Kedudukan Garis Terhadap Hiperbola

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari bahan “kedudukan titik terhadap Hiperbola” yang berkaitan pribadi dengan “persamaan garis singgung Hiperbola” pada “persamaan Hiperbola“, bahan Kedudukan Garis terhadap Hiperbola juga sebagai landasan dalam mempelajari bahan persamaan garis singgung Hiperbola. Kedudukan Garis terhadap Hiperbola caranya hampir sama dengan bahan sebelumnya yang sudah kita pelajari ialah “kedudukan garis terhadap parabola” dan “kedudukan garis terhadap elips“. Kedudukan Garis terhadap Hiperbola ada tiga jenis kecukupan ialah pertama : garis memotong kurva Hiperbola di dua titik yang berbeda, kedua : garis menyinggung Hiperbola (memotong Hiperbola di satu titik), dan ketiga : garis tak memotong kurva Hiperbola. Untuk mengetahui dari ketiga jenis kedudukan garis terhadap Hiperbola tersebut, masing-masing terdapat syarat tertentu yang tergantung dari nilai Diskriminannya ($ D$) yang biasa kita pelajari pada bahan persamaan kuadrat atau fungsi kuadrat dengan rumus $ D = b^2 -4ac $ . Berikut ilustrasi ketiga jenis Kedudukan Garis terhadap Hiperbola dalam bentuk ringkasan gambar.

         Materi-materi dasar yang harus kita kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan mempelajari bahan Kedudukan Garis terhadap Hiperbola ini ialah “persamaan Hiperbola”, “persamaan garis lurus“, dan “penyelesaian pertaksamaan“. Berikut penterangan syarat-syarat Kedudukan Garis terhadap Hiperbola.

Syarat Kedudukan Garis terhadap Hiperbola
       Perhatikan gambar di atas, ada tiga syarat dalam memilih kedudukan garis terhadap Hiperbola ialah :
a). Jika nilai $ D > 0 $ , maka garis memotong Hiperbola di dua titik yang berbeda,
b). Jika nilai $ D = 0 $ , maka garis menyinggung Hiperbola (memotong di satu titik) ,
c). Jika nilai $ D < 0 $ , maka garis tak memotong Hiperbola.

Langkah-langkah dalam memilih kedudukan garis terhadap Hiperbola :
1). Substitusi garis ke Hiperbola sesampai lalu terbentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx+ c = 0 $ atau $ ay^2 + by + c = 0 $ ,
2). Tentukan nilai $ D $ (Diskriminan) dengan rumus $ D = b^2 – 4ac $,
3). Dari langkah (2), nilai $ D $ yang kita peroleh kita cocokkan dengan syarat kududukan garis terhadap Hiperbola di atas.

Baca Juga:   Persamaan Garis Singgung Titik Diluar Parabola

Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Hiperbola :

1). Tentukan kedudukan garis $ y = x + 2 $ terhadap Hiperbola $ \frac{(x+1)^2}{16} – \frac{(y -2)^2}{4} = 1 $
Penyelesaian :
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{16} – \frac{(y -2)^2}{4} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} – \frac{((x+2) -2)^2}{4} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} – \frac{x^2}{4} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 64)} \\ 64 \times \frac{(x+1)^2}{16} – 64 \times\frac{x^2}{4} & = 1 \times 64 \\ 4(x+1)^2 – 16x^2 & = 64 \\ 4(x^2 + 2x + 1) – 16x^2 & = 64 \\ 4x^2 + 8x + 4 – 16x^2 & = 64 \\ -12x^2 + 8x – 60 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ -3x^2 + 2x – 15 & = 0 \\ a = -3 , b = 2 , c & = -15 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 – 4ac = (2)^2 – 4. (-3). (-15) = 4 – 180 = -176 $
*). Karena nilai $ D = -176 < 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap Hiperbola, garis $ y = x + 2 $ tak memotong Hiperbola $ \frac{(x+1)^2}{16} – \frac{(y -2)^2}{4} = 1 $.

2). Tentukan kedudukan garis $ x – y = 0 $ terhadap Hiperbola $ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{12} = 1 $
*). Ubah persamaan garisnya :
$ x – y = 0 \rightarrow y = x $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{12} & = 1 \\ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(x+2)^2}{12} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 12)} \\ -4(x-1)^2 + (x+2)^2 & = 12 \\ -4(x^2 – 2x + 1) + x^2+4x + 4 & = 12 \\ -4x^2 + 8x – 4 + x^2 + 4x + 4 & = 12 \\ -3x^2 + 12x – 12 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -3)} \\ x^2 – 4x + 4 & = 0 \\ a = 1 , b = -4 , c & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4. 1. 4 = 16 – 16 = 0 $
*). Karena nilai $ D = 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap Hiperbola, garis $ x – y = 0 $ menyinggung Hiperbola $ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{12} = 1 $.

3). Tentukan kedudukan garis $ y = x + 4 $ terhadap Hiperbola $ \frac{(x-1)^2}{4} – \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{4} – \frac{(y-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} – \frac{((x + 4)-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} – \frac{(x + 3)^2}{9} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 36)} \\ 9(x-1)^2 – 4(x + 3)^2 & = 36 \\ 9(x^2 – 2x + 1) – 4(x^2 + 6x + 9) & = 36 \\ 9x^2 – 18x + 9 – 4x^2 – 24x – 36 & = 36 \\ 5x^2 – 42x -63 & = 0 \\ a = 5 , b = -42 , c & = -63 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 – 4ac = (-42)^2 – 4. 5. (-63) = 1764 + 1260 = 3024 $
*). Karena nilai $ D = 3024 >0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap Hiperbola, garis $ y = x + 4 $ memotong Hiperbola $ \frac{(x-1)^2}{4} – \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $ di dua titik yang berbeda.

4). Jika garis $ x – y = k $ menyinggung kurva Hiperbola $ x^2 – 2y^2 = 8 $ , maka tentukan nilai $ k + 1 $ !
Penyelesaian :
*). Ubah persamaan garisnya :
$ x – y = k \rightarrow x = y + k $
*). Substitusi garis ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} x^2 – 2y^2 & = 8 \\ (y + k)^2 – 2y^2 & = 8 \\ y^2 + 2ky + k^2 – 2y^2 & = 8 \\ -y^2 + 2ky + k^2 – 8 & = 0 \\ a = -1 , b = 2k , c & = k^2 – 8 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung parabol : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 – 4ac & = 0 \\ (2k)^2 – 4.(-1). ( k^2 – 8) & = 0 \\ 4k^2 + 4k^2 – 32 & = 0 \\ 8k^2 – 32 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ k^2 – 4 & = 0 \\ k^2 & = 4 \\ k & = \pm 2 \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ k + 1 $ :
$ k = 2 \rightarrow k + 1 = 2 + 1 = 3 $
$ k = -2 \rightarrow k + 1 = -2 + 1 = -1 $
Jadi, nilai $ k + 1 $ merupakan 3 atau $ -1 $

Baca Juga:   Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva

       Demikian pembahasan bahan Kedudukan Garis terhadap Hiperbola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut” ialah “Garis Singgung Hiperbola”.