Kedudukan Titik Dan Garis Terhadap Lingkaran

Posted on

         Pondok Soal.comKedudukan titik dan garis terhadap lingkaran di sini maksudnya posisi (letak) titik dan garis pada bulat ialah untuk titik posisinya diluar lingkaran, pada lingkaran, atau di dalam bulat , lagikan untuk garis posisinya berbotongan dengan lingkaran, bersinggungan, atau tak berpotongan.

Kedudukan titik A($x_1,y_1$) pada bulat : $ x^2 + y^2 = r^2 $
       Kita misalkan ruas kiri persamaan lingkarannya sebagai $ K = x^2 + y^2 $
Nilai $ K \, $ sanggup kita peroleh dengan mensubstitusi titik A($x_1,y_1$), ialah $ K = x_1^2 + y_1^2 $ . Dari nilai $ K $ inilah kita sanggup tentukan kedudukan titik A terhadap bulat dengan membandingkannya terhadap nilai $ r^2 $, ialah :
*). Jika $ K < r^2 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran.
*). Jika $ K = r^2 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran.
*). Jika $ K > r^2 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran.

Contoh :
Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap bulat $x^2 + y^2 = 25$
1). A(3,1)
2). B(-3,4)
3). C(5,-6)
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = x^2 + y^2 $ , kita akan bandingkan risikonya dengan 25.
*). Menentukan nilai $ K $ setiap titik :
$ \begin{align} A(3,1) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = 3^2 + 1^2 \\ K & = 9 + 1 = 10 \end{align} $
Nilai $ K = 10 < 25 , \, $ artinya titik A(3,1) terletak di dalam bulat $x^2 + y^2 = 25$

$ \begin{align} B(-3,4) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = (-3)^2 + 4^2 \\ K & = 9 + 16 = 25 \end{align} $
Nilai $ K = 25 , \, $ artinya titik B(-3,4) terletak pada bulat $x^2 + y^2 = 25$

$ \begin{align} C(5,-6) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = 5^2 + (-6)^2 \\ K & = 25 + 36 = 61 \end{align} $
Nilai $ K = 61 > 25 , \, $ artinya titik C(5,-6) terletak di luar bulat $x^2 + y^2 = 25$

Kedudukan titik A($x_1,y_1$) pada bulat : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
       Kita misalkan ruas kiri persamaan lingkarannya sebagai $ K = (x-a)^2 + (y-b)^2 $
Nilai $ K \, $ sanggup kita peroleh dengan mensubstitusi titik A($x_1,y_1$), ialah $ K = (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 $ . Dari nilai $ K $ inilah kita sanggup tentukan kedudukan titik A terhadap bulat dengan membandingkannya terhadap nilai $ r^2 $, ialah :
*). Jika $ K < r^2 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran.
*). Jika $ K = r^2 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran.
*). Jika $ K > r^2 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran.

Contoh :
Tentukan kedudukan titik A(1,3) terhadap bulat $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 16 $ !
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = (x-2)^2 + (y+1)^2 $ , kita akan bandingkan risikonya dengan 16.
*). Menentukan nilai $ K $ ,
$ \begin{align} A(1,3) \rightarrow K & = (x-2)^2 + (y+1)^2 \\ K & = (1-2)^2 + (3+1)^2 \\ K & = 1 + 16 = 17 \end{align} $
Nilai $ K = 17 > 16 , \, $ artinya titik A(1,3) terletak di luar bulat $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 16 $

Kedudukan titik A($x_1,y_1$) pada bulat : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
       Kita misalkan ruas kiri persamaan lingkarannya sebagai $ K = x^2 + y^2 + Ax + By + C $
Nilai $ K \, $ sanggup kita peroleh dengan mensubstitusi titik A($x_1,y_1$), ialah $ K = x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C $ . Dari nilai $ K $ inilah kita sanggup tentukan kedudukan titik A terhadap bulat dengan membandingkannya terhadap nilai $ 0 $, ialah :
*). Jika $ K < 0 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran.
*). Jika $ K = 0 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran.
*). Jika $ K > 0 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran.

Contoh :
1). Tentukan kedudukan titik A(-1,2) terhadap bulat $ x^2 + y^2 -2x + 3y – 13 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = x^2 + y^2 -2x + 3y – 13 $ , kita akan bandingkan risikonya dengan 0.
*). Menentukan nilai $ K $ ,
$ \begin{align} A(-1,2) \rightarrow K & = x^2 + y^2 -2x + 3y – 13 \\ K & = (-1)^2 + 2^2 -2(-1) + 3.2 – 13 \\ K & = 1 + 4 + 2 + 6 – 13 = 0 \end{align} $
Nilai $ K = 0 , \, $ artinya titik A(-1,2) terletak pada bulat $ x^2 + y^2 -2x + 3y – 13 = 0 $

Baca Juga:   Persamaan Lingkaran

2). Agar titik B(-2,1) terletak pada bulat $ x^2 + y^2 – 3x + py – 3 = 0 , \, $ tentukan nilai $ p $ !
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = x^2 + y^2 – 3x + py – 3 $ , kita akan bandingkan risikonya dengan 0.
*). Menentukan nilai $ K $ ,
$ \begin{align} B(-2,1) \rightarrow K & = x^2 + y^2 – 3x + py – 3 \\ K & = (-2)^2 + 1^2 – 3(-2) + p.1 – 3 \\ K & = 4 + 1 + 6 + p – 3 \\ K & = 8 + p \end{align} $
*). Agar titik B terletak pada lingkaran, syaratnya : Nilai $ K = 0 $
$ \begin{align} K = 0 \rightarrow 8 + p = 0 \rightarrow p = -8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -8 $ .

Kedudukan garis terhadap suatu bulat
       Untuk memilih kedudukan garis terhadap suatu lingkaran, kita substitusikan garis ke persamaan bulat kemudian kita tentukan nilai Diskriminannya ($ D = b^2 – 4ac $). Ada tiga kecukupan nilai D, ialah :
i). Jika $ D < 0 $ , maka persamaan garis terletak di luar bulat , dan tak memotong bulat atau jarak sentra bulat ke garis lebih dari jari-jari bulat ($k > r$).

ii). Jika $ D = 0 $, maka persamaan garis terletak pada bulat dan memotong bulat di satu titik atau jarak sentra bulat ke garis sama dengan jari-jari bulat ($k = r$), atau sanggup disebut juga garis bersinggungan dengan lingkaran.

iii). Jika $D > 0 $, maka persamaan garis terletak di dalam bulat , dan memotong bulat di dua titik atau jarak sentra bulat ke garis lebih kecil dari jari-jari bulat ($k < r$).

dimana $ k \, $ menyatakan jarak sentra bulat ke garis. Silahkan baca bahan “jarak titik ke garis“.

Contoh :
1). Tentukan posisi garis $ x – y + 1 = 0 $ terhadap bulat $ x^2 + y^2 = 25$. Jika berpotongan, tentukan titik potongnya. !
Penyelesaian :
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan bulat
$ x – y + 1 = 0 \rightarrow y = x + 1 $
Persamaan lingkarannya : $ x^2 + y^2 = 25 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (x+1)^2 & = 25 \\ x^2 + (x^2 + 2x + 1) & = 25 \\ 2x^2 + 2x + – 24 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2 + x + – 12 & = 0 \\ a = 1, \, b = 1, \, c & = -12 \\ D & = b^2 – 4ac \\ & = 1^2 – 4.1.(-12) \\ & = 1 + 48 \\ & = 49 \end{align} $
Diperoleh $ D = 49 > 0 \, $ , artinya kedudukan garis $ y = x + 1 \, $ memotong bulat $ x^2 + y^2 = 25 $ di dua titik yang berbeda.
*). Menentukan titik potong garis dan lingkaran.
$ \begin{align} x^2 + x + – 12 & = 0 \\ (x – 3)(x + 4 ) & = 0 \\ x = 3 \vee x & = -4 \\ x = 3 \rightarrow y & = x + 1 \\ y & = 3 + 1 = 4 \\ x = -4 \rightarrow y & = x + 1 \\ y & = -4 + 1 = -3 \end{align} $
Sesampai kemudian titik potong garis terhadap bulat merupakan (3,4) dan (-4,-3).

Baca Juga:   Jarak Dua Titik Dan Titik Ke Garis

2). Diketahui garis lurus $ g $ dengan persamaan $ y = mx + 2 $ dan bulat L dengan persamaan $x^2 + y^2 = 4$. Agar garis $ g $ memotong bulat L di dua titik yang berbeda, tentukan nilai $m $ yang memenuhi.!
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke persamaan lingkaran.
$ \begin{align} y = mx + 2 \rightarrow x^2 + y^2 & = 4 \\ x^2 + (mx+2)^2 & = 4 \\ x^2 + (m^2x^2 + 4mx + 4) & = 4 \\ (m^2+1)x^2 + 4mx & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 4m, \, c & = 0 \\ D & = b^2 – 4ac \\ & = (4m)^2 – 4.(m^2+1).0 \\ & = 16m^2 – 0 \\ & = 16m^2 \end{align} $
*). Syarat garis memotong bulat di dua titik : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ 16m^2 & > 0 \\ m^2 & > 0 \end{align} $
Karena nilai $ m^2 \, $ selalu positif, maka $ m^2 > 0 \, $ terpenuhi untuk semua nilai $ m \, $ kecuali $ m = 0 . \, $
Jadi, solusinya : $ \{ m \in R , \, m \neq 0 \} \, $ atau sanggup ditulis $ \{ m < 0 \vee m > 0 \} $ .