Kedudukan Titik Terhadap Parabola

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Kedudukan Titik terhadap Parabola. Sebenarnya bahan Kedudukan Titik terhadap Parabola ini sanggup kita gabungkan dengan bahan “Kedudukan Garis terhadap Parabola“, hanya saja penulis tak melakukannya. Padahal Kedudukan Titik terhadap Parabola ini sangat penting dalam kaitannya dengan pembahasan “persamaan garis singgung parabola” yang melalui sebuah titik, dimana kita harus tahu apakah titik yang dilalui oleh garis singgung tersebut ada pada parabola (dilalui oleh parabola) atau tak (di dalam atau di luar parabola). Ada tiga kecukupan Kedudukan Titik terhadap Parabola yakni titik ada di dalam parabola, titik ada pada parabola (dilalui oleh parabola), dan titik ada di luar parabola. Berikut ilustrasi gambar Kedudukan Titik $ A(x_1,y_1) $ terhadap Parabola.

         Untuk memudahkan mempelajari bahan Kedudukan Titik terhadap Parabola, teman-teman harus menguasai bahan “persamaan parabola dan unsur-unsurnya“, operasi hitungan dasar, dan “penyelesaian pertaksamaan secara umum“.

Menentukan Kedudukan Titik terhadap Parabola
       Sebenarnya untuk mengetahui Kedudukan Titik terhadap Parabola taklah sulit, caranya yakni tinggal kita substitusi titik tersebut ke persamaan parabolanya sesampai kemudian akan kita peroleh tiga kecukupan yakni :

1). Jika nilai ruas kiri $ < $ ruas kanan (lebih kecil), maka titik ada di dalam parabola (di dalam lengkungan parabola),

2). Jika nilai ruas kiri $ = $ ruas kanan, maka titik ada pada parabola (titik dilalui oleh parabola),

3). Jika nilai ruas kiri $ > $ ruas kanan (lebih besar), maka titik ada di luar parabola.

Catatan :
Bentuk kuadrat harus ada di ruas kiri (harus sesuai bentuk umum persamaan parabola), misalkan bentuknya $ 4(x-2) = (y+1)^2 $ maka harus diubah menjadi $ (y+1)^2 = 4(x-2) $.

Baca Juga:   Persamaan Elips Dan Unsur-Unsurnya

Contoh Soal Kedudukan Titik terhadap Parabola :

1). Tentukan kedudukan titik $ (-2,3) $ terhadap parabola $ x^2 = 4y $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (-2,3) $ ke persamaan parabola :
$ \begin{align} (x,y)=(-2,3) \rightarrow x^2 & = 4y \\ (-2)^2 & … 4\times 3 \\ 4 & … 12 \\ 4 & < 12 \end{align} $
Karena ruas kiri $ < $ ruas kanan ( $ 4 < 12 $) , maka titik $ (-2,3) $ ada di dalam parabola. Berikut ilustrasi gambarnya,

2). Tentukan kedudukan titik $ (1,4) $ terhadap parabola $ (y-1)^2 = 3(x+2) $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,4) $ ke persamaan parabola :
$ \begin{align} (x,y)=(1,4) \rightarrow (y-1)^2 & = 3(x+2) \\ (4-1)^2 & … 3(1+2) \\ 3^2 & … 3 \times 3 \\ 9 & … 9 \\ 9 & = 9 \end{align} $
Karena ruas kiri $ = $ ruas kanan ( $ 9 = 9 $) , maka titik $ (1,4) $ ada pada parabola. Berikut ilustrasi gambarnya,

3). Tentukan kedudukan titik $ (2,1) $ terhadap parabola $ (x+1)^2 = -6y $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (2,1) $ ke persamaan parabola :
$ \begin{align} (x,y)=(2,1) \rightarrow (x+1)^2 & = -6y \\ (2+1)^2 & … -6 \times 1 \\ 3^2 & … -6 \times 1 \\ 9 & … -6 \\ 9 & > -6 \end{align} $
Karena ruas kiri $ > $ ruas kanan ( $ 9 > -6 $) , maka titik $ (2,1) $ ada di luar parabola. Berikut ilustrasi gambarnya,

4). Jika titik $ (0,3) $ ada pada parabola (dilalui parabola) $ (y+3)^2 = 2p (x-2) $ , maka tentukan nilai $ p^2 – 80 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $(0,3) $ ke persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (x,y) = (0,3) \rightarrow (y+3)^2 & = 2p (x-2) \\ (3+3)^2 & = 2p (0-2) \\ 6^2 & = 2p \times -2 \\ 36 & = -4p \\ p & = \frac{36}{-4} = -9 \end{align} $
*). Sesampai kemudian nilai :
$ p^2 – 80 = (-9)^2 – 80 = 81 – 80 = 1 $
Jadi, nilai $ p^2 – 80 = 1 $.

Baca Juga:   Persamaan Asimtot Hiperbola

5). Jika titik $ (-1,6) $ ada di luar parabola $ (x-3)^2 = 4(y-b) $ , maka tentukan nilai $ b $ yang memenuhi!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (-1,6) $ dan syarat ada di luar merupakan $ > $ :
$ \begin{align} (x,y) = (-1,6) \rightarrow (x-3)^2 & = 4(y-b) \\ (-1-3)^2 & > 4(6-b) \\ 4^2 & > 24 – 4b \\ 16 & > 24 – 4b \\ 4b & > 24 – 16 \\ 4b & > 8 \\ b & > 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ b $ yang memenuhi merupakan $ b > 2 $.

6). Jika titik $ (1,k) $ ada di dalam parabola $ (y – 1)^2 = 2(x + 1) $ , maka nilai $ k $ yang memenuhi merupakan ….!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,k) $ dan syarat ada di luar merupakan $ < $ :
$ \begin{align} (x,y) = (1,k) \rightarrow (y – 1)^2& = 2(x + 1) \\ (k – 1)^2 & < 2(1 + 1) \\ k^2 – 2k + 1 & < 4 \\ k^2 – 2k -3 & < 0 \\ (k + 1)(k-3) & < 0 \\ k = -1 \vee k & = 3 \end{align} $
garis bilangannya :

Solusinya : $ -1 < k < 3 $.
Silahkan baca : “pertaksamaan secara umum“.
Jadi, nilai $ k $ yang memenuhi merupakan $ -1 < k < 3 $.

       Demikian pembahasan bahan Kedudukan Titik terhadap Parabola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut“.