Keliling Dan Luas Irisan Dua Lingkaran

Posted on

         Pondok Soal.com – “Irisan dua lingkaran” akan membentuk suatu tempat irisan. Daerah irisan akan terbentuk apabila kedua bulat berpotongan di dua titik yang berbeda, silahkan baca materinya di “kedudukan dua lingkaran“. Materi dasar yang harus dikuasai untuk mempermudah mempelajari keliling dan luas irisan lingkaran merupakan “panjang busur dan luas juring” serta “aturan kosinus” untuk memilih besar sudutnya, dan jarak antara dua titik, yang semua bahan dasar ini sanggup pribadi kita pelajari di “irisan dua lingkaran“.

Keliling irisan dua bulat
       Perhatikan gambar irisan dua bulat berikut,

Dari gambar irisan di atas, tempat irisan dua lingkarannya merupakan tempat arsiran berwarna hijau. Keliling tempat irisan yang dimaksud merupakan jumlah busur bulat warna biru (busur 1) dan busur bulat berwarna orange (busur 2). Berikut busur masing-masing,

$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua lingkaran
Untuk memilih keliling irisannya, kita harus memilih panjang kedua busurnya, ialah :
*). Busur 1 pada bulat pertama (L1) :
busur 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r $
*). Busur 2 pada bulat kedua (L2) :
busur 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . 2 \pi . r $
*). Sesampai lalu keliling irisannya :
Keliling irisan = busur 1 + busur 2.
Keliling irisan = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r + \frac{\angle CBD}{360^\circ} . 2 \pi . r $

$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk memilih besarnya sudut masing-masing busur, kita memakai hukum kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada busur pertama, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 – CD^2}{2.AD.AC} = \frac{r^2 + r^2 – CD^2}{2.r.r} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2r^2 – CD^2}{2r^2} $

$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum memilih jarak atau panjang CD, kita harus memilih titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk memilih panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD merupakan
$ CD = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $

Baca Juga:   Keliling Irisan Dua Bulat Bentuk 4

Catatan :
Langkah-langkah umum dalam memilih keliling irisan bulat :
i). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
ii). Menentukan panjang CD,
iii). Menentukan sudut kedua busur lingkaran,
iv). Menentukan panjang busur kedua lingkaran,
v). Jumlahkan kedua panjang busurnya

referensi :
1). Tentukan keliling bulat dari dua irisan bulat berikut
$ L_1 : \, (x+2)^2 + (y-1)^2 = 49 \, $ dan $ L_2 : \, (x-6)^2 + (y-1)^2 = 9 $ ?
Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua bulat

*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
$ L_1 : \, (x+2)^2 + (y-1)^2 = 49 \rightarrow x^2 + y^2 + 4x – 2y – 44 = 0 $
$ L_2 : \, (x-6)^2 + (y-1)^2 = 9 \rightarrow x^2 + y^2 – 12x – 2y + 28 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan bulat :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 + 4x – 2y – 44 = 0 & \\ x^2 + y^2 – 12x – 2y + 28 = 0 & – \\ \hline 16x – 72 = 0 & \\ x = 4,5 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 4,5 \, $ ke persamaan bulat 2.
$\begin{align} x = 4,5 \rightarrow (x-6)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ (4,5-6)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ 2,25 + (y-1)^2 & = 9 \\ (y-1)^2 & = 6,75 \\ y – 1 & = \pm \sqrt{6,75} \\ y & = 1 \pm \sqrt{6,75} \\ y_1 = 1 – \sqrt{6,75} \vee y_2 & = 1 + \sqrt{6,75} \end{align} $
Sesampai lalu titik potong kedua lingkaran: C($4,5 ; 1 – \sqrt{6,75}$ ) dan D($4,5 ; 1 + \sqrt{6,75}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(4,5 – 4,5 )^2 + [(1 + \sqrt{6,75}) – (1 – \sqrt{6,75}) ]^2 } = 2\sqrt{6,75} $
*). Menentukan sudut kedua busur :
busur 1 pada bulat pertama (L1) :
$\begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2r^2 – CD^2}{2r^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{2.7^2 – (2\sqrt{6,75})^2}{2.7^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{98 – 27}{98} \\ \cos \angle CAD & = \frac{71}{98} \\ \angle CAD & = arc \, \cos \frac{71}{98} \\ \angle CAD & = 43,57^\circ = 44^\circ \end{align} $
busur 2 pada bulat kedua (L2) :
$\begin{align} \cos \angle CBD & = \frac{2r^2 – CD^2}{2r^2} \\ \cos \angle CBD & = \frac{2.3^2 – (2\sqrt{6,75})^2}{2.3^2} \\ \cos \angle CBD & = \frac{18 – 27}{18} \\ \cos \angle CBD & = \frac{-9}{18} \\ \cos \angle CBD & = \frac{-1}{2} \\ \angle CBD & = arc \, \cos \frac{-1}{2} \\ \angle CBD & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan panjang busur masing-masing :
Busur 1 pada bulat pertama (L1) :
busur 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{44^\circ}{360^\circ} . 2 \frac{22}{7} . 7 = 5,38 $
Busur 2 pada bulat kedua (L2) :
busur 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{120^\circ}{360^\circ} . 2 \frac{22}{7} . 3 = 6,29 $
*). Keliling irisan lingkarannya :
Keliling = busur 1 + busur 2 = 5,38 + 6,29 = 11,67
Jadi, keliling irisan kedua lingakaran merupakan 11,67.

Luas irisan dua bulat
       Perhatikan gambar irisan dua bulat berikut,

Dari gambar irisan di atas, tempat irisan dua lingkarannya merupakan tempat arsiran berwarna hijau dan warna biru. Ternyata tempat arsirannya merupakan perpaduan dari dua tembereng ialah tembereng 1 (dari bulat pertama) dan tembereng 2 (dari bulat kedua).

Baca Juga:   Kuasa Bundar , Titik Kuasa, Dan Garis Kuasa Lingkaran

$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua lingkaran
Untuk memilih luas irisannya, kita harus memilih luas kedua temberengnya. Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
*). Tembereng 1 pada bulat pertama (L1) :
luas juring 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r_1^2 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. r_1^2 . \sin \angle CAD $
Tembereng 1 = luas juring 1 $ – $ lusa segitiga CAD.
*). Tembereng 1 pada bulat pertama (L1) :
luas juring 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . \pi . r_2^2 $
Luas segitiga CBD = $ \frac{1}{2}. BC . BD. \sin \angle CBD = \frac{1}{2}. r_2^2 . \sin \angle CBD $
Tembereng 2 = luas juring 2 $ – $ lusa segitiga CBD.
*). Sesampai lalu luas irisannya :
Luas irisan = tembereng 1 + tembereng 2.

Catatan :
Langkah-langkah umum dalam memilih luas irisan bulat :
i). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
ii). Menentukan panjang CD,
iii). Menentukan sudut kedua juring lingkaran,
iv). Menentukan luas juring, luas segitiga dan tembereng kedua lingkaran,
v). Jumlahkan kedua luas tembereng

Contoh :
2). Tentukan luas irisan dua bulat yang ada pada soal nomor satu di atas!
Penyelesaian :
*). Dari pembahasan sola nomor satu di atas, diperoleh :
$ \angle CAD = 44^\circ , \, \angle CBD = 120^\circ $
*). Menentukan luas juring, segitiga dan tembereng
Tembereng pertama (L1) :
luas juring 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r_1^2 = \frac{44^\circ }{360^\circ} . \frac{22}{7} . 7^2 = 21,39 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}.7^2 . \sin 44^\circ = 17,02 $
Tembereng 1 = luas juring 1 $ – $ lusa segitiga CAD = 21,39 – 17,02 = 4,37.
Tembereng kedua (L2) :
luas juring 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . \pi . r_2^2 = \frac{120^\circ }{360^\circ} . \frac{22}{7} . 3^2 = 9,43 $
Luas segitiga CBD = $ \frac{1}{2}. BC . BD. \sin \angle CBD = \frac{1}{2}.3^2 . \sin 120^\circ = 3,89 $
Tembereng 2 = luas juring 2 $ – $ lusa segitiga CBD = 9,43 – 3,89 = 5,54.
*). Menentukan luas irisan bulat
Luas irisan = tembereng 1 + tembereng 2 = 4,37 + 5,54 = 9,91
Jadi, luas tempat irisannya merupakan 9,91.

Baca Juga:   Rangkuman Rumus Keliling Irisan Dua Lingkaran

    Silahkan juga baca bahan yang terkait dengan irisan bulat ialah Luas irisan dua bulat bentuk 2.