Keliling Irisan Dua Bulat Bentuk 4

Posted on

         Pondok Soal.com – Berikut ini kita akan membahas bahan Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4 yang merupakan kelanjutan dari artikel sebelumnya ialah “Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 1, bentuk 2, dan bentuk 3“. Untuk Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4 ini terdapat ciri-ciri jari-jari kedua bulat sama. Irisan dua bulat yang jari-jarinya sama ini dibagi lagi menjadi dua ialah bab pertama : titik sentra kedua bulat berbeda, dan kedua : titik sentra kedua bulat sama. Untuk lebih terangnya, mari kita pelajari bersama penterangan berikut ini.

Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4
       Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4 kita begi menjadi dua bab dengan rumus keliling yang berbeda pula ialah :

$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua bulat bentuk 4 bab pertama

Untuk memilih keliling irisannya, kita harus memilih panjang kedua busurnya. Namun, jari-jari kedua bulat sama, secara otomatis sudut kedua busur juga sama (sudut CAD dan sudut CBD), sesampai lalu kita cukup menghitung panjang salah satu busur dan keliling tempat irisannya merupakan dua kalinya.
*). Panjang busur CD menurut sudut CAD :
panjang busur = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi . r $
*). Sesampai lalu keliling irisannya :
Keliling irisan = 2 $ \times $ panjang busur salah satu.
Keliling irisan = $ 2 \times \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi . r $

Keliling irisan = $ \frac{\angle CAD}{90^\circ} . \pi . r $

$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua bulat bentuk 4 bab kedua

alasannya titik sentra kedua bulat sama, maka tempat arsirannya membentuk satu bulat (kedua bulat saling berimpit menjadi satu), sesampai lalu keliling irisannya sama dengan keliling satu lingkaran.
Keliling irisan = $ 2\pi r $

$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk memilih besarnya sudut masing-masing busur, kita memakai hukum kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada busur 1, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 – CD^2}{2.AD.AC} = \frac{r^2 + r^2 – CD^2}{2.r.r} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2r^2 – CD^2}{2r^2} $

Baca Juga:   Keliling Dan Luas Irisan Dua Lingkaran

$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum memilih jarak atau panjang CD, kita harus memilih titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk memilih panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD merupakan
$ CD = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $

Contoh Soal Keliling irisan dua bulat bentuk 4 :
1). Tentuk luas irisan dua bulat dengan persamaan bulat masing-masing $ (x – 1)^2 + ( y – 1)^2 = 4 $ dan $ x^2 + ( y – 1)^2 = 4 $ ?

Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua bulat :

persamaan lingkaran, titik pusat, dan jari-jarinya,
$ (x – 1)^2 + ( y – 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 \, $, pusat(1,1)
$ x^2 + ( y – 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 \, $, pusat(0,1)
Titik sentra kedua bulat berbeda dan jari-jari sama, sesampai lalu ini merupakan bentuk 4 bab pertama.
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
$ L_1 : \, (x – 1)^2 + ( y – 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 – 2x – 2y = 2 $
$ L_2 : \, x^2 + ( y – 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 – 2y = 3 $
Eliminasi kedua persamaan bulat :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 – 2x – 2y = 2 & \\ x^2 + y^2 – 2y = 3 & – \\ \hline -2x = -1 & \\ x = 0,5 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 0,5 \, $ ke persamaan bulat 2.
$\begin{align} x = 0,5 \rightarrow x^2 + ( y – 1)^2 & = 4 \\ (0,5)^2 + ( y – 1)^2 & = 4 \\ 0,25 + ( y – 1)^2 & = 4 \\ ( y – 1)^2 & = 3,75 \\ ( y – 1) & = \pm \sqrt{3,75} \\ y & = 1 \pm \sqrt{3,75} \\ y = 1 + \sqrt{3,75} \vee y & = 1 – \sqrt{3,75} \end{align} $
Sesampai lalu titik potong kedua lingkaran: C($0,5;1 + \sqrt{3,75}$ ) dan D($0,5;1 – \sqrt{3,75}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(0,5-0,5 )^2 + [(1 + \sqrt{3,75}) – (1 – \sqrt{3,75}) ]^2 } = 2\sqrt{3,75} $
*). Menentukan besar sudut CAD (segitiga besar) :
$ \begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2r^2 – CD^2}{2r^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{2.(2)^2 – (2\sqrt{3,75})^2}{2.(2)^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{8 – 15}{8} \\ \cos \angle CAD & = \frac{-7}{14} \\ \cos \angle CAD & = \frac{-1}{2} \\ \angle CAD & = arc \, \cos \frac{-1}{2} \\ \angle CAD & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan Keliling irisan :
$ \begin{align} \text{Keliling irisan } & = \frac{\angle CAD}{90^\circ} . \pi . r \\ & = \frac{120^\circ}{90^\circ} .(3,14) . 2 \\ & = \frac{4}{3} .(6,28) \\ & = 8,373 \end{align} $
Jadi, keliling irisan kedua bulat tersebut merupakan $ 8,373 \, $ satuan keliling. $ \heartsuit $

Baca Juga:   Luas Irisan Dua Bulat Tanpa Menggambar

2). Tentuk luas irisan dua bulat dengan persamaan bulat masing-masing $ (x – 3)^2 + ( y + 1)^2 = 9 $ dan $ x^2 + y^2 – 6x + 2y + 1 = 0 $ ?

Penyelesaian :
persamaan lingkaran, titik pusat, dan jari-jarinya,
$ (x – 3)^2 + ( y + 1)^2 = 9 \rightarrow r = \sqrt{9} = 3 \, $, pusat(3,-1)
$ x^2 + y^2 – 6x + 2y + 1 = 0 \rightarrow A = -6 , \, B = 2, \ , C = 1 $,
Pusat : $(a,b)=(-\frac{A}{2}, – \frac{B}{2}) = (3,-1) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 – C} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 – 1} = \sqrt{9} = 3 $
Karena titik sentra dan jari-jari kedua bulat sama, maka tempat irisannya merupakan bentuk 4 bab kedua.
*). Menentukan Keliling irisan :
$ \begin{align} \text{Keliling irisan } & = 2 \pi . r \\ & = 2 .(3,14) . 3 \\ & = 18,84 \end{align} $
Jadi, keliling irisan kedua bulat tersebut merupakan $ 18,84 \, $ satuan keliling. $ \heartsuit $

       Demikian pembahasan bahan Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4 dan contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan Rangkuman Keliling Irisan Dua Lingkaran.