Keliling Irisan Dua Bundar Bentuk 3

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari artikel “keliling irisan dua bulat bentuk 1” dan “keliling irisan dua bulat bentuk 2“, kita lanjutkan pada artikel ini pembahasan bahan Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3. Adapun bentuk irisan dua bulat bentuk 3 yakni kedua sentra bulat berada disebelah kiri garis perpotongan bulat atau disebelah kanan (kedua sentra bulat berada pada satu ruas terhadap garis perpotongan lingkaran). Sebagaimana biasanya, keliling tempat arsiran irisan dua bulat berbentuk busur-busur pada masing-masing kedua lingkaran, sesampai lalu untuk menghitung kelilingnya teman-teman harus mengetahui rumus panjang busur pada lingkaran. Berikut penterangan menghitung rumus keliling irisannya.

Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3
       Perhatikan gambar irisan dua bulat bentuk 3 berikut ini.

Dari gambar tersebut, keliling irisan dua bulat tersebut merupakan penjumlahan dari dua busur yang terbentuk yakni busur 1 (pada bulat kecil) dan busur 2 (pada bulat besar). Misalkan jari-jari bulat kecil adlah $ r $ dan jari-jari bulat besar merupakan $ R $. Besar sudut pada busur 1 merupakan $ 360^\circ – x $ dan besar sudut busur 2 merupakan $ y $.

$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua bulat bentuk 3
Untuk memilih keliling irisannya, kita harus memilih panjang kedua busurnya, yakni :
*). Busur 1 pada bulat kecil dengan sudut $ 360^\circ – x $ :
busur 1 = $ \frac{360^\circ – x}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{360^\circ – x}{180^\circ} . \pi . r $
*). Busur 2 pada bulat Besar :
busur 2 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . R = \frac{y}{180^\circ} . \pi . R $
*). Sesampai lalu keliling irisannya :
Keliling irisan = busur 1 + busur 2.
Keliling irisan = $ \frac{360^\circ – x}{180^\circ} . \pi . r + \frac{y}{180^\circ} . \pi . R $

Keliling irisan = $ \pi \left( \frac{360^\circ – x}{180^\circ} . r + \frac{y}{180^\circ} . R \right) $

$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk memilih besarnya sudut masing-masing busur, kita memakai hukum kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada busur 2, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 – CD^2}{2.AD.AC} = \frac{R^2 + R^2 – CD^2}{2.R.R} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2R^2 – CD^2}{2R^2} $

Baca Juga:   Keliling Dan Luas Irisan Dua Lingkaran

$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum memilih jarak atau panjang CD, kita harus memilih titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk memilih panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD merupakan
$ CD = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $

Contoh Soal Keliling irisan dua bulat bentuk 3 :
1). Tentukan Keliling irisan dua bulat dengan persamaan bulat masing-masing $ (x – 2)^2 + ( y – 1)^2 = 4 $ dan $ (x – 1)^2 + ( y – 1)^2 = 7 $ ?

Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua bulat :

persamaan bulat dan jari-jarinya,
$ (x – 2)^2 + ( y – 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 $ (lingkaran kecil)
$ (x – 1)^2 + ( y – 1)^2 = 7 \rightarrow R = \sqrt{7} $ (lingkaran besar)
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
$ L_1 : \, (x – 2)^2 + ( y – 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 – 4x – 2y + 1 = 0 $
$ L_2 : \, (x – 1)^2 + ( y – 1)^2 = 7 \rightarrow x^2 + y^2 – 2x – 2y -5 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan bulat :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 – 4x – 2y + 1 = 0 & \\ x^2 + y^2 – 2x – 2y -5 = 0 & – \\ \hline -2x + 6 = 0 & \\ x = 3 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 3 \, $ ke persamaan bulat 1.
$\begin{align} x = 3 \rightarrow (x – 2)^2 + ( y – 1)^2 & = 4 \\ (3 – 2)^2 + ( y – 1)^2 & = 4 \\ 1 + ( y – 1)^2 & = 4 \\ ( y – 1)^2 & = 3 \\ ( y – 1) & = \pm \sqrt{3} \\ y & = 1 \pm \sqrt{3} \\ y = 1 + \sqrt{3} \vee y & = 1 – \sqrt{3} \end{align} $
Sesampai lalu titik potong kedua lingkaran: C($3,1 + \sqrt{3}$ ) dan D($3,1 – \sqrt{3}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(3-3 )^2 + [(1 + \sqrt{3}) – (1 – \sqrt{3}) ]^2 } = 2\sqrt{3} $
*). Menentukan besar sudut CAD (segitiga besar) :
$ \begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2R^2 – CD^2}{2R^2} \\ \cos y & = \frac{2(\sqrt{7})^2 – (2\sqrt{3})^2}{2(\sqrt{7})^2} \\ \cos y & = \frac{14 – 12}{14} \\ \cos y & = \frac{2}{14} \\ \cos y & = \frac{1}{7} \\ y & = arc \, \cos \frac{1}{7} \\ y & = 81,787^\circ \end{align} $
*). Menentukan besar sudut CBD (segitiga kecil) :
$ \begin{align} \cos \angle CBD & = \frac{2r^2 – CD^2}{2r^2} \\ \cos x & = \frac{2(2)^2 – (2\sqrt{3})^2}{2(2)^2} \\ \cos x & = \frac{8 – 12}{8} \\ \cos x & = \frac{-4}{8} \\ \cos x & = -\frac{1}{2} \\ x & = arc \, \cos -\frac{1}{2} \\ x & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan Keliling irisan :
$ \begin{align} \text{Keliling irisan } & = \pi \left( \frac{360^\circ – x}{180^\circ} . r + \frac{y}{180^\circ} . R \right) \\ & = (3,14). \left( \frac{360^\circ – 120^\circ}{180^\circ} . 2 + \frac{81,787^\circ}{180^\circ} . \sqrt{7} \right) \\ & = (3,14). \left( \frac{240^\circ}{180^\circ} . 2 + \frac{81,787^\circ}{180^\circ} . \sqrt{7} \right) \\ & = (3,14). \left( 2,667 + 1,202 \right) \\ & = (3,14). \left( 3,869 \right) \\ & = 12,149 \end{align} $
Jadi, keliling irisan kedua bulat tersebut merupakan $ 12,149 \, $ satuan keliling. $ \heartsuit $

Baca Juga:   Kuasa Bundar , Titik Kuasa, Dan Garis Kuasa Lingkaran

       Demikian pembahasan bahan Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3 dan contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4.