Kedudukan Titik Terhadap Hiperbola

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari artikel “kedudukan titik terhadap parabola” dan “kedudukan titik terhadap elips“, pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Kedudukan Titik terhadap Hiperbola, dimana bahan ini sangat penting kita bahas lantaran berkaitan eksklusif dengan “persamaan garis singgung Hiperbola” dimana titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar kurva Hiperbola. Kedudukan Titik terhadap Hiperbola proses kerjanya hampir sama dengan kedudukan titik terhadap parabola dan elips, hanya saja pada artikel Kedudukan Titik terhadap Hiperbola kita akan melibatkan “persamaan Hiperbola” dan syarat kedudukan titiknya berlawanan dari sebelumnya. Ada tiga jenis Kedudukan Titik terhadap Hiperbola ialah pertama : titik ada di dalam kurva Hiperbola, kedua : titik ada pada Hiperbola (titik dilalui oleh Hiperbola), dan ketiga : titik ada di luar Hiperbola. Pada pembahasan di halaman ini, kita akan sedikit kembangkan soal-soalnya sesampai kemudian selain sanggup memilih kedudukan titik terhadap kurva Hiperbola, kita juga sanggup memilih hal lainnya yang berkaitan syarat kedudukan titik tersebut. Berikut ilustrasi kedudukan titik $ C(x_1,y_1) $ terhadap Hiperbola.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari bahan Kedudukan Titik terhadap Hiperbola, kita harus menguasai sedikit bahan inti ibarat “persamaan Hiperbola“, dan “penyelesaian pertaksamaan“. Untuk lebih kompleksnya, mari kita bahas syarat apa saja untuk mengetahui jenis masing-masing kedudukan titik terhadap Hiperbola berikut ini.

Catatan :
Bentuk persamaan Hiperbolanya harus memenuhi bentuk umumnya, sehabis itu gres sanggup kita substitusi titik yang ingin kita cek kedudukannya terhadap Hiperbola tersebut. Bentuk yang dimaksud merupakan $ \frac{(x-p)^2}{a^2} – \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $ atau $ -\frac{(x-p)^2}{b^2}+ \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $ atau $ Ax^2 – By^2 + Cx + Dy + E = 0 $ atau $ -Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 $.

Contoh Soal Kedudukan Titik terhadap Hiperbola :

1). Tentukan kedudukan titik $ (2,-1) $ terhadap Hiperbola $ \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} = 1 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (2,-1) $ ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} (x,y)=(2,-1) \rightarrow \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} & = 1 \\ \frac{2^2}{9} – \frac{(-1)^2}{16} & … 1 \\ \frac{4}{9} – \frac{1}{16} & … 1 \\ \frac{55}{144} & … 1 \\ \frac{55}{144} & < 1 \end{align} $
Karena ruas kiri $ < $ ruas kanan ( $ \frac{55}{144} < 1 $) , maka titik $ (2,-1) $ ada di luar Hiperbola. Berikut ilustrasi gambarnya,

2). Tentukan kedudukan titik $ (1,3) $ terhadap Hiperbola $ -\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+2)^2}{25} = 1 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,3) $ ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} (x,y)=(1,3) \rightarrow -\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+2)^2}{25} & = 1 \\ -\frac{(1-1)^2}{16} + \frac{(3+2)^2}{25} & … 1 \\ -\frac{0}{16} + \frac{25}{25} & … 1 \\ 0 + 1 & … 1 \\ 1 & = 1 \end{align} $
Karena ruas kiri $ = $ ruas kanan ( $ 1 = 1 $) , maka titik $ (1,3) $ ada pada Hiperbola (titik tersebut dilalui oleh kurva Hiperbola). Berikut ilustrasi gambarnya,

3). Tentukan kedudukan titik $ (2,1) $ terhadap Hiperbola $ 9x^2 – 4y^2 + 16y – 20 = 0 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (2,1) $ ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} (x,y)=(2,1) \rightarrow 9x^2 – 4y^2 + 16y – 20 & = 0 \\ 9(2)^2 – 4.1^2 + 16.1 – 20 & … 0 \\ 36 – 4 + 16 – 20 & … 0 \\ 28 & … 0 \\ 28 & > 0 \end{align} $
Karena ruas kiri $ > $ ruas kanan ( $ 28 > 0 $) , maka titik $ (2,1) $ ada di dalam Hiperbola. Berikut ilustrasi gambarnya,

4). Jika titik $ (3,-2) $ ada pada Hiperbola (dilalui Hiperbola) $ \frac{(x-p)^2}{4} – \frac{(y+2)^2}{9} = 1 $ , maka tentukan nilai $ p_1 + p_2 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $(3,-1) $ ke persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} (x,y) & = (3,-2) \\ \frac{(x-p)^2}{4} – \frac{(y+2)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(3-p)^2}{4} – \frac{(-2+2)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(3-p)^2}{4} – \frac{0}{9} & = 1 \\ \frac{(3-p)^2}{4} & = 1 \\ (3-p)^2 & = 4 \\ 3-p & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ 3-p = 2 \vee 3 – p & = -2 \\ p_1 = 1 \vee p_2 & = 5 \\ \end{align} $
*). Sesampai kemudian nilai :
$ p_1 + p_2 = 1 + 5 = 6 $
Jadi, nilai $ p_1 + p_2 = 6 $.

Baca Juga:   Cara Menemukan Persamaan Elips

5). Jika titik $ (1,2) $ ada di luar Hiperbola $ -2x^2 + ky^2 + 3x- 4y + 9 = 0 $ , maka tentukan nilai $ k $ yang memenuhi!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,2) $ dan syarat ada di luar merupakan $ < $ :
$ \begin{align} (x,y) & = (1,2) \\ -2x^2 + ky^2 + 3x- 4y + 9 & = 0 \\ -2.1^2 + k.2^2 + 3.1- 4.1 + 9 & < 0 \\ -2 + 4k + 3 – 4 + 9 & < 0 \\ 4k + 8 & < 0 \\ 4k & < – 8 \\ k & < -2 \end{align} $
Jadi, nilai $ k $ yang memenuhi merupakan $ k < -2 $.

6). Titik $ (1,k) $ ada di dalam Hiperbola $ -\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1 $. Misalkan $ p $ merupakan himpunan selain $ k $ yang memenuhi penyelesaian soal. Jika $ M $ menyatakan nilai maksimum dari $ p $ dan $ N $ menyatakan nilai minimum dari $ p $ , maka tentukan nilai $ M – N $ dengan $ M $ dan $ N $ merupakan bilangan bulat!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,k) $ dan syarat ada di dalam merupakan $ > $ :
$ \begin{align} (x,y) & = (1,k) \\ -\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} & = 1 \\ -\frac{(1-1)^2}{4} + \frac{(k+2)^2}{9} & > 1 \\ -\frac{0}{4} + \frac{k^2 + 4k + 4}{9} & > 1 \\ \frac{k^2 + 4k + 4}{9} & > 1 \\ k^2 + 4k + 4 & > 9 \\ k^2 + 4k -5 & > 0 \\ (k +5)(k-1) & > 0 \\ k = -5 \vee k & = 1 \end{align} $
Garis bilangannya :

Solusinya : $ \{ k < -5 \vee k > 1 \} $.
Sesampai kemudian himpunan $ p $ merupakan $ \{ -5 \leq p \leq 1 \} $.
Artinya nilai $ M = 1 $ dan $ N = -5 $.
Sesampai kemudian nilai $ M – N = 1 – (-5) = 6 $.
Jadi, nilai $ M – N = 6 $.

       Demikian pembahasan bahan Kedudukan Titik terhadap Hiperbola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut” ialah “Kedudukan Garis terhadap Hiperbola“.