Kedudukan Titik Terhadap Elips

Posted on

         Pondok Soal.com – Materi Kedudukan Titik terhadap Elips sangat penting kita bahas alasannya yaitu berkaitan pribadi dengan “persamaan garis singgung elips” dimana titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar kurva elips. Sebelumnya juga kita telah membahas artikel “Kedudukan Titik terhadap Parabola” dimana hampir sama caranya dengan Kedudukan Titik terhadap Elips, hanya saja pada artikel Kedudukan Titik terhadap Elips kita akan melibatkan “persamaan elips”. Ada tiga jenis Kedudukan Titik terhadap Elips yaitu pertama : titik ada di dalam kurva elips, kedua : titik ada pada elips (titik dilalui oleh elips), dan ketiga : titik ada di luar elips. Pada pembahasan di halaman ini, kita akan sedikit kembangkan soal-soalnya sesampai kemudian selain sanggup memilih kedudukan titik terhadap kurva elips, kita juga sanggup memilih hal lainnya yang berkaitan syarat kedudukan titik tersebut. Berikut gambaran kedudukan titik $ B(x_1,y_1) $ terhadap elips.

         Untuk memudahkan mempelajari bahan Kedudukan Titik terhadap Elips, kita harus menguasai sedikit bahan inti menyerupai “persamaan elips“, dan “penyelesaian pertaksamaan“. Untuk lebih kompleksnya, mari kita bahas syarat apa saja untuk mengetahui jenis masing-masing kedudukan titik terhadap elips berikut ini.

Catatan :
Bentuk persamaan elipsnya harus memenuhi bentuk umumnya, sehabis itu gres sanggup kita substitusi titik yang ingin kita cek kedudukannya terhadap elips tersebut. Bentuk yang dimaksud merupakan $ \frac{(x-p)^2}{a^2}+ \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $ atau $ \frac{(x-p)^2}{b^2}+ \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $ atau $ Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 $.

Contoh Soal Kedudukan Titik terhadap Elips :

1). Tentukan kedudukan titik $ (1,-1) $ terhadap elips $ \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,-1) $ ke persamaan elips :
$ \begin{align} (x,y)=(1,-1) \rightarrow \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} & = 1 \\ \frac{1^2}{9} + \frac{(-1)^2}{4} & … 1 \\ \frac{1}{9} + \frac{1}{4} & … 1 \\ \frac{13}{36} & … 1 \\ \frac{13}{36} & < 1 \end{align} $
Karena ruas kiri $ < $ ruas kanan ( $ \frac{13}{36} < 1 $) , maka titik $ (1,-1) $ ada di dalam elips. Berikut gambaran gambarnya,

2). Tentukan kedudukan titik $ (6,-3) $ terhadap elips $ \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y+3)^2}{100} = 1 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (6,-3) $ ke persamaan elips :
$ \begin{align} (x,y)=(6,-3) \rightarrow \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y+3)^2}{100} & = 1 \\ \frac{(6-1)^2}{25} + \frac{(-3+3)^2}{100} & … 1 \\ \frac{25}{25} + \frac{0}{100} & … 1 \\ 1 + 0 & … 1 \\ 1 & … 1 \\ 1 & = 1 \end{align} $
Karena ruas kiri $ = $ ruas kanan ( $ 1 = 1 $) , maka titik $ (6,-3) $ ada pada elips (titik tersebut dilalui oleh kurva elips). Berikut gambaran gambarnya,

3). Tentukan kedudukan titik $ (-2,1) $ terhadap elips $ 9x^2 + 4y^2 + 16y – 20 = 0 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (-2,1) $ ke persamaan elips :
$ \begin{align} (x,y)=(-2,1) \rightarrow 9x^2 + 4y^2 + 16y – 20 & = 0 \\ 9(-2)^2 + 4.1^2 + 16.1 – 20 & … 0 \\ 36 + 4 + 16 – 20 & … 0 \\ 36 & … 0 \\ 36 & > 0 \end{align} $
Karena ruas kiri $ > $ ruas kanan ( $ 36 > 0 $) , maka titik $ (-2,1) $ ada di luar elips. Berikut gambaran gambarnya,

4). Jika titik $ (3,-1) $ ada pada elips (dilalui elips) $ \frac{(x-k)^2}{4} + \frac{(y+1)^2}{9} = 1 $ , maka tentukan nilai $ k_1 + k_2 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $(3,-1) $ ke persamaan elipsnya :
$ \begin{align} (x,y) & = (3,-1) \\ \frac{(x-k)^2}{4} + \frac{(y+1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(3-k)^2}{4} + \frac{(-1+1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(3-k)^2}{4} + \frac{0}{9} & = 1 \\ \frac{(3-k)^2}{4} & = 1 \\ (3-k)^2 & = 4 \\ 3-k & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ 3-k = 2 \vee 3 – k & = -2 \\ k_1 = 1 \vee k_2 & = 5 \\ \end{align} $
*). Sesampai kemudian nilai :
$ k_1 + k_2 = 1 + 5 = 6 $
Jadi, nilai $ k_1 + k_2 = 6 $.

Baca Juga:   Kedudukan Garis Terhadap Elips

5). Jika titik $ (1,2) $ ada di luar elips $ 2x^2 + py^2 + 3x- 4y + 7 = 0 $ , maka tentukan nilai $ p $ yang memenuhi!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,2) $ dan syarat ada di luar merupakan $ > $ :
$ \begin{align} (x,y) & = (1,2) \\ 2x^2 + py^2 + 3x- 4y + 7 & = 0 \\ 2.1^2 + p.2^2 + 3.1- 4.1 + 7 & > 0 \\ 2 + 4p + 3 – 4 + 7 & > 0 \\ 4p + 8 & > 0 \\ 4p & > – 8 \\ p & > -2 \end{align} $
Jadi, nilai $ p $ yang memenuhi merupakan $ p > -2 $.

6). Titik $ (1,k) $ ada di dalam elips $ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1 $. Jika $ M $ menyatakan nilai maksimum dari $ k $ dan $ N $ menyatakan nilai minimum dari $ k $ , maka tentukan nilai $ M – N $ dengan $ M $ dan $ N $ merupakan bilangan bulat!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,k) $ dan syarat ada di dalam merupakan $ < $ :
$ \begin{align} (x,y) & = (1,k) \\ \frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(1-1)^2}{4} + \frac{(k+2)^2}{9} & < 1 \\ \frac{0}{4} + \frac{k^2 + 4k + 4}{9} & < 1 \\ \frac{k^2 + 4k + 4}{9} & < 1 \\ k^2 + 4k + 4 & < 9 \\ k^2 + 4k -5 & < 0 \\ (k +5)(k-1) & < 0 \\ k = -5 \vee k & = 1 \end{align} $
Garis bilangannya :

Solusinya : $ \{ -5 < k < 1 \} $.
Artinya nilai $ M = 0 $ dan $ N = -4 $.
Sesampai kemudian nilai $ M – N = 0 – (-4) = 4 $.
Jadi, nilai $ M – N = 4 $.

       Demikian pembahasan bahan Kedudukan Titik terhadap Elips dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut” yaitu “Kedudukan Garis terhadap Elips“.