Komposisi Pencerminan Garis Vertikal Atau Horizontal

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Komposisi Pencerminan Garis Vertikal atau Horizontal. Sebelumnya telah kita bahas bahan “Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi” dan “Pencerminan terhadap Garis $ y = mx + c $“. Sebagaimana komposisi transformasi yang lainnya, komposisi pencerminan juga melibatkan lebih dari satu pencerminan yang dilakukan secara berurutan terhadap suatu berdiri atau benda tertentu. Sebenarnya refleksi atau pencerminan ada sedikit jenis yakni pencerminan terhadap sumbu X, sumbu Y, garis $ y = x $, garis $ y = -x $, dan pencerminan terhadap sentra koordinat. Namun pada bahan ini kita lebih fokuskan pada pembahsan Komposisi Pencerminan Garis Vertikal atau Horizontal yakni pencerminan terhadap garis $ y = h $ dan garis $ x = k $. Untuk jenis komposisi pencerminan yang tak dibahas pada artikel ini, pengerjaannya menyerupai dengan maeri “komposisi transformasi dengan matriks” dimana titik pusatnya tak ada atau dianggap (0,0).

Komposisi Pencerminan garis Vertikal sejajar sumbu Y
       Suatu berdiri dicerminkan terhadap garis $ x = k $, dilanjutkan pencerminan terhadap garis $ x = h $, maka bayangannya merupakan :
$A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (2(h-k)+a,b) $

Penulisan dalam bentuk matriks :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2(h-k) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $

Ilustrasi gambarnya :

Contoh soal Komposisi Pencerminan garis Vertikal sejajar sumbu Y :

1). Tentukan bayangan titik C(-2,1) apabila dicerminkan terhadap garis $ x = 1 $ , kemudian dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ x = 3 $!

Penyelesaian :
Cara I :
*). Kita sanggup mengerjakan satu per satu pencerminannnya dengan rumus yang telah kita pelajari sebelumnya pada artikel “refleksi atau pencerminan pada transformasi“, rumusnya pencerminan terhadap garis $ x = k $ dengan pencerminan pertama terhadap garis $ x = 1 $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2k \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \times 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Dilanjutkan pencerminan kedua terhadap garis $ x = 3 $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^{\prime \prime} \\ b^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2k \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \times 3 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan selesai dari titik C merupakan $ C^{\prime \prime} (2,1). \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Transformasi Geometri Luas Bangkit Datar

Silahkan baca : “operasi hitung pada matriks” untuk mempermudah dalam pengerjaan matriks transformasi berupa pencerminan di artikel ini.

Cara II :
*). Kita eksklusif memakai komposisi transformasi pencerminan menyerupai rumus di atas.
*). Pencerminan terhadap garis $ x = 1 $, dilanjutkan pencerminan terhadap garis $ x = 3 $, artinya $ k = 1 $ dan $ h = 3 $. Bayangan titik C(-2,1) sanggup kita tentukan sebagai berikut :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2(h-k) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2(3 – 1) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik C merupakan $ C^\prime (2,1). \, \heartsuit $.

2). Tentukan bayangan dari persamaan $ y = x^2 – 5 $ apabila dicerminkan terhadap garis $ x = -3 $ kemudian dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ x = 2$!

Penyelesaian :
*). Pencerminan terhadap garis $ x = -3 $ dilanjutkan lagi dengan $ x = 2 $, artinya $ k = -3 $ dan $ h = 2 $. Hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime )$ yakni :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2(h-k) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2(2 – (-3)) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2(5) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 10 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + 10 \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = x + 10 \rightarrow x = x^\prime – 10 $
$ y^\prime = y \rightarrow y = y^\prime $
*). Kita substitusikan bentuk $ x = x^\prime – 10 $ dan $ y = y^\prime $ ke persamaan awal sesampai kemudian kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^2 – 5 \\ y^\prime & = (x^\prime – 10)^2 – 5 \\ y^\prime & = {x^\prime}^2 – 20x^\prime + 100 – 5 \\ y^\prime & = {x^\prime}^2 – 20x^\prime + 95 \end{align} $
sesampai kemudian bayangannya merupakan $ y^\prime = {x^\prime}^2 – 20x^\prime + 95 $ atau $ y = x^2 – 20x + 95 $.
jadi, persamaan bayangannya merupakan $ y = x^2 – 20x + 95. \, \heartsuit $.

Komposisi Pencerminan garis Horizontal sejajar sumbu X
       Suatu berdiri dicerminkan terhadap garis $ y = m $, dilanjutkan pencerminan terhadap garis $ y = n $, maka bayangannya merupakan :
$A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (a , 2(n – m)+b) $

Penulisan dalam bentuk matriks :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(n-m) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $

Ilustrasi gambarnya :

Contoh soal Komposisi Pencerminan garis Horizontal sejajar sumbu X :

Baca Juga:   Transformasi Geometri Secara Umum

3). Tentukan bayangan titik A(1,-3) apabila dicerminkan terhadap garis $ y = -1 $, kemudian dilanjutkan lagi pencerminan terhadap garis $ y = 2 $!

Penyelesaian :
*). Pencerminan terhadap garis $ y = -1 $, dilanjutkan garis $ y = 2 $, artinya $ m = -1 $ dan $ n = 2 $. Bayangan titik A(1,-3) yakni :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(n-m) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(2 – (-1)) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(3) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A merupakan $ A^\prime (1,3). \, \heartsuit $.

4). Tentukan bayangan persamaan garis $ 5x – y = 7 $ apabila dicerminakan terhadap garis $ y = 1 $, kemudian dilanjutkan lagi pencerminan terhadap garis $ y = 3 $!

Penyelesaian :
*). Dari soal kita peroleh $ m = 1 $ dan $ n = 3 $.
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(n-m) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(3 – 1) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(2) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} 0 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} x \\ y + 4 \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = x \rightarrow x = x^\prime $
$ y^\prime = y + 4 \rightarrow y = y^\prime – 4 $
*). Kita substitusikan $ x = x^\prime $ dan $ y = y^\prime – 4 $ ke persamaan awal sesampai kemudian kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 5x – y & = 7 \\ 5x^\prime – (y^\prime – 4) & = 7 \\ 5x^\prime – y^\prime + 4 & = 7 \\ 5x^\prime – y^\prime & = 3 \end{align} $
sesampai kemudian bayangannya merupakan $ 5x^\prime – y^\prime = 3 $ atau $ 5x – y = 3 $.
Jadi, persamaan bayangannya merupakan $ 5x – y = 3 . \, \heartsuit $.

Komposisi Pencerminan Garis Vertikal dan Horizontal (garis yang saling tegak lurus)
       Suatu berdiri dicerminkan terhadap garis $ x = h $ dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ y = k $, bayangannya sanggup kita hitung dengan cara :
$A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (2h – a , 2k – b) $

Penulisan dalam bentuk matriks :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2h \\ 2k \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $

Ilustrasi gambarnya :

Contoh soal Komposisi Pencerminan garis Vertikal dan Horizontal (garis yang saling tegak lurus) :

5). Tentukan bayangan titik B(-2,-3) apabila dicerminkan terhadap garis $ x = 1 $, kemudian dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ y = 5$!

Baca Juga:   Dilatasi Pada Transformasi Geometri

Penyelesaian :
*). Dari soal kita peroleh $ h = 1 $ dan $ k = 5 $.
*). Menentukan bayangan titik B(-2,-3) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2h \\ 2k \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \times 1 \\ 2 \times 5 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} -2 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 10 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} -2 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 13 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B merupakan $ B^\prime (4,13) . \, \heartsuit $.

6). Tentukan bayangan persamaan $ (x+5)^2 + y^2 = 3 $ apabila dicerminkan terhadap garis $ x = -2 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = 1 $!

Penyelesaian :
*). Dari soal kita peroleh $ h = -2 $ dan $ k = 1 $.
*). Menentukan hubungan $(x,y) $ dan $ ( x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2h \\ 2k \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2(-2) \\ 2(1) \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -4 \\ 2 \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -4 -x \\ 2 – y \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh hubungan :
$ x^\prime = -4 – x \rightarrow x = -x^\prime – 4 $
$ y^\prime = 2 – y \rightarrow y = -y^\prime + 2 $
*). Kita substitusikan bentuk $ x = -x^\prime – 4 $ dan $ y = -y^\prime + 2 $ ke persamaan awal sesampai kemudian kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} (x+5)^2 + y^2 & = 3 \\ (-x^\prime – 4+5)^2 + (-y^\prime + 2)^2 & = 3 \\ (-x^\prime + 1)^2 + (-y^\prime + 2)^2 & = 3 \\ [(-1)(x^\prime – 1)]^2 + [(-1)(y^\prime – 2)]^2 & = 3 \\ (-1)^2(x^\prime – 1)^2 + (-1)^2(y^\prime – 2)^2 & = 3 \\ (1).(x^\prime – 1)^2 + (1).(y^\prime – 2)^2 & = 3 \\ (x^\prime – 1)^2 + (y^\prime – 2)^2 & = 3 \end{align} $
Sesampai kemudian bayangannya : $ (x^\prime – 1)^2 + (y^\prime – 2)^2 = 3 $ atau $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 3 $
Jadi, persamaan bayangannya merupakan $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 3 . \, \heartsuit $.

Catatan :
Jika teman-teman tak terlalu menyukai pengerjaan komposisi pencerminan menyerupai di atas, maka sebaiknya kita lakukan pengerjaannya satu-satu saja dengan rumus perhitungan sebagai berikut yakni :
*). Pencerminan terhadap garis $ x = k $ :
$A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (2k – a , b) $
*). Pencerminan terhadap garis $ y = h $ :
$A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime ( a , 2h – b) $

       Demikian pembahasan bahan Komposisi Pencerminan Garis Vertikal atau Horizontal dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan Komposisi Pencerminan dua garis sembarang.