Kedudukan Dua Lingkaran

Posted on

         Pondok Soal.comKedudukan Dua Lingkaran maksudnya posisi kedua bulat yang dibagi menjadi sedikit jenis. Untuk memudahkan mempelajari bahan kedudukan dua lingkaran, sebaiknya kita menguasai dahulu bahan “persamaan lingkaran” dan “jarak dua titik” yang sanggup dipelajari pada bahan “irisan kedua lingkaran“.

Penjabaran Kedudukan Dua Lingkaran
       Jika terdapat dua bulat masing-masing bulat $L_1 $ berpusat di $ P $ dengan jari-jari $ R $ dan bulat $ L_2 $ berpusat di $ Q $ dengan jari-jari $ r $ di mana $ R > r $ maka terdapat sedikit kedudukan bulat sebagai berikut.

i). $L_2$ terletak di dalam $L_1$ dengan $P$ dan $Q$ berimpit, Syarat : $PQ = 0$. Dalam hal ini dikatakan $L_2$ terletak di dalam $L_1$ dan konsentris (sepusat).

ii). $L_2 $ terletak di dalam $L_1$ , syarat : $ PQ < r < R $ atau $ PQ < R – r $. Dalam hal ini dikatakan $L_2 $ terletak di dalam $ L_1 $ yang disebut juaga tak konsentris.

iii). $L_1$ dan $L_2 $ bersinggungan di dalam, syaratnya : $ PQ = R – r $

iv). $L_1 $ berpotongan dengan $L_2 $ , syaratnya : $ R – r < PQ < R + r. $

v). $L_1$ dan $L_2 $ bersinggungan di luar, syaratnya : $ PQ = R + r $

vi). $L_1$ terletak di luar $L_2$ , syaratnya : $ PQ > R + r $, sesampai kemudian $L_1 $ dan $L_2$ saling terpisah.

vii). $L_1$ ortogonal (tegak lurus) $L_2$ , syaratnya : $ PQ^2 = R^2 + r^2 $ .

viii). $L_1$ berpotongan $L_2$ sempurna pada diameter salah satu bulat (membagi dua bab sama besar ialah diameter garis warna merah), syaratnya : $ PQ^2 = R^2 – r^2 $ .

Keterangan : $ PQ = \, $ jarak titik $ P \, $ dan $ Q $.

Catatan : Untuk memilih kedudukan dua lingkaran, kita hitung dahulu jari-jari dan titik sentra masing-masing lingkaran, kemudian kita hitung jarak kedua titik pusat, kemudian cek apakah jarak sentra dan jari-jari masing-masing memenuhi jenis kedudukan yang mana menyerupai syarat di atas yang ada 8 syarat.

Baca Juga:   Rangkuman Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran

Contoh :
1). Tentukan kedudukan bulat $ L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25 \, $ dan linkaran $ L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9 $.
Penyelesaian :
*). Menentukan jari-jari dan sentra masing-masing lingkaran.
$ L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25 $
Jari-jari : $ r^2 = 25 \rightarrow r = 5 \, $ sebagai $ R = 5 $
Pusat bulat : $ A (a,b) = A(1,-3) $

$ L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9 $
Jari-jari : $ r^2 = 9 \rightarrow r = 3 $
Pusat bulat : $ B (a,b) = B(-2,1) $
*). Jarak titik sentra kedua bulat : $ AB $
jarak titik A(1,-3) dan B(-2,1)
$ AB = \sqrt{(-2-1)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
*). Cek kedudukan kedua lingkaran, $ AB = 5, \, R = 5, \, r = 3 $
$ AB = 0 \, $ (tak memenuhi)
$ AB < r < R \, $ (tak memenuhi)
$ AB = R – r \, $ (tak memenuhi)
$ R – r < AB < R + r \, $ (memenuhi)
$ AB = R + r \, $ (tak memenuhi)
$ AB > R + r \, $ (tak memenuhi)
$ AB^2 = R^2 + r^2 \, $ (tak memenuhi)
$ AB^2 = R^2 – r^2 \, $ (tak memenuhi)
Karena yang memenuhi $ R – r < AB < R + r \, $ , maka kedua bulat berpotongan.!
Untuk lebih teranganya, berikut gambar kedua lingkarannya :

Untuk lebih memantapkan pemahaman wacana kedudukan dua lingkaran, sebaiknya teman-teman juga membaca artikel “variasi soal kedudukan dua lingkaran“.

Menentukan titik potong atau titik singgung dua bulat
       Langkah-langkah memilih titik potong atau titik singgung kedua lingkaran, ialah :
*). Eliminasi kedua persamaan bulat sesampai kemudian terbentuk persamaan garis.
*). Substitusi persamaan garis yang ada ke salah satu lingkaran, kemudian tentukan nilai $ x \, $ dan $ y $ .

Contoh :
2). Tentukan titik potong kedua bulat pada soal nomor 1 di atas.
Penyelesaian :
*). Menjabarkan kedua persamaan lingkaran.
$ L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25 \rightarrow x^2 + y^2 – 2x + 6y = 15 $
$ L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9 \rightarrow x^2 + y^2 + 4x + -2y = 4 $
*). Eliminasi kedua persamaan bulat ,
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 – 2x + 6y = 15 & \\ x^2 + y^2 + 4x + -2y = 4 & – \\ \hline -6y + 8y = 11 & \end{array} $
*). Substitusi garis ke bulat kedua
$ -6x + 8y = 11 \rightarrow y = \frac{1}{8}(11 + 6x) $
$\begin{align} x^2 + y^2 + 4x + -2y & = 4 \\ x^2 + [\frac{1}{8}(11 + 6x)]^2 + 4x + -2[\frac{1}{8}(11 + 6x)] & = 4 \\ x^2 + \frac{1}{64}(36x^2 + 132x + 121) + 4x -\frac{2}{8}(11 + 6x) & = 4 \, \, \, \, \text{(kali 64)} \\ 64x^2 + (36x^2 + 132x + 121) + 256x -16(11 + 6x) & = 256 \\ 64x^2 + (36x^2 + 132x + 121) + 256x -171 – 96x & = 256 \\ 100x^2 + 292x – 306 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 50x^2 + 146x – 153 & = 0 \\ a = 50, \, b = 146, \, c & = -153 \end{align} $
Gunakan rumus ABC : $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4.a.c}}{2a} \, $ pada persamaan kuadrat.
$\begin{align} 50x^2 + 146x – 153 & = 0 \\ a = 50, \, b = 146, \, c & = -153 \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4.a.c}}{2a} \\ x & = \frac{-146 \pm \sqrt{146^2 – 4.50.(-153)}}{2.50} \\ x & = \frac{-146 \pm \sqrt{51916}}{100} \\ x & = \frac{-146 \pm 227,8}{100} \\ x & = \frac{81,8}{100} \\ x_1 & = 0,818 = 0,8 \\ x & = \frac{-146 – 227,8}{100} \\ x & = \frac{-373,8}{100} \\ x_2 & = -3,738 = -3,7 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ x $ ke persamaan garis $ y = \frac{1}{8}(11 + 6x) $
$ x_1 = 0,8 \rightarrow y_1 = \frac{1}{8}(11 + 6x) = \frac{1}{8}(11 + 6(0,8)) = 1,98 $
$ x_2 = -3,7 \rightarrow y_2 = \frac{1}{8}(11 + 6x) = \frac{1}{8}(11 + 6(-3,7)) = -1,4 $
Jadi, titik potong kedua bulat merupakan (0.8 , 1.98) dan (-3.7 , -1.4).