sesudah 2 detik bola naik dengan kecepatan sesaat 16 meter/detik dan percepatan -32 meter/detik$^2$.

b). Bola mencapai titik tertinggi ketika benda berhenti yaitu ketika kecepatannya nol.
$ v(t) = 0 \rightarrow -32t + 80 = 0 \rightarrow t = \frac{80}{32} = 2,5 $
artinya bola mencapai titik tertinggi ketika $ t = 2,5 \, $ detik atau waktu yang diharapkan bola untuk mencapai titik tertinggi merupakan 2,5 detik.

c). Bola akan kembali ke tanah pada ketika $ s(t) = 0 $
$ s(t) = 0 \rightarrow -16t^2 + 80t = 0 \rightarrow 16t(-t + 5) = 0 \rightarrow t = 0 \vee t = 5 $
artinya bola mencapai tanah lagi setalah waktunya 5 detik.
Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tanah juga sanggup dihitung dengan 2 kali dari waktu yang dibutuhkan untuk mencapai titik tertinggi, yaitu $ 2 \times 2,5 = 5 \, $ detik.

Berikut tabel waktu, jarak dan kecepatan bola dan gambar lintasan yang dilalui oleh bola :

3). Suatu benda bergerak sepanjang garis mendatar mengikuti persamaan $ s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t + 4 \, $ dengan $ s $ diukur dalam sentimeter dan $ t $ dalam detik. Tentukanlah :
a). Kecepatan dan percepatan dalam $ t $ ,
b). interval waktu ketika benda bergerak ke kanan dan ke kiri serta tentukan perubahan kelajuannya,
c). kapan benda berbalik.
Penyelesaian :
a). Menentukan kecepatan dan percepatan dari fungsi : $ s(t) = -16t^2 + 80t $
Kecepatan : $ v(t) = s^\prime (t) = 3t^2 – 12t + 9 $
Percepatan : $ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t – 12 $

b). Benda membisu ketika kecepatannya nol,
$ v(t) = 0 \rightarrow 3t^2 – 12t + 9 = 0 \rightarrow 3(t – 1)(t – 3) = 0 \rightarrow t = 1 \vee t = 3 $ .
artinya benda membisu ketika $ t = 1 \, $ dan $ t = 3 $ .
*). Benda bergerak ke kanan apabila kecepatan ($v$) positif, dan benda bergerak ke kiri apabila kecepatan ($v$) negatif.
*). Perubahan laju bergantung dari percepatan dan kecepatannya, laju akan tetap ketika percepatannya nol,
$ a(t) = 0 \rightarrow 6t – 12 = 0 \rightarrow t = 2 $ ,
artinya laju tetap pada ketika $ t = 2 $ .
Untuk memudahkan memilih arah benda dan perubahan lajunya, kita buat tabel berikut ini :

Dari tabel ini kita sanggup amati bahwa :
Benda bergerak ke kanan pada interval : $ 0 < t < 1 \, $ atau $ t > 3 $
Benda bergerak ke kiri pada interval : $ 1 < t < 3 $

Baca Juga:   Turunan Fungsi Trigonometri

c). Dari tabel juga sanggup kita amati perubahan arah benda yaitu ketika $ t = 1 \, $ benda berbalik arah dari kanan ke kiri dan ketika $ t = 3 \, $ benda berbalik arah dari kiri ke kanan. Untuk lebih terangnya, perhatikan gambaran gambar berikut yang menggambarkan arah gerak benda.