Kedudukan Garis Terhadap Elips

Posted on

         Pondok Soal.com – Selain bahan “kedudukan titik terhadap elips” yang berkaitan pribadi dengan “persamaan elips” ialah “persamaan garis singgung elips“, bahan Kedudukan Garis terhadap Elips juga sebagai landasan dalam mempelajari bahan persamaan garis singgung elips. Kedudukan Garis terhadap Elips caranya hampir sama dengan bahan sebelumnya yang sudah kita pelajari ialah “kedudukan garis terhadap parabola“. Kedudukan Garis terhadap Elips ada tiga jenis kecukupan ialah pertama : garis memotong kurva elips di dua titik yang berbeda, kedua : garis menyinggung elips (memotong elips di satu titik), dan ketiga : merupakan garis tak memotong kurva elips. Untuk mengetahui dari ketiga jenis kedudukan garis terhadap elips tersebut, masing-masing terdapat syarat tertentu yang tergantung dari nilai Diskriminannya ($ D$) yang biasa kita pelajari pada bahan persamaan kuadrat atau fungsi kuadrat dengan rumus $ D = b^2 -4ac $ . Berikut ilustrasi ketiga jenis Kedudukan Garis terhadap Elips dalam bentuk ringkasan gambar.

         Materi-materi dasar yang harus kita kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan mempelajari bahan Kedudukan Garis terhadap Elips ini ialah “persamaan elips“, “persamaan garis lurus“, dan “penyelesaian pertaksamaan“. Berikut penterangan syarat-syarat Kedudukan Garis terhadap Elips.

Syarat Kedudukan Garis terhadap Elips
       Perhatikan gambar di atas, ada tiga syarat dalam memilih kedudukan garis terhadap elips ialah :
a). Jika nilai $ D > 0 $ , maka garis memotong elips di dua titik yang berbeda,
b). Jika nilai $ D = 0 $ , maka garis menyinggung elips (memotong di satu titik) ,
c). Jika nilai $ D < 0 $ , maka garis tak memotong elips.

Langkah-langkah dalam memilih kedudukan garis terhadap elips :
1). Substitusi garis ke elips sesampai kemudian terbentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx+ c = 0 $ atau $ ay^2 + by + c = 0 $ ,
2). Tentukan nilai $ D $ (Diskriminan) dengan rumus $ D = b^2 – 4ac $,
3). Dari langkah (2), nilai $ D $ yang kita peroleh kita cocokkan dengan syarat kududukan garis terhadap elips di atas.

Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Elips :

1). Tentukan kedudukan garis $ y = x + 2 $ terhadap elips $ \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{(y -2)^2}{4} = 1 $
Penyelesaian :
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{(y -2)^2}{4} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{((x+2) -2)^2}{4} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{x^2}{4} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 64)} \\ 64 \times \frac{(x+1)^2}{16} + 64 \times\frac{x^2}{4} & = 1 \times 64 \\ 4(x+1)^2 + 16x^2 & = 64 \\ 4(x^2 + 2x + 1) + 16x^2 & = 64 \\ 4x^2 + 8x + 4 + 16x^2 & = 64 \\ 20x^2 + 8x – 60 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 5x^2 + 2x – 15 & = 0 \\ a = 5 , b = 2 , c & = -15 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 – 4ac = (2)^2 – 4. 5. (-15) = 4 + 300 = 304 $
*). Karena nilai $ D = 304 > 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap elips, garis $ y = x + 2 $ memotong elips $ \frac{(x+1)^2}{16} + \frac{(y -2)^2}{4} = 1 $ di dua titik yang berbeda.

Baca Juga:   Persamaan Garis Singgung Hiperbola

2). Tentukan kedudukan garis $ 3x + 2y = 11 $ terhadap elips $ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{(y+2)^2}{18} = 1 $
*). Ubah persamaan garisnya :
$ 3x + 2y = 11 \rightarrow y = \frac{-3x + 11}{2} $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan elips :
$ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{(y+2)^2}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{\left(\frac{-3x + 11}{2}+2\right)^2}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{\left(\frac{-3x + 11 + 4}{2}\right)^2}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{\left(\frac{-3x + 15}{2}\right)^2}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{\left(\frac{(-3x + 15)^2}{4}\right)}{18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{ (-3x + 15)^2 }{4 \times 18} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{ (-3x + 15)^2 }{72} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 72)} \\ 9(x-1)^2 + (-3x + 15)^2 & = 72 \\ 9(x^2 – 2x + 1) + 9x^2 – 90x + 225 & = 72 \\ 9x^2 – 18x + 9 + 9x^2 – 90x + 225 & = 72 \\ 18x^2 – 108x +162 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 18)} \\ x^2 – 6x + 9 & = 0 \\ a = 1 , b = -6 , c & = 9 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 – 4ac = (-6)^2 – 4. 1. 9 = 36 – 36 = 0 $
*). Karena nilai $ D = 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap elips, garis $ 3x + 2y = 11 $ menyinggung elips $ \frac{(x-1)^2}{8} + \frac{(y+2)^2}{18} = 1 $.

3). Tentukan kedudukan garis $ y = x + 4 $ terhadap elips $ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan elips :
$ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{((x + 4)-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(x + 3)^2}{9} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 36)} \\ 9(x-1)^2 + 4(x + 3)^2 & = 36 \\ 9(x^2 – 2x + 1) + 4(x^2 + 6x + 9) & = 36 \\ 9x^2 – 18x + 9 + 4x^2 + 24x + 36 & = 36 \\ 13x^2 + 6x + 9 & = 0 \\ a = 13 , b = 6 , c & = 9 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 – 4ac = (6)^2 – 4. 13. 9 = 36 – 468 = -432 $
*). Karena nilai $ D = -432 < 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap elips, garis $ y = x + 4 $ tak memotong elips $ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $.

4). Jika garis $ x + 3y = p $ menyinggung kurva elips $ x^2 + 3y^2 = 16 $ , maka tentukan nilai $ p + 1 $ !
Penyelesaian :
*). Ubah persamaan garisnya :
$ x + 3y = p \rightarrow x = -3y + p $
*). Substitusi garis ke persamaan elips :
$ \begin{align} x^2 + 3y^2 & = 16 \\ (-3y + p)^2 + 3y^2 & = 16 \\ 9y^2 – 6py + p^2 + 3y^2 & = 16 \\ 12y^2 – 6py + p^2 – 16 & = 0 \\ a = 12 , b = -6p , c & = p^2 – 16 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung parabol : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 – 4ac & = 0 \\ (-6p)^2 – 4.12. ( p^2 – 16) & = 0 \\ 36p^2 – 48p^2 + 768 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 12)} \\ -p^2 + 64 & = 0 \\ p^2 & = 64 \\ p & = \pm 8 \end{align} $
Sesampai kemudian nilai $ p + 1 $ :
$ p = 8 \rightarrow p + 1 = 8 + 1 = 9 $
$ p = -8 \rightarrow p + 1 = -8 + 1 = -7 $
Jadi, nilai $ p + 1 $ merupakan 9 atau $ -7 $

Baca Juga:   Persamaan Asimtot Hiperbola

5). Sebuah garis $ l $ terdapat gradien $ m $ dan menyinggung elips $ 2x^2 + 3y^2 + 4x = 2 $. Jika garis $ l $ melalui titik $ (0,k) $ , maka tentukan nilai $ m $!
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan garis $ l $ yang melalui titik $ (x_1,y_1) = (0,k) $ dan gradien $ m $ :
$\begin{align} y – y_1 & = m(x – x_1) \\ y – k & = m(x -0) \\ y – k & = mx \\ y & = mx + k \end{align} $
*). Substitusi garis ke elips :
$ \begin{align} 2x^2 + 3y^2 + 4x & = 2 \\ 2x^2 + 3(mx+k)^2 + 4x & = 2 \\ 2x^2 + 3(m^2x^2+2kmx + k^2) + 4x & = 2 \\ 2x^2 + 3m^2x^2+6kmx + 3k^2 + 4x & = 2 \\ 2x^2 + 3m^2x^2+6kmx + 4x + 3k^2 – 2 & = 0 \\ (2 + 3m^2)x^2+(6km + 4)x + 3k^2 – 2 & = 0 \\ a = (2 + 3m^2), b =(6km + 4), c & = 3k^2 – 2 \end{align} $
*). Syarat garis bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 – 4ac & = 0 \\ (6km + 4)^2 – 4.(2 + 3m^2).(3k^2 – 2) & = 0 \\ 36k^2m^2 + 48km + 16 – 4.(2 + 3m^2).(3k^2 – 2) & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 9k^2m^2 + 12km + 4 – (2 + 3m^2).(3k^2 – 2) & = 0 \\ 9k^2m^2 + 12km + 4 – (6k^2 – 4 + 6k^2m^2 – 6m^2 ) & = 0 \\ 9k^2m^2 + 12km + 4 – 6k^2 + 4 – 6k^2m^2 + 6m^2 & = 0 \\ 9k^2m^2 – 6k^2m^2 + 6m^2 + 12km + 4 – 6k^2 + 4 & = 0 \\ 3k^2m^2 + 6m^2 + 12km – 6k^2 + 8 & = 0 \\ (3k^2 + 6)m^2 + 12km – 6k^2 + 8 & = 0 \\ a=(3k^2 + 6), b = 12k , c & = – 6k^2 + 8 \end{align} $
*). Dengan rumus ABC pada persamaan kuadrat, maka kita peroleh nilai $ m $ :
$ \begin{align} m & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \\ & = \frac{-12k \pm \sqrt{(12k)^2 – 4.(3k^2 + 6).(- 6k^2 + 8)}}{2(3k^2 + 6)} \\ & = \frac{-12k \pm \sqrt{144k^2 – 4( -18k^4 -12k^2 + 48 )}}{2(3k^2 + 6)} \\ & = \frac{-12k \pm \sqrt{144k^2 + 72k^4 + 48k^2 – 192 }}{6k^2 + 12} \\ & = \frac{-12k \pm \sqrt{ 72k^4 + 192k^2 – 192 }}{6k^2 + 12} \end{align} $
Jadi, nilai $ m = \begin{align} \frac{-12k \pm \sqrt{ 72k^4 + 192k^2 – 192 }}{6k^2 + 12} \end{align} $ .

Baca Juga:   Irisan Kerucut (Konik)

6). Garis $ x = -3y + d $ memotong elips $ \frac{(x+1)^2}{27} + \frac{(y-1)^2}{6} = 1 $ di dua titik yang berbeda. Jika nilai $ P $ merupakan nilai terbesar $ d $ dan $ Q $ merupakan nilai terkecil $ d $, dimana $ d $ merupakan bilangan lingkaran yang memenuhi kondisi pada soal, maka tentukan nilai $ P – Q $!
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke elips :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{27} + \frac{(y-1)^2}{6} & = 1 \\ \frac{((-3y + d)+1)^2}{27} + \frac{(y-1)^2}{6} & = 1 \\ \frac{(-3y + d+1)^2}{27} + \frac{(y-1)^2}{6} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 54)} \\ 2(-3y + (d+1))^2 + 9(y-1)^2 & = 54 \\ 2(9y^2 -6(d+1)y + (d+1)^2) + 9(y^2 – 2y + 1) & = 54 \\ 18y^2 -12(d+1)y + 2(d+1)^2 + 9y^2 – 18y + 9 & = 54 \\ 27y^2 -12(d+1)y + 2(d+1)^2 – 18y – 45 & = 0 \\ 27y^2 -12dy -12y + 2(d+1)^2 – 18y – 45 & = 0 \\ 27y^2 -12dy -30y + 2(d+1)^2 – 45 & = 0 \\ 27y^2 -(12d+ 30)y + 2(d+1)^2 – 45 & = 0 \\ 27y^2 -(12d+ 30)y + 2(d^2 + 2d + 1) – 45 & = 0 \\ 27y^2 -(12d+ 30)y + 2d^2 + 4d + 2 – 45 & = 0 \\ 27y^2 -6(2d+ 5)y + 2d^2 + 4d – 43 & = 0 \\ a = 27, b =-6(2d+ 5) , c & = 2d^2 + 4d – 43 \end{align} $
*). Syarat berpotongan : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ b^2 – 4ac & > 0 \\ (-6(2d+ 5))^2 – 4.27 .(2d^2 + 4d – 43) & > 0 \\ 36.(2d+ 5)^2 – 4.27 .(2d^2 + 4d – 43) & > 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 36)} \\ (2d+ 5)^2 – 3.(2d^2 + 4d – 43) & > 0 \\ 4d^2 + 20d + 25 – 6d^2 – 12d + 129 & > 0 \\ -2d^2 + 8d + 154 & > 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ d^2 – 4d – 77 & < 0 \\ (d + 7)(d – 11) & < 0 \\ d = -7 \vee d & = 11 \end{align} $
garis bilangannya :

solusinya : $ \{ -7 < d < 11 \} $.
Karena $ d $ bilangan bulat, maka nilai $ d $ yang memenuhi merupakan $ \{ -6,-5,…,0,1,2,…,9,10 \} $. Artinya $ P = 10 $ dan $ Q = -6 $. Sesampai kemudian nilai $ P – Q = 10 – (-6) = 16 $.
Jadi, nilai $ P – Q = 16 $.

       Demikian pembahasan bahan Kedudukan Garis terhadap Elips dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut” ialah “Persamaan Garis Singgung ELips“.