Kedudukan Garis Terhadap Parabola

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari bahan “persamaan parabola dan unsur-unsurnya” yang merupakan bab dari artikel “irisan kerucut“, pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Kedudukan Garis terhadap Parabola. Materi Kedudukan Garis terhadap Parabola ini penting untuk kita bahas alasannya bab awal dari bahan “garis singgung parabola” yang akan kita bahas di artikel berikutnya. Kedudukan Garis terhadap Parabola ada tiga jenis atau tiga kecukupan ialah pertama : garis memotong kurva parabola di dua titik yang berbeda, kedua : garis menyinggung parabola (memotong parabola di satu titik), dan ketiga : merupakan garis tak memotong kurva parabola. Tentu dari ketiga jenis kedudukan garis ini, masing-masing terdapat syarat tertentu yang tergantung dari nilai Diskriminannya ($ D$) yang biasa kita pelajari pada bahan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat dengan rumus $ D = b^2 -4ac $ .

         Untuk memudahkan dalam mempelajari bahan Kedudukan Garis terhadap Parabola ini, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu sedikit bahan ialah “persamaan garis lurus“, “persamaan parabola”, dan cara mencari nilai diskriminan ibarat pada bahan persamaan kuadrat, serta wacana penyelesaian pertaksamaan.

Syarat Kedudukan Garis terhadap Parabola
       Perhatikan gambar di atas, ada tiga syarat dalam memilih kedudukan garis terhadap parabola ialah :
a). Jika nilai $ D > 0 $ , maka garis memotong parabola di dua titik yang berbeda,
b). Jika nilai $ D = 0 $ , maka garis menyinggung parabola (memotong di satu titik) ,
c). Jika nilai $ D < 0 $ , maka garis tak memotong parabola.

Langkah-langkah dalam memilih kedudukan garis terhadap parabola :
1). Substitusi garis ke parabola sesampai kemudian terbentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx+ c = 0 $ atau $ ay^2 + by + c = 0 $ ,
2). Tentukan nilai $ D $ (Diskriminan) dengan rumus $ D = b^2 – 4ac $,
3). Dari langkah (2), nilai $ D $ yang kita peroleh kita cocokkan dengan syarat kududukan garis terhadap parabola di atas.

Baca Juga:   Persamaan Asimtot Hiperbola

Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Parabola :

1). Tentukan kedudukan masing-masing garis berikut terhadap parabolanya :
a). garis $ y = 2x + 3 $ terhadap parabola $ x^2 = 2(y-1) $
b). garis $ 2x – 4y – 1 = 0 $ terhadap parabola $ x^2 = 4y $
c). garis $ x – y = -5 $ terhadap parabola $ (y – 2)^2 = 3(x+1) $
Penyelesaian :
a). garis $ y = 2x + 3 $ terhadap parabola $ x^2 = 2(y-1) $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 2(y-1) \\ x^2 & = 2(2x + 3-1) \\ x^2 & = 2(2x + 2) \\ x^2 & = 4x + 4 \\ x^2 & – 4x – 4 = 0 \\ a & = 1 , b = -4 , c = -4 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4. 1. (-4) = 16 + 16 = 32 $
*). Karena nilai $ D = 32 > 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap parabola, garis $ y = 2x + 3 $ memotong parabola $ x^2 = 2(y-1) $ di dua titik yang berbeda.

b). garis $ 2x – 4y – 1 = 0 $ terhadap parabola $ x^2 = 4y $
*). Ubah persamaan garisnya :
$ 2x – 4y – 1 = 0 \rightarrow 4y = 2x – 1 $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 4y \\ x^2 & = 2x – 1 \\ x^2 & – 2x + 1 = 0 \\ a & = 1 , b = -2 , c = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 – 4ac = (-2)^2 – 4. 1. 1 = 4 – 4 = 0 $
*). Karena nilai $ D = 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap parabola, garis $ 2x – 4y – 1 = 0 $ menyinggung parabola $ x^2 = 4y $.

c). garis $ x – y = -5 $ terhadap parabola $ (y – 2)^2 = 3(x+1) $
*). Ubah persamaan garisnya :
$ x – y = -5 \rightarrow x = y – 5 $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan parabola :
$ \begin{align} (y – 2)^2 & = 3(x+1) \\ y^2 – 4y + 4 & = 3((y-5)+1) \\ y^2 – 4y + 4 & = 3(y – 4) \\ y^2 – 4y + 4 & = 3y – 12 \\ y^2 – 7y + 16 & = 0 \\ a & = 1 , b = -7 , c = 16 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 – 4ac = (-7)^2 – 4. 1. 16 = 49 – 64 = -15 $
*). Karena nilai $ D = -15 < 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap parabola, garis $ x – y = -5 $ tak memotong parabola $ (y – 2)^2 = 3(x+1) $.

Baca Juga:   Persamaan Hiperbola Dan Unsur-Unsurnya

2). Jika garis $ y = 2x+p $ menyinggung kurva $ x^2 = 4(y+1) $ , maka tentukan nilai $ p^2 -3p + 7 $ !
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke persamaan parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 4(y+1) \\ x^2 & = 4(2x+p+1) \\ x^2 & = 8x + 4(p+1) \\ x^2 & – 8x – 4(p+1) = 0 \\ a & = 1 , b = -8 , c = -4(p+1) \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung parabol : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 – 4ac & = 0 \\ (-8)^2 – 4.1. (-4(p+1)) & = 0 \\ 64 + 16(p+1) & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 16)} \\ 4 + p + 1 & = 0 \\ p & = -5 \end{align} $
Sesampai kemudian nilai :
$ p^2 -3p + 7 = (-5)^2 -3.(-5) + 7 = 47 $
Jadi, nilai $ p^2 -3p + 7 = 47 $

3). Sebuah garis $ g $ terdapat gradien $ m $ dan menyinggung parabola $ x^2 = 3(y-2) $. Jika garis $ g $ melalui titik $ (0,q) $ , maka tentukan nilai $ m + 3 $!
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan garis $ g $ yang melalui titik $ (x_1,y_1) = (0,q) $ dan gradien $ m $ :
$\begin{align} y – y_1 & = m(x – x_1) \\ y – q & = m(x -0) \\ y – q & = mx \\ y & = mx + q \end{align} $
*). Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 3(y-2) \\ x^2 & = 3( mx + q-2) \\ x^2 & = 3mx + 3q-6 \\ x^2 & – 3mx + 6 – 3q = 0 \\ a & = 1, b = -3m, c = 6 – 3q \end{align} $
*). Syarat garis bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 – 4ac & = 0 \\ (-3m)^2 – 4.1.(6-3q) & = 0 \\ 9m^2 – 4(6-3q) & = 0 \\ 9m^2 & = 4(6-3q) \\ m^2 & = \frac{4}{9}(6-3q) \\ m & = \pm \sqrt{\frac{4}{9}(6-3q)} \\ & = \pm \frac{2}{3}\sqrt{6 – 3q} \end{align} $
Sesampai kemudian nilai $ m + 3 = 3 \pm \frac{2}{3}\sqrt{6 – 3q} $
Jadi, nilai $ m + 3 = 3 \pm \frac{2}{3}\sqrt{6 – 3q} $ .

4). Tentukan semuan nilai $ d $ dengan $ d $ bilangan real sesampai kemudian garis $ x = 4dy – 2d $ tak memotong parabola $ y^2 = \frac{1}{4}(x-3) $ !
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} y^2 & = \frac{1}{4}(x-3) \\ y^2 & = \frac{1}{4}(4dy – 2d-3) \\ y^2 & = dy – \frac{(2d+3)}{4} \\ y^2 & – dy + \frac{2d+3}{4} = 0 \\ a & = 1, b = -d , c = \frac{2d+3}{4} \end{align} $
*). Syarat tak berpotongan : $ D < 0 $
$ \begin{align} D & < 0 \\ b^2 – 4ac & < 0 \\ (-d)^2 – 4.1 . \frac{2d+3}{4} & < 0 \\ d^2 – 2d- 3 & < 0 \\ (d + 1)(d-3) & < 0 \\ d = -1 \vee d & = 3 \end{align} $
garis bilangannya :

solusinya : $ \{ -1 < d < 3 \} $.
Jadi, nilai $ d $ semoga garis dan bola tak berpotongan merupakan $ \{ -1 < d < 3 \} $.

Baca Juga:   Cara Menemukan Persamaan Parabola

5). Garis $ y = 2x + r $ memotong parabola $ x^2 = 3y $ di dua titik yang berbeda. Jika $ r $ merupakan bilangan lingkaran terkecil yang memenuhi soal, maka tentukan nilai $ r^2 – 3 $ !
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 3y \\ x^2 & = 3(2x + r) \\ x^2 & = 6x + 3r \\ x^2 & – 6x – 3r = 0 \\ a & = 1, b = -6 , c = -3r \end{align} $
*). Syarat tak berpotongan : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ b^2 – 4ac & > 0 \\ (-6)^2 – 4.1 . (-3r) & > 0 \\ 36 + 12r & > 0 \\ 12r & > -36 \\ r & > -3 \end{align} $
*). Nilai $ r $ lingkaran yang memenuhi $ r > -3 $ merupakan $ \{ -2,-1,0,1,2,3, … \} $ dengan nilai $ r $ terkecil merupakan $ r = -2 $.
Sesampai kemudian nilai $ r^2 – 3 = (-2)^2 – 3 = 4 – 3 = 1 $
Jadi, nilai $ r^2 – 3 = 1 $.

       Demikian pembahasan bahan Kedudukan Garis terhadap Parabola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut” ialah “Garis Singgung Parabola“.