Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar Dan Segaris

Posted on

         Pondok Soal.com – Sebagaimana yang telah kita bahas pada bahan “pengertian vektor dan penulisannya”, vektor terdapat besar (panjangnya) dan arah. Hal ini sangat berkaitan dekat dengan bahan kesamaan dua vektor yang akan kita bahas pada artikel kali ini yaitu bahan Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris. Hal pertama yang akan kita bahas merupakan pengertian kesamaan dua vektor, yang dilanjutkan dengan pembahasan vektor-vektor yang sejajar dan terakhir merupakan titik-titik yang segaris (kolinear). Untuk memudahkan mempelajari bahan Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris, teman-teman harus menguasai sedikit bahan vektor sebelumnya menyerupai “pengertian vektor“, “panjang vektor” dan “vektor basis“. Untuk sub-materi sedikit vektor yang sejajar dan sub-materi titik yang segaris (kolinear) bergotong-royong memeiliki konsep yang sama yaitu menitikberatkan pada konsep kesejajaran pada vektor. Berikut penterangan masing-masing secara lebih kompleks.

Kesamaan Dua Vektor
       Pengertian kesamaan dua buah vektor atau lebih dapar kita tinjau dari dua hal yaitu :
$\spadesuit \, $ Secara Geometri
     Dua buah vektor dikatakan sama apabila kedua vektor terdapat besar (panjangnya) dan arah yang sama. Misalkan vektor $ \vec{AB} $ sama dengan vektor $ \vec{CD} $ atau kita tulis $ \vec{AB} = \vec{CD} $ menyerupai ilustrasi berikut ini.

$ \clubsuit \, $ Secara Aljabar
     Dua buah vektor dikatakan sama apabila unsur-unsur yang bersesuaian besarnya sama (nilainya sama).
*). Vektor di R$^2 $
Misalkan $ \vec{a} = (a_1, \, a_2 ) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2) $.
Jika $ \vec{a} = \vec{b} $ , maka $ a_1 = b_1 $ dan $ a_2 = b_2 $
*). Vektor di R$^3$
Misalkan $ \vec{a} = (a_1, \, a_2, \, a_3 ) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2, \, b_3) $.
Jika $ \vec{a} = \vec{b} $ , maka $ a_1 = b_1 $, $ a_2 = b_2 $ dan $ a_3 = b_ 3 $

Catatan :
Secara Geometri, dua vektor meskipun tak berimpit asalkan terdapat arah dan panjang yang sama, maka kita sebut kedua vektor tersebut sama.

Contoh soal Kesamaan Dua Vektor :

1). DIketahui titik $ A(2,-1,1) $ , $ B(1,0,3) $ , $ C(p, 1, 3) $ dan $ D(-1, q, r) $. Jika $ \vec{AB} = \vec{CD} $ , maka tentukan :
a). Koordinat titik C dan D ,
b). Nilai $ p + q + r $
Penyelesaian :
a). Koordinat titik C dan D ,
$ \begin{align} \vec{AB}& = \vec{CD} \\ B – A & = D – C \\ \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 \\ q \\ r \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} p \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 – 2 \\ 0 – (-1) \\ 3 – 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 – p \\ q – 1 \\ r – 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 – p \\ q – 1 \\ r – 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari kesamaan dua vektor, maka kita peroleh persamaan :
$ -1 = -1 – p \rightarrow p = 0 $
$ 1 = q – 1 \rightarrow q = 2 $
$ 2 = r – 3 \rightarrow r = 5 $
Sesampai kemudian koordinat titik C dan D merupakan
$ C(p,1,3) = (0,1,3) $ dan $ D(-1,q,r) = (-1,2,5) $.

b). Nilai $ p + q + r $
$ p + q + r = 0 + 2 + 5 = 7 $
Jadi, nilai $ p + q + r = 7 $.

2). Perhatikan gambar jajar genjang berikut ini,

Dari gambar tersebut, tentukan :
a). Panjang vektor $ \vec{SR} $ dan vektor $ \vec{PS} $ ,
b). Koordinat titik S.
Penyelesaian :
a). Panjang vektor $ \vec{SR} $ dan vektor $ \vec{PS} $ ,
*). Panjang vektor $ \vec{SR} $ ,
Perhatikan gambar, alasannya yaitu PQRS merupakan jajar genjang, maka panjang SR = panjang PQ. Dilain pihak, vektor $ \vec{SR} $ terdapat arah yang sama dengan vektor $ \vec{PQ} $ , sesampai kemudian vektor $ \vec{SR} = \vec{PQ} $. Panjang vektor $ \vec{SR} $ sama dengan panjang vektor $ \vec{PQ} $.
$ |\vec{SR} | = |\vec{PQ}| = \sqrt{(3-1)^2+(1-(-2))^2+(-2-0)^2)} $
$ = \sqrt{4 + 9 + 4} =\sqrt{17} $
*). Panjang vektor $ \vec{PS} $ ,
Dengan alasan yang sama menyerupai vektor $ \vec{SR} $, maka $ \vec{PS} = \vec{QR} $ ,
$ |\vec{PS}| = |\vec{QR}| = \sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2+(1-(-2))^2} $
$ = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7 $

b). Koordinat titik S.
Pada bab (a) di atas, kita peroleh $ \vec{SR} = \vec{PQ} $ dan $ \vec{PS} = \vec{QR} $, sesampai kemudian koordinat titik S sanggup kita tentukan :
$ \begin{align} \vec{SR} & = \vec{PQ} \\ R – S & = Q – P \\ S & = R – Q + P \\ & = \left( \begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5- 3 + 1 \\ 7 – 1 + (-2) \\ 1 – (-2) + 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, koordinat titik S merupakan $ S(3, 4, 3) $.
Kita juga sanggup memakai kesamaan $ \vec{PS} = \vec{QR} $, juga menawarkan hasil yang sama yaitu koordinat titik S merupakan $ S(3, 4, 3) $.

Baca Juga:   Perbandingan Vektor Pada Ruas Garis

3). Diketahui vektor $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}m – 1 \\ -5 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{v} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right) $. Jika $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka tentukan :
a). Nilai $ m – n $!
b). vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $
c). nilai $ |\vec{u}| + |\vec{v}| $
d). nilai $ | \vec{u} + \vec{v}| $
Penyelesaian :
a). Nilai $ m – n $!
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{v} \\ \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}m – 1 \\ -5 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right) \end{align} $
terbentuk persamaan :
$ \frac{1}{2}m – 1 = -2 \rightarrow \frac{1}{2}m = -1 \rightarrow m = -2 $
$ -5 = 3 – 2n \rightarrow 2n = 8 \rightarrow n = 4 $.
Sesampai kemudian nilai $ m – n = -2 – 4 = -6 $

b). vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $
Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka kita gunakan salah satu saja.
$ \vec{u} = \vec{v} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right) $

c). nilai $ |\vec{u}| + |\vec{v}| $
Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka panjang kedua vektor juga sama yaitu :
$|\vec{u}| + |\vec{v}| = 2|\vec{u}|=2\sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = 2\sqrt{4 + 25} = 2\sqrt{29} $.

d). nilai $ | \vec{u} + \vec{v}| $
Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka
$ \vec{u} + \vec{v} = 2\vec{u} = 2 \left( \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -4 \\ -10 \end{matrix} \right) $
Sesampai kemudian :
$ \begin{align} | \vec{u} + \vec{v}| & = \sqrt{(-4)^2 + (-10)^2} \\ & = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} \\ & = \sqrt{4 \times 29} = 2\sqrt{29} \end{align} $
Jadi, panjang $ | \vec{u} + \vec{v}| = 2\sqrt{29} $.

Vektor-vektor yang sejajar
       Dua vektor atau lebih sejajar terdapat kemiringan vektor yang sama yaitu searah atau berlawanan arah antara vektor-vektor tersebut dimana panjang-panjang vektornya tak harus sama. Dengan kata lain, apabila dua vektor sejajar maka salah satu vektor merupakan kelipatan dari vektor yang lainnya. Perhatikan ilustrasi berikut ini.

$ \spadesuit \, $ Definisi dua vektor sejajar
Vektor $ \vec{p} $ sejajar vektor $ \vec{q} $ ditulis $ \vec{p} // \vec{q} $ apabila $ \vec{p} = k\vec{q} \, $ , dengan $ k $ skalar , $ k \in R $. $ k $ kita sebut sebagai pengali atau kelipatan vektor yang lainnya.
Ada sedikit kecukupan nilai $ k $ :
1). Jika $ k > 0 $ , maka $ \vec{p} $ searah dengan $ \vec{q} $ ,
2). Jika $ k < 0 $ , maka $ \vec{p} $ berlawanan arah dengan $ \vec{q} $ ,
3). Jika $ k = 1 $ , maka $ \vec{p} $ sama dengan $ \vec{q} $ ,
4). Jika $ k = -1 $ , maka panjang kedua vektor sama dan berlawan arah.

Contoh soal kesamaan dua vektor dan vektor sejajar.

4). Perhatikan gambar-gambar vektor di dimensi tiga berikut

Misalkan vektor $ \vec{AB} = \vec{p} $ , $ \vec{AD} = \vec{q} $ dan $ \vec{AE} = \vec{r} $. Tentukan vektor-vektor yang sama dan yang berlawanan arah!
Penyelesaian :
*). Vektor yang sama dengan $ \vec{p} $ merupakan
$ \vec{DC} = \vec{EF} = \vec{p} $
*). Vektor yang berlawanan arah dengan $ \vec{p} $ merupakan
$ \vec{GH} = -\vec{p} $
*). Vektor yang sama dengan $ \vec{q} $ merupakan
$ \vec{BC} = \vec{FG} = \vec{q} $
*). Vektor yang berlawanan arah dengan $ \vec{p} $ merupakan
$ \vec{HE} = -\vec{q} $
*). Vektor yang sama dengan $ \vec{r} $ tak ada
*). Vektor yang berlawanan arah dengan $ \vec{r} $ merupakan
$ \vec{FB} = \vec{GC} = \vec{HD} = -\vec{r} $

5). Diketaui vektor $ \vec{a} = -\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{k} $ . Jika vektor $ \vec{b} $ berlawanan arah dengan vektor $ \vec{b} $ dan terdapat panjang yang sama, maka tentukan vektor $ \vec{b} $!
Penyelesaian :
*). Karena vektor $ \vec{b} $ berlawanan arah dengan vektor $ \vec{b} $ dan terdapat panjang yang sama maka berlaku $ \vec{b} = -\vec{a} $. Sesampai kemudian :
$ \begin{align} \vec{b} & = -\vec{a} \\ & = -(-\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{k}) \\ & = \vec{i} – 3\vec{j} – 2\vec{k} \end{align} $
Jadi, vektor $ \vec{b} = \vec{i} – 3\vec{j} – 2\vec{k} $.

6). Diketahui $ \vec{m} = 6\vec{i}-2\vec{j} + 3\vec{k} $ dan $ \vec{n} $ vektor yang sejajar namun berlawanan arah dengan $ \vec{m} $. Jika panjang vektor $ \vec{n} $ merupakan 21, maka tentukan vektor $ \vec{n} $!
Penyelesaian :
*). Karena vektor $ \vec{n} $ dan $ \vec{m} $ sejajar, maka berlaku $ \vec{n} = c\vec{m} $ dan nilai $ c < 0 $ untuk syarat berlawanan arah.
*). Menentukan vektor $ \vec{n} $ :
$ \vec{n} = c\vec{m} = c(6\vec{i}-2\vec{j} + 3\vec{k}) = 6c\vec{i}-2c\vec{j} + 3c\vec{k} $
*). Menentukan nilai $ c $ dengan $ |\vec{n}| = 21 $
$ \begin{align} |\vec{n}| & = 21 \\ \sqrt{(6c)^2 + (-2c)^2 + (3c)^2} & = 21 \\ \sqrt{36c^2 + 4c^2 + 9c^2} & = 21 \\ \sqrt{49c^2} & = 21 \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 49c^2 & = 21^2 \\ c^2 & =\frac{21 \times 21}{49} \\ c^2 & = 9 \\ c & = \pm 3 \end{align} $
Karena berlawanan arah, maka $ c < 0 $ , sesampai kemudian $ c = -3 $ yang memenuhi.
Sesampai kemudian vektor $ \vec{n} $ merupakan
$ \vec{n} = 6c\vec{i}-2c\vec{j} + 3c\vec{k} = -18\vec{i} +6\vec{j} -9\vec{k} $

Baca Juga:   Pengertian Vektor Dan Penulisannya

7). Jika vektor $ \vec{p} = \left( \begin{matrix} x-1 \\ 4 \\ y – x \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{q} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3x \end{matrix} \right) $ sejajar, maka tentukan nilai $ x + y + 9 $ !
Penyelesaian :
*). Karena kedua vektor sejajar, maka salah satu vektor merupakan kelipatan dari vektor yang lainnya yang sanggup kita tulis $ \vec{p} = k\vec{q} $.
*). Menentukan nilai $ k $ :
$ \begin{align} \vec{p} & = k\vec{q} \\ \left( \begin{matrix} x-1 \\ 4 \\ y – x \end{matrix} \right) & = k\left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3x \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x-1 \\ 4 \\ y – x \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -k \\ 2k \\ 3kx \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari kesamaan dua vektor kita peroleh :
$ 4 = 2k \rightarrow k = 2 $
$ x – 1 = -k \rightarrow x – 1 = -2 \rightarrow x = -1 $
$ y – x = 3kx \rightarrow y – (-1) = 3.2.(-1) \rightarrow y + 1 = – 6 \rightarrow y = -7 $
Sesampai kemudian nilai :
$ x + y + 9 = -1 + (-7) + 9 = 1 $.
Jadi, nilai $ x + y + 9 = 1 $.

8). Diketahui vektor $ \vec{a} = (2, -3 , 1) $ , $ \vec{b} = ( 4, 1, -2) $ , $ \vec{c} = (-6, 9, -3) $ dan $ \vec{d} = (8,2,-1) $. Diantara keempat vektor tersebut, manakah pasangan vektor yang sejajar!
Penyelesaian :
*). Dua buah vektor sejajar terdapat syarat salah satu vektor merupakan kelipatan dari vektor yang lainnya.
*). Pasangan vektor-vektor yang sejajar merupakan :
-). vektor $ \vec{a} $ sejajar dengan $ \vec{c} $ alasannya yaitu $ \vec{c} = -3\vec{a} $
-). vektor $ \vec{b} $ sejajar dengan $ \vec{d} $ alasannya yaitu $ \vec{d} = 2\vec{b} $
*). Lalu bagaimana cara mengecek apakah dua vektor itu sejajar atau tak? Untuk mengecek apakah sejajar atau tak pada dua buah vektor, maka kita bentuk $ \vec{p} = k\vec{q} $ , kemudian kita cari nilai $ k $ dari kesamaan vektor. Jika nilai $ k $ yang kita peroleh sama semua, maka kedua vektor sejajar. Jika nilai $ k $ yang kita peroleh tak sama semua, maka kedua vektor tak sejajar.
Berikut kita ambil sedikit pola pengecekan:
-). Cek vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a} & = k\vec{c} \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) & = k\left( \begin{matrix} -6 \\ 9 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -6k \\ 9k \\ -3k \end{matrix} \right) \\ \end{align} $
Dari kesamaan vektor kita peroleh :
$ 2 = -6k \rightarrow k = -\frac{1}{3} $
$ -3 = 9k \rightarrow k = -\frac{1}{3} $
$ 1 = -3k \rightarrow k = -\frac{1}{3} $
Karena semua nilai $ k $ sama yaitu $ k = -\frac{1}{3} $ , maka vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ sejajar, dimana sanggup kita tuliskan sebagai kelipatan yaitu :
$ \begin{align} \vec{a} & = k\vec{c} \\ \vec{a} & = -\frac{1}{3}\vec{c} \\ -3\vec{a} & = \vec{c} \\ \vec{c} & = -3\vec{a} \end{align} $

-). Cek vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} & = k\vec{b} \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) & = k\left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4k \\ k \\ -2k \end{matrix} \right) \\ \end{align} $
Dari kesamaan vektor kita peroleh :
$ 2 = 4k \rightarrow k = \frac{1}{2} $
$ -3 = k \rightarrow k = -3 $
$ 1 = -2k \rightarrow k = -\frac{1}{2} $
Karena semua nilai $ k $ tak sama semua , maka vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ tak sejajar.

9). Diketahui vektor $ \vec{p} = \left( \begin{matrix} 2x^2 – 4x – 30 \\ -x^2 + 2x + 15 \\ 3x^2 – 6x – 45 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{q} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $.
a). Apakah vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar?
b). Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ biar kedua vektor searah
c). Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ biar kedua vektor berlawan arah
Penyelesaian :
a). Apakah vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar?
Dua vektor sejajar apabila vektor yang satu kelipatan dari vektor yang lainnya atau sanggup kita tulis $ \vec{p} = k\vec{q} $.
$ \begin{align} \vec{p} & = \left( \begin{matrix} 2x^2 – 4x – 30 \\ -x^2 + 2x + 15 \\ 3x^2 – 6x – 45 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} (x^2 – 2x – 15).2 \\ (x^2 – 2x – 15). (-1) \\ (x^2 – 2x – 15).3 \end{matrix} \right) \\ & = (x^2 – 2x – 15) \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \vec{p} & = (x^2 – 2x – 15) \vec{q} \\ \vec{p} & = k \vec{q} \end{align} $
Artinya vektor $ \vec{p} $ kelipatan dari vektor $ \vec{q} $ dengan $ k = x^2 – 2x – 15 $ sesampai kemudian vektor $ \vec{p} $ sejajar dengan vektor $ \vec{q} $.

Baca Juga:   Perkalian Silang Dua Vektor

b). Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ biar kedua vektor searah
Sesuai bab (a), vektor $ \vec{p} $ sejajar dengan $ \vec{q} $. Agar kedua vektor searah, maka nilai $ k > 0 $.
*). Menentukan nilai $ x $ dengan syarat $ k > 0 $ dan menyelesaikan pertaksamaannya.
$ \begin{align} k & > 0 \\ x^2 – 2x – 15 & > 0 \\ (x + 3)(x – 5) & > 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $
Garis bilangannya :

Solusinya : $ x < -3 \vee x > 5 $.
Jadi, kedua vektor akan searah apabila nilai $ x $ memenuhi $ x < – 3 \, $ atau $ x > 5 $.

c). Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ biar kedua vektor berlawan arah
Untuk solusi bab (c) ini merupakan kebalikan dari solusi bab (b) yaitu syarat berlawanan arah merupakan $ k < 0 $.
Jadi, kedua vektor akan berlawanan arah apabila nilai $ x $ memenuhi $ -3 < x < 5 $.

Titik-titik yang segaris (Kolinear)
       Jika diketahui sedikit titik segaris (lebih dari dua titik), maka sanggup kita buat vektor dari masing-masing dua titik yang segaris (kolinear) juga. Karena vektor-vektor yang terbentuk segaris, maka otomatis semua vektor yang terbentuk merupakan sejajar, sesampai kemudian langkah selanjutnya sanggup kita terapkan konsep vektor-vektor yang sejajar menyerupai teori di atas sebelumnya.

       Misalkan terdapat titik A, B, dan C segaris, maka sanggup kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ , $ \vec{BA} $ , $ \vec{AC} $, $ \vec{CA} $ , $ \vec{BC} $ dan $ \vec{CB} $ yang segaris juga (mengakibatkan sejajar) dimana salah satu vektor merupakan kelipatan dari vektor yang lainnya. Artinya sanggup juga kita tulis $ \vec{AB} = k\vec{BC} $ atau $ \vec{AB} = n\vec{AC} $ dan lainnya asalkan vektornya melibatkan lebih dari dua titik.

Contoh soal sedikit titik segaris (kolinear) :

10). Diketahui tiga titik yaitu $ A (-3,-8,-3) $ , $ B(1, -2, -1) $ dan $ C(3,1,0) $. Coba selidiki, apakah titik A, B, dan C terletak pada satu garis (segaris/kolinear)?
Pembahasan :
*). Untuk memilih segaris atau tak, cukup kita bentuk dua vektor dari titik-titik yang ada dan kita cek apakah salah satu vektor merupakan kelipatan dari vektor yang lain, apabila ya maka ketiga titik segaris (dan berlaku sebaliknya).
*). Misal kita bentu vektor :
$ \vec{AB} = B – A = (1 – (-3), -2 – (-8), -1-(-3)) = (4, 6, 2) $
$ \vec{BC} = C – B = ( 3 – 1, 1 – (-2) , 0 – (-1) ) = ( 2, 3, 1 ) $ *). Terlihat bahwa $ \vec{AB} $ kelipatan dari vektor $ \vec{BC} $ yaitu $ \vec{AB} = 2\vec{BC} $.
Artinya dapa kita simpulkan bahwa ketiga titik A, B, dan C segaris (kolinear).

11). Agar titik $ A(2,y,-8) $ , $ B(x, 3y,-2) $ , dan $ C (5, 4y, z ) $ terletak pada satu garis lurus, maka nilai $ x + z = ….$ !
Penyelesaian :
*). Agar ketiga titik segaris(kolinear) , maka dua vektor yang terbentuk dari ketiga titik tersebut harus saling berkelipatan. Misalkan kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ dan vektor $ \vec{BC} $, kita peroleh korelasi :
$ \begin{align} \vec{AB} & = k \vec{BC} \\ B – A & = k (C – B) \\ \left( \begin{matrix} x \\ 3y \\ -2 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} 2 \\ y \\ -8 \end{matrix} \right) & = k \left[ \left( \begin{matrix} 5 \\ 4y \\ z \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} x \\ 3y \\ -2 \end{matrix} \right) \right] \\ \left( \begin{matrix} x – 2 \\ 2y \\ 6 \end{matrix} \right) & = k \left( \begin{matrix} 5 – x \\ y \\ z + 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x – 2 \\ 2y \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} (5 – x)k \\ ky \\ (z + 2)k \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari kesamaan dua vektor kita peroleh :
$ 2y = ky \rightarrow k = 2 $
$ x – 2 = (5 – x)k \rightarrow x – 2 = (5 – x).2 \rightarrow x = 4 $
$ 6 = (z + 2)k \rightarrow 6 = (z + 2). 2 \rightarrow z = 1 $
Sesampai kemudian nilai $ x + z = 4 + 1 = 5 $.
Jadi, nilai $ x + z = 5 $.

       Demikian pembahasan bahan Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “Penjumlahan dan Pengurangan pada Vektor“.