Kombinasi Pada Peluang Dan Contohnya

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita mencar ilmu perihal Kombinasi pada Peluang dan Contohnya yang merupakan salah satu cara dalam perhitungan kaidah pencacahan. Pada bahan Kombinasi pada Peluang dan Contohnya ini kita akan menunjukkan misalnya dengan bermacam variasi yang mudah-mudahan akan lebih membantu dalam memahami konsep kombinasi itu sendiri. Silahkan juga baca bahan “Aturan Persobat semua, Aturan Penjumlahan, dan Faktorial” untuk memudahkan dalam memahami kombinasi terutama bentuk faktorialnya.

Konsep Kombinasi pada Peluang
       Kombinasi merupakan cara penyusunan suatu unsur pada suatu insiden yang TIDAK memperhatikan URUTAN. Misalkan kita akan menentukan dua orang untuk mewakili sebuah tim, dan yang terpilih merupakan si A dan si B (disingkat AB). Untuk menyebutkan si A dan si B yang terpilih sanggup dengan dua cara ialah AB atau BA. Akan tenamun pada kasus ini urutan AB atau BA tak kuat lantaran tetap saja yang terpilih dua orang tersebut untuk mewakili sebuah tim. Berbeda apabila kita menentukan dua orang untuk menjadi pengurus (misal sebagai ketua dan bendahara), misal si A menjadi ketua dan si B menjadi bendahara akan berbeda posisinya apabila si B menjadi ketua dan si A menjadi bendahara secara kepengurusan.

       Kombinasi $ k $ unsur dari $ n $ unsur biasa dituliskan $ C_k^n \, $ atau $ \, _nC_k \, $ atau $ C(n,k) \, $ atau $ \, \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) \, $. Banyak kombinasi $ k $ unsur dari $ n $ unsur yang tersedia, tanpa memperhatikan urutan susunannya sanggup ditentukan dengan Rumus :
$ C_k^n = \frac{n!}{(n-k)!.k!} \, $
dengan $ n \geq k , \, $ dan $ n , \, k \, $ merupakan bilangan asli.
Bentuk $ n! \, $ dibaca “$n \, $ faktorial”.
$ n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)…3.2.1 \, $ dan nilai $ 0! = 1 $.

Contoh soal kombinasi
1). Tentukan nilai bentuk kombinasi berikut ini,
a). $ C_2^5 $
b). $ C_2^7 \times C_1^4 $
Penyelesaian :
a). $ \begin{align} C_2^5 & = \frac{5!}{(5-2)!.2!} = \frac{5!}{3!.2!} = \frac{5.4.3!}{3!.(2.1)} = 10 \end{align} $
b). $ C_2^7 \times C_1^4 $
$ \begin{align} C_2^7 \times C_1^4 & = \frac{7!}{(7-2)!.2!} \times \frac{4!}{(4-1)!.1!} \\ & = \frac{7!}{5!.2!} \times \frac{4!}{3!.1!} \\ & = \frac{7.6.5!}{5!.2.1} \times \frac{4.3!}{3!.1} \\ & = 21 \times 4 \\ & = 84 \end{align} $

2). Tentukan nilai $ n \, $ dari persamaan kombinasi $ C_2^n = 4n + 5 $ ,
dan tentukan nilai $ C_9^n $.
Penyelesaian :
*). Jabarkan bentuk kombinasinya dan faktorkan :
$ \begin{align} C_2^n & = 4n + 5 \\ \frac{n!}{(n-2)!.2!} & = 4n + 5 \\ \frac{n.(n-1).(n-2)!}{(n-2)!.2.1} & = 4n + 5 \\ \frac{n.(n-1) }{2} & = 4n + 5 \\ n^2 – n & = 2(4n + 5) \\ n^2 – n & = 8n + 10 \\ n^2 – 9n – 10 & = 0 \\ (n+1)(n-10) & = 0 \\ n = -1 \vee n & = 10 \end{align} $
Karena $ n \, $ bilangan asli, maka yang memenuhi merupakan $ n = 10 $.
*). Menentukan nilai $ C_9^n $
$ \begin{align} C_9^n = C_9^{10} & = \frac{10!}{(10-1)!.1!} = \frac{10!}{9!.1!} = \frac{10.9!}{9!} = 10 \end{align} $

Baca Juga:   Permutasi Pada Peluang Dan Contohnya

3). Dalam training bulutangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 orang pemain putri. Berapakah pasangan ganda yang sanggup diperoleh untuk:
a). ganda putra
b). ganda putri
c). ganda adonan
Penyelesaian :
a). Karena kayanya pemain putra ada 10 dan akan dipilih 2 untuk bermain ganda, maka kaya cara pemilihan 2 putra dari 10 putra yang ada ialah :
$ \begin{align} C_2^{10} & = \frac{10!}{(10-2)!.2!} = \frac{10!}{8!.2!} = \frac{10.9.8!}{8! . 2.1} = 45 \end{align} \, $ cara.

b). Karena kayanya pemain putri ada 8 orang dan dipilih 2, maka kayanya cara pemilihan 2 putri dari 8 putri yang ada ialah :
$ \begin{align} C_2^8 & = \frac{8!}{(8-2)!.2!} = \frac{8!}{6!.2!} = \frac{8.7.6!}{6! . 2.1} = 28 \end{align} \, $ cara.

c). Ganda adonan berarti 10 putra diambil satu dan 8 putri diambil 1, maka:
$ \begin{align} C_1^{10} \times C_1^8 & = \frac{10!}{(10-1)!.1!} \times \frac{8!}{(8-1)!.1!} \\ & = \frac{10!}{9!.1!} \times \frac{8!}{7!.1!} \\ & = \frac{10.9!}{9! } \times \frac{8.7!}{7! } \\ & = 10 \times 8 \\ & = 80 \, \, \, \text{ cara } \end{align} $

4). Tersedia 10 siswa yang memenuhi syarat menjadi tim olimpiade matematika suatu SMA. Dari sejumlah calon itu, 6 siswa pintar komputer dan 4 siswa pintar bahasa inggris. Tim yang dibuat beranggotakan 3 siswa yang terdiri dari 2 siswa pintar komputer dan 1 siswa pintar bahasa inggris. Berapa kaya susunan yang cukup sanggup dibentuk?
Penyelesaian :
*). Akan dipilih 3 orang sebagai sebuah tim yang mewakili sekolah dengan rincian 2 siswa dari komputer dan 1 siswa dari bahasa inggris.
*). Banyak cara pemilihan 2 siswa dari 6 siswa pintar komputer :
$ \begin{align} C_2^6 & = \frac{6!}{(6-2)!.2!} = \frac{6!}{4!.2!} = \frac{6.5.4!}{4! . 2.1} = 15 \end{align} \, $ cara.
*). Banyak cara pemilihan 1 siswa dari 4 siswa pintar bahasa inggris :
$ \begin{align} C_1^4 & = \frac{4!}{(4-1)!.1!} = \frac{4!}{3!.1!} = \frac{4.3!}{3! } = 4 \end{align} \, $ cara.
*). Karena 2 siswa dari komputer dan 1 siswa dari bahasa inggris harus terpilih SEKALIGUS, maka berlaku “aturan persobat semua”. Sesampai lalu total cara pemilihan 3 siswa ialah :
$ \begin{align} C_2^6 \times C_1^4 = 15 \times 4 = 60 \end{align} \, $ cara.

Baca Juga:   Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)

5). Dalam pertemuan untuk menentukan tanggal kelulusan siswa, 20 orang guru diundang, sehabis memutuskan tanggal kelulusan, mereka saling berjabat tangan. Berapa kaya jabat tangan yang terjadi?
Penyelesaian :
*). Jabat tangan biasanya hanya dilakukan antar 2 orang saja, artinya untuk menentukan kayanya jabat tangan yang terjadi sama saja dengan kita menentukan kayanya cara menentukan 2 orang untuk berjabat tangan dari 20 orang guru yang ada. Dua orang jabat tangan tak memperhatikan urutan sesampai lalu kita menggukanan konsep kombinasi.
*). Total kaya cara jabat tangan ialah menentukan 2 orang dari 20 orang guru ialah
$ \begin{align} C_2^{20} & = \frac{20!}{(20-2)!.2!} = \frac{20!}{18!.2!} = \frac{20.19.18!}{18! . 2.1 } = 190 \end{align} \, $ cara.
Jadi, totalnya ada 190 jabat tangan yang terjadi.

6). Pada bidatang datar tertentu terdapat 20 titik dan tak ada 3 titik yang terletak pada satu garis.
a). Tentukan kaya garis yang terbentuk.
b). Tentukan kaya segitiga yang terbentuk.
Penyelesaian :
*). Dalam pemilihan titik (baik 2 titik atau 3 titik), urutan tak diperhatikan sesampai lalu kita memakai konsep kombinasi.
a). Karena tak ada 3 titik yang segaris, maka untuk membuat garis kita cukup menghubungkan dua titik saja. Ini artinya kita hanya butuh 2 titik saja yang dipilih dari 20 titik yang ada dengan kayanya cara pemilihan 2 titik dari 20 titik yang ada ialah :
$ \begin{align} C_2^{20} & = \frac{20!}{(20-2)!.2!} = \frac{20!}{18!.2!} = \frac{20.19.18!}{18! . 2.1 } = 190 \end{align} \, $ cara.
Jadi, totalnya ada 190 garis yang terbentuk dari 20 titik yang ada.

b). Karena tak ada 3 titik yang segaris, maka untuk membuat segitiga kita cukup menghubungkan tiga titik saja. Ini artinya kita hanya butuh 3 titik saja yang dipilih dari 20 titik yang ada dengan kayanya cara pemilihan 3 titik dari 20 titik yang ada ialah :
$ \begin{align} C_3^{20} & = \frac{20!}{(20-3)!.3!} = \frac{20!}{17!.3!} = \frac{20.19.18.17!}{17! . 3.2.1 } = 1140 \end{align} \, $ cara.
Jadi, totalnya ada 1.140 segitiga yang terbentuk dari 20 titik yang ada.

7). Budi mengikuti UTS pelajaran Matematika. Ada 15 soal yang diuapabilan di kelas. Dari 15 soal yang ada, setiap siswa harus menentukan 12 soal untuk dikerjakan. Dari 12 soal yang dipilih, soal nomor 1 hingga nomor 5 wajib dikerjakan. Tentukan kaya cara pemilihan soal yang sanggup dilakukan oleh Budi?
Penyelesaian :
*). Untuk pemilihan soal, urutan tak diperhatikan, misalkan Budi mengerjakan soal nomor 2 dan nomor 5 akan sama saja dengan Budi mengerjakan soal nomor 5 dan nomor 2. Sesampai lalu untuk menyelesaikannya kita memakai konsep kombinasi.
*). Soal nomor 1 hingga nomor 5 wajib dikerjakan, artinya Budi tinggal menentukan $ 12 – 5 = 7 \, $ soal tersisa dari soal nomor 6 hingga nomor 15 yang ada lantaran 5 soal sudah niscaya nomor 1 hingga nomor 5.
*). Memilih 7 soal dari nomor 6 hingga nomor 15, artinya kita menentukan 7 soal dari 10 soal tersisa dengan kaya cara :
$ \begin{align} C_7^{10} & = \frac{10!}{(10-7)!.7!} = \frac{10!}{3!.7!} = \frac{10.9.8.7!}{(3.2.1).7! } = 120 \end{align} \, $ cara.
Jadi, 120 cara untuk Budi melaksanakan pemilihan soal yang akan dikerjakannya.

Baca Juga:   Apa Bedanya Permutasi Dan Kombinasi Pada Peluang

8). Pak Bayu terdapat 5 warna cat berbeda ialah warna Merah, Putih, Biru, Kuning, dan Hijau. Pak Bayu ingin terdapat warna cat selain kelima warna yang telah dimilikinya itu, dan Pak Bayu pun memiliki pandangan gres ialah dengan mencampur dua jenis warna cat dari 5 warna cat yang ada. Ada berapakah warna cat gres yang diperoleh oleh pak Bayu?
Penyelesaian :
*). Dua warna cat dicampurkan akan diperoleh warna baru, misalkan warna Merah dicampur dengan Hijau kesannya akan sama dengan warna Hijau dicampurkan dengan warna Merah, ini artinya urutan tak diperhatikan sesampai lalu kita sanggup memakai konsep kombinasi.
*). Dua warna akan dicampurkan dari 5 warna yang ada, artinya kita akan menentukan 2 unsur dari 5 unsur dengan kaya cara ialah :
$ \begin{align} C_2^5 & = \frac{5!}{(5-2)!.2!} = \frac{5!}{3!.2!} = \frac{5.4.3!}{3!.2.1 } = 10 \end{align} \, $ cara.
Jadi, ada 10 warna cat gres yang akan diperoleh oleh pak Bayu sehabis mencampurkan dua warna dari 5 warna cat yang ada.