Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang

Posted on

         Pondok Soal.com – Sebelumnya kita telah mempelajari bahan “Komposisi Pencerminan Garis Vertikal atau Horizontal“, pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang. Pencerminan dua garis sembarang yang dimaksud merupakan pencerminan terhadap garis $ y = m_1x + c_1 $ dan dilanjutkan lagi pencerminan terhadap garis $ y = m_2x + c_2 $. Perlu diperhatikan bahwa, pengerjaan transformasinya bukan satu demi satu melainkan sekaligus memakai bentuk komposisi transformasinya.

         Untuk pengerjaan bentuk Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang ini ternyata memakai konsep “rotasi pada transformasi geometri“. Ini artinya kita membutuhkan titik sentra rotasi dan besarnya sudut putar $ \theta $, serta matriks transformasinya. Komposisi pencerminan dua garis sembarang yakni garis $ y = m_1x+c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $ ditunjukkan oleh ilustrasi gambar ibarat berikut dimana titik $A(x,y)$ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime }(x^{\prime \prime } ,y^{\prime \prime } ) $.

         Hal-hal fundamental yang harus kita kuasai untuk memudahkan mempelajari bahan Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang $ y = m_1x+c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $ yakni operasi hitung pada matriks, rumus perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, sudut rangkap pada trigonometri, nilai trigonometri sudut-sudut istimewa, invers dan determinan matriks, dan juga bahan menentukan gradien suatu garis lurus. Berikut penterangan cara penghitungannya.

Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang $ y = m_1x+c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $
       Perhatikan gambar di atas, titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $ y = m_1x+c $, lalu dilanjutkan lagi pencerminan terhadap garis $ y=m_2x+c_2$ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime }(x^{\prime \prime } ,y^{\prime \prime } ) $, dimana pengerjaannya memakai konsep rotasi yakni :
Pusatnya $(a,b)$ diperoleh dari perpotongan kedua garis,
Sudut putaran : $ 2\theta $
dengan $ \tan \theta = \left| \frac{m_1 – m_2}{1 + m_1.m_2} \right| $
dimana $ m_1 $ merupakan gradien garis pertama dan $ m_2$ merupakan gradien garis kedua.
Matriksnya : $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) $

*). Pengerjaan memakai rumus umum transformasi geometri :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime – a \\ y^\prime – b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – a \\ y-b \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – a \\ y-b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Untuk pembuktian matriks rotasinya, silahkan teman-teman baca artikel :
Pembuktian matriks pencerminan dua garis sembarang.

Contoh soal Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang :

1). Suatu berdiri dicerminkan terhadap garis $ y = 3x – 3 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = -\frac{1}{3}x + 7 $. Tentukan titik sentra komposisi transformasinya dan tentukan matriks komposisinya!

Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing garis :
Garis pertama : $ y = 3x – 3 \rightarrow m_1 = 3 $.
Garis kedua : $ y = -\frac{1}{3}x + 7 \rightarrow m_2 = -\frac{1}{3} $
Hasil kali kedua gradien : $ m_1.m_2 = 3 \times -\frac{1}{3} = -1 $.
*). Menentukan besarnya sudut kedua garis :
Karena hasil kali gradien kedua garis merupakan $ – 1 $ , maka sudut yang dibuat oleh kedua garis merupakan $ 90^\circ $ (siku-siku / tegak lurus). Sesampai lalu besarnya $ \theta = 90^\circ $ .
Silahkan baca : “Hubungan Dua Garis Lurus“.
*).Menentukan matriks campuran atau matriks komposisinya :
$ \begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2(90^\circ) & -\sin 2(90^\circ) \\ \sin 2(90^\circ) & \cos 2(90^\circ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan titik sentra rotasi :
Substitusi atau eliminasi kedua persamaan untuk memperoleh titik potongnya :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 3x – 3 & = -\frac{1}{3}x + 7 \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 9x – 9 & = -x + 21 \\ 9x + x & = 9 + 21 \\ 10x & = 30 \\ x & = \frac{30}{10} = 3 \end{align} $
Persamaan 1 : $ y = 3x – 3 \rightarrow y = 3.3 – 3 = 9 – 3 = 6 $
titik potong kedua garis $ (x,y) = (3,6) $.
Sesampai lalu titik sentra rotasinya : $ (a,b) = (3,6) $.
Jadi, titik pusatnya $ (3,6) $ dan matriks gabungannya $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \, \heartsuit $

Baca Juga:   Komposisi Rotasi Sepusat

2). Suatu berdiri dicerminkan terhadap garis $ 2x-y = 4 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ x + y = -1 $. Tentukan titik sentra komposisi transformasinya dan tentukan matriks komposisinya!

Penyelesaian :
*). Gradien garis $ ax + by = c \rightarrow m = -\frac{a}{b} $
*). Menentukan gradien masing-masing garis :
Garis pertama : $ 2x – y = 4 \rightarrow m_1 = -\frac{2}{-1} = 2 $.
Garis kedua : $ x + y = -1 \rightarrow m_2 = -\frac{1}{1} = – 1 $
Hasil kali kedua gradien : $ m_1.m_2 = 2 \times -1 = -2 $.
artinya kedua garis tak tegak lurus.
*). Menentukan besarnya sudut kedua garis :
$ \tan \theta = \left| \frac{m_1 – m_2}{1 + m_1.m_2} \right| = \left| \frac{2 – (-1)}{1 + 2.(-1)} \right| = \left| \frac{3}{-1} \right| = | -3| = 3 $
Karena hasil dari $ \tan \theta = 3 $ yang bukan dari hasil sudut istimewa, maka kita gunakan rumus sudut rangkap saja untuk memilih nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $.
Diketahui $ \tan \theta = 3 = \frac{3}{1} = \frac{de}{sa} $
sesampai lalu $ de = 3 $ dan $ sa = 1 $.
Dengan pythagoras untuk memilih sisi miring segitiga siku-sikunya (mi) :
$ mi = \sqrt{de^2 + sa^2 } = \sqrt{3^2 + 1^2 } = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $.
Sesampai lalu nilai : $ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{3}{\sqrt{10}} $ dan $ \cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{1}{\sqrt{10}} $
Silahkan baca : “Perbandingan trigonometri segitiga siku-siku“.
*). Menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ :
$ \cos 2\theta = 2\cos ^2 \theta – 1 = 2 (\frac{1}{\sqrt{10}})^2 – 1 = \frac{2}{10} – 1 = \frac{1}{5} – 1 = – \frac{4}{5} $
$ \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta = 2 . \frac{3}{\sqrt{10}} . \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $
silahkan baca : “Sudut rangkap (ganda) pada trignometri“.
*).Menentukan matriks campuran atau matriks komposisinya :
$ \begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} – \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & – \frac{4}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan titik sentra rotasi :
Substitusi atau eliminasi kedua persamaan untuk memperoleh titik potongnya :
$ \begin{array}{cc} 2x – y = 4 & \\ x + y = -1 & + \\ \hline 3x = 3 & \\ x = 1 & \end{array} $
Persamaan 2 : $ x + y = -1 \rightarrow 1 + y = -1 \rightarrow y = -2 $
titik potong kedua garis $ (x,y) = (1,-2) $.
Sesampai lalu titik sentra rotasinya : $ (a,b) = (1,-2) $.
Jadi, titik pusatnya $ (1,-2) $ dan matriks gabungannya $ \left( \begin{matrix} – \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & – \frac{4}{5} \end{matrix} \right). \, \heartsuit $

Baca Juga:   Transformasi Geometri Secara Umum

3). Tentukan bayangan titik A(3,5) apabila dicerminkan terhadap garis $ 2x-y = 4 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ x + y = -1 $!

Penyelesaian :
*). Untuk titik sentra dan matriks gabungannya sama dengan pola soal nomor (2) di atas, sesampai lalu tinggal kita pakai pada soal nomor (3) ini.
Titik sentra : $ (a,b) = (1,-2) $
Matriks : $ MT \left( \begin{matrix} – \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & – \frac{4}{5} \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan titik A(3,5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – a \\ y-b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} – \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & – \frac{4}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 – 1 \\ 5- (-2) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} – \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & – \frac{4}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} – \frac{8}{5} + -\frac{21}{5} \\ \frac{6}{5} + – \frac{28}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} – \frac{29}{5} \\ – \frac{22}{5} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} – \frac{29}{5} + 1 \\ – \frac{22}{5} – 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} – \frac{24}{5} \\ – \frac{32}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
Silahkan baca : “Operasi hitung pada matriks“.
Jadi, bayangan titik A merupakan $ A^\prime \left( – \frac{24}{5} , – \frac{32}{5} \right) . \, \heartsuit $.

4). Tentukan bayangan persamaan $ y = x^2 – 2 $ apabila dicerminkan terhadap garis $ 2x – y = 3 $ lalu dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ 3x + y = 7 $!

Penyelesaian :
*). Gradien garis $ ax + by = c \rightarrow m = -\frac{a}{b} $
*). Menentukan gradien masing-masing garis :
Garis pertama : $ 2x – y = 3 \rightarrow m_1 = -\frac{2}{-1} = 2 $.
Garis kedua : $ 3x + y = 7 \rightarrow m_2 = -\frac{3}{1} = – 3 $
Hasil kali kedua gradien : $ m_1.m_2 = 2 \times -3 = -6 $.
artinya kedua garis tak tegak lurus.
*). Menentukan besarnya sudut kedua garis :
$ \tan \theta = \left| \frac{m_1 – m_2}{1 + m_1.m_2} \right| = \left| \frac{2 – (-3)}{1 + 2.(-3)} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = | -1| = 1 $
Karena hasil dari $ \tan \theta = 1 $, maka sudut $ \theta $ yang memenuhi merupakan $ \theta = 45^\circ $
*).Menentukan matriks campuran atau matriks komposisinya :
$ \begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2(45^\circ ) & -\sin 2(45^\circ ) \\ \sin 2(45^\circ ) & \cos 2(45^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan titik sentra rotasi :
Substitusi atau eliminasi kedua persamaan untuk memperoleh titik potongnya :
$ \begin{array}{cc} 2x – y = 3 & \\ 3x + y = 7 & + \\ \hline 5x = 10 & \\ x = 2 & \end{array} $
Persamaan 2 : $ 3x + y = 7 \rightarrow 3 . 2 + y = 7 \rightarrow 6 + y = 7 \rightarrow y = 1 $
titik potong kedua garis $ (x,y) = (2,1) $.
Sesampai lalu titik sentra rotasinya : $ (a,b) = (2,1) $.
sesampai kemudian, titik pusatnya $ (2,1) $ dan matriks gabungannya $ \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \, \heartsuit $
*). Menentukan kekerabatan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime – a \\ y^\prime – b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – a \\ y-b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime – 2 \\ y^\prime – 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – 2 \\ y-1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime – 2 \\ y^\prime – 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -y + 1 \\ x – 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime – 2 = -y + 1 \rightarrow y = -x^\prime + 3 $
$ y^\prime – 1 = x – 2 \rightarrow x = y^\prime + 1 $
*). Kita substitusi bentuk $ x = y^\prime + 1 $ dan $ y = -x^\prime + 3 $ ke persamaan awal sesampai lalu kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^2 – 2 \\ -x^\prime + 3 & = (y^\prime + 1 )^2 – 2 \\ -x^\prime & = (y^\prime + 1 )^2 – 2 – 3 \\ -x^\prime & = (y^\prime + 1 )^2 – 5 \\ x^\prime & = -(y^\prime + 1 )^2 + 5 \end{align} $
Sesampai lalu bayangannya : $ x^\prime = -(y^\prime + 1 )^2 + 5 $ atau $ x = -(y+1)^2 + 5 $ .
Jadi, persamaan bayangannya merupakan $ x = -(y+1)^2 + 5 . \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Transformasi Geometri Persamaan Kurva Atau Fungsi

       Demikian pembahasan bahan Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan Komposisi Dilatasi.