Komponen Vektor Yang Tegak Lurus Terhadap Vektor

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari bahan “proyeksi ortogonal vektor pada vektor“, pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor. Materi Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor ini sangat terkait dengan proyeksi vektor alasannya yaitu pengerjaannya melibatkan bentuk proyeksi vektor. Pada proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada vektor $ \vec{b} $ menghasilkan vektor $ \vec{c} $ dimana vektor $ \vec{c} $ merupakan “komponen vektor $ \vec{a} $ yang sejajar terhadap vektor $ \vec{b} $”. Namun pada artikel ini kita lebih fokus pada komponen yang tegak lurus. Untuk memudahkan mempelajari bahan Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor, teman-teman harus menguasai bahan “penjumlahan dan pengurangan vektor“, “persobat semua vektor dengan skalar“, “persobat semua dot dua vektor“, “panjang vektor“, dan tentunya bahan “proyeksi vektor”.

         Dalam mempelajari Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor, perhatikan gambar berikut. Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ di R$^2$ atau R$^3$ menyerupai tampak pada gambaran gambar berikut ini.

Komponen Vektor $ \vec{a} $ yang Tegak Lurus terhadap Vektor $ \vec{b} $ ditunjukkan oleh vektor $ \vec{p} $ (hasilnya merupakan vektor $ \vec{p}$). Vektor $ \vec{c} $ merupakan vektor proyeksi $ \vec{a} $ terhadap $ \vec{b} $ yang kita sebut sebagai komponen sejajar $ \vec{a} $ terhadap $ \vec{b} $.

Menentukan Komponen Vektor $ \vec{a} $ yang Tegak Lurus terhadap Vektor $ \vec{b} $
       Perhatikan gambaran gambar di atas, kita peroleh rumus :
$ \spadesuit, $ komponen yang sejajar
       Komponen yang sejajar merupakan vektor $ \vec{c} $
$ \clubsuit \, $ Komponen yang tegak lurus
       Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus vektor $ \vec{b} $ merupakan vektor $ \vec{c} $ yang sanggup kita cari dengan cara :
              $ \begin{align} \vec{p} = \vec{a} – \vec{c} = \vec{a} – \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $.

Contoh Soal Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor :

Baca Juga:   Rumus Panjang Berkaitan Perkalian Dot

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = (1, -2, 3) $ dan $ \vec{b} = (-3, 1, 2) $. Tentukan :
a). Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{b} $
b). Komponen vektor $ \vec{b} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{a} $
Penyelesaian :
*). Menentukan persobat semua dot dan panjang vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = \vec{b}.\vec{a} = 1.(-3) + -2.1 + 3.1 = -3 -2 + 6 = 1 $
$ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} $
$ |\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} $
a). Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{b} $
Misalkan akhirnya vektor $ \vec{p} $ :
$ \begin{align} \vec{p} & = \vec{a} – \vec{c} = \vec{a} – \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = (1, -2, 3) – \left( \frac{1}{(\sqrt{14})^2} \right) (-3, 1, 2) \\ & = (1, -2, 3) – \left( \frac{1}{14} \right) (-3, 1, 2) \\ & = (1, -2, 3) – \left( -\frac{3}{14}, \frac{1}{14}, \frac{2}{14} \right) \\ & = \left( \frac{14}{14}, -\frac{28}{14}, \frac{42}{14} \right) – \left( -\frac{3}{14}, \frac{1}{14}, \frac{2}{14} \right) \\ & = \left( \frac{17}{14}, -\frac{29}{14}, \frac{40}{14} \right) \end{align} $
Sesampai lalu Komponen vektor $ \vec{a} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{b} $ merupakan $ \left( \frac{17}{14}, -\frac{29}{14}, \frac{40}{14} \right) $.

b). Komponen vektor $ \vec{b} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{a} $
Misalkan akhirnya vektor $ \vec{q} $ :
$ \begin{align} \vec{q} & = \vec{b} – \vec{c} = \vec{b} – \left( \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \\ & = (-3, 1, 2) – \left( \frac{1}{(\sqrt{14})^2} \right) (1, -2, 3) \\ & = (-3, 1, 2) – \left( \frac{1}{14} \right) (1, -2, 3) \\ & = (-3, 1, 2) – \left( \frac{1}{14}, -\frac{2}{14}, \frac{3}{14} \right) \\ & = \left( -\frac{42}{14}, \frac{14}{14}, \frac{28}{14} \right) – \left( \frac{1}{14}, -\frac{2}{14}, \frac{3}{14} \right) \\ & = \left( -\frac{43}{14}, \frac{16}{14}, \frac{25}{14} \right) \end{align} $
Sesampai lalu Komponen vektor $ \vec{b} $ yang tegak lurus terhadap vektor $ \vec{a} $ merupakan $ \left( -\frac{43}{14}, \frac{16}{14}, \frac{25}{14} \right) $.

Baca Juga:   Perkalian Silang Dua Vektor

2). Diketahui $ \vec{ a} = ( x, 0 , 2) $, $ \vec{b} = (1, 1, -1) $ dan komponen vektor $ \vec{a} $ terhadap vektor $ \vec{b} $ merupakan $ (0, 1, 1) $. Tentukan nilai $ x $!
Penyelesaian :
*). Misalkan komponen tegak lurusnya merupakan $ \vec{p} = (0, 1,1) $.
*). Menentukan persobat semua dot dan panjang vektor :
$ \vec{a}. \vec{b} = x. 1 + 0.1 + 2.(-1) = x – 2 $
$ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} \vec{p} & = \vec{a} – \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ (0, 1, 1) & = ( x, 0 , 2) – \left( \frac{x – 2}{(\sqrt{3})^2} \right) (1, 1, -1) \\ (0, 1, 1) & = ( x, 0 , 2) – \left( \frac{x – 2}{3} \right) (1, 1, -1) \\ (0, 1, 1) & = ( x, 0 , 2) – \left( \frac{x – 2}{3} , \frac{x – 2}{3} , -\frac{x – 2}{3} \right) \\ (0, 1, 1) & = \left( x – \frac{x – 2}{3} , 0 – \frac{x – 2}{3} , 2 + \frac{x – 2}{3} \right) \\ (0, 1, 1) & = \left( x – \frac{x – 2}{3} , – \frac{x – 2}{3} , 2 + \frac{x – 2}{3} \right) \end{align} $
Dari kesamaan dua vektor ini kita pilih yang termudah dihitung yaitu yang tengah :
$ 1 = – \frac{x – 2}{3} \rightarrow x-2 = -3 \rightarrow x = -1 $.
Jadi, nilai $ x = -1 $.

$ \clubsuit \, $ pembuktian Rumus Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor :
Perhatikan gambaran gambar beriut,

-). Vektor $ \vec{c} $ merupakan vektor proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
$ \, \, \, \, \, \, \vec{c} = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $ .
-). Perhatikan vektor $ \vec{a} $ , $ \vec{c} $ , dan $ \vec{p} $ . Berdasarkan hukum penjumlahan secara geometri yaitu aturan jajargenjang, maka kita peroleh :
$ \begin{align} \vec{a} & = \vec{c} + \vec{p} \\ \vec{p} & = \vec{a} – \vec{c} \\ \vec{p} & = \vec{a} – \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa komponen tegak lurusnya merupakan $ \vec{p} = \vec{a} – \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} $.

Baca Juga:   Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor

       Demikian pembahasan bahan Komponen Vektor yang Tegak Lurus terhadap Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “Materi vektor tingkat SMA” yang ada pada setiap bab simpulan dari artikel. Terima kasih.