Komposisi Rotasi Sepusat

Posted on

         Pondok Soal.com – Satu lagi bentuk “komposisi transformasi geometri” yang akan kita bahas ialah Komposisi Rotasi Sepusat, yang sebelumnya juga telah kita bahas artikel komposisi translasi, komposisi refleksi, dan komposisi dilatasi serta komposisi matriks transformasi yang melibatkan semua jenis transformasi geometri. Komposisi Rotasi Sepusat artinya suatu benda atau objek akan kita rotasi sedikit kali dengan sentra (titik acuan) yang sama sesampai kemudian matriks transformasinya sanggup kita gabungkan. Jika Komposisi Rotasi Tidak Sepusat, maka pengerjaan komposisinya kita lakukan satu-persatu sesampai kemudian bentuk rotasi terakhir.

         Untuk memudahkan mempelajari artikel Komposisi Rotasi Sepusat ini, teman-teman harus menguasai bahan “Rotasi pada Transformasi Geometri“, “Matriks Transformasi Geometri“, dan operasi pada matriks. Untuk Pengerjaannya juga ibarat biasa ialah $ bayangan \, = \, matriks \times awal $. Langsung saja kita baca penterangannya berikut ini.

Pengerjaan Komposisi Rotasi Sepusat
       Perhatikan ilustrasi gambar komposisi rotasi sepusat di atas, sentra rotasi merupakan $(a,b)$ dengan titik awal $A(x,y)$ dilakukan rotasi sebesar $ \theta _1 $ menghasilkan bayangan $A^\prime (x^\prime , y^\prime )$, dilanjutkan lagi rotasi sebesar $ \theta _2 $ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime } (x^{\prime \prime } , y^{\prime \prime } ) $, dan dilanjutkan lagi rotasi sebesar $ \theta _3 $ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime \prime } (x^{\prime \prime \prime } , y^{\prime \prime \prime } ) $ .
*). Matriks gabungannya :
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) & – \sin (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) \\ \sin (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) & \cos (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) \end{matrix} \right) $
Catatan :
Nilai $ \theta _1 , \, \theta _2 , \, $ dan $ \theta _3 $ sanggup bernilai negatif tergantung dari arah putaran terhadap jarum jam.
Jika searah jarum jam, maka sudutnya negatif.
Jika berlawanan arah jarum jam, maka sudutnya positif.

*). titik sentra (0,0)
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (MT) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). titik sentra $(a,b)$
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Contoh Soal Komposisi Rotasi Sepusat :

1). Titik A(1,2) dirotasi sebesar $35^\circ $ berlawanan arah jarum jam, kemudian dilanjutkan lagi dengan rotasi sebesar $ 55^\circ $ berlawanan arah jarum jam. Jika titik sentra kedua rotasi sama ialah $ (-3,5) $ , maka tentukan bayangan titik A?

Baca Juga:   Komposisi Transformasi Pada Translasi

Penyelesaian :
*). Matriks gabungannya :
$ \theta _1 = 35^\circ , \, \theta _2 = 55^\circ \, $ dan titik sentra $(a,b) = (-3,5) $.
$\begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos (\theta _1 + \theta _2 ) & – \sin (\theta _1 + \theta _2 ) \\ \sin (\theta _1 + \theta _2 ) & \cos (\theta _1 + \theta _2 ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (35^\circ + 55^\circ ) & – \sin (35^\circ + 55^\circ ) \\ \sin (35^\circ + 55^\circ ) & \cos (35^\circ + 55^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (90^\circ ) & – \sin (90^\circ ) \\ \sin (90^\circ ) & \cos (90^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & – 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik A(1,2) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & – 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 – (-3) \\ 2 – 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & – 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 9 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A merupakan $ A^\prime (0,9) . \, \heartsuit $.

2). Persamaan $ y = 3x^4 – 2x – 1 $ dirotasi sebesar $50^\circ $ berlawanan arah jarum jam, kemudian dilanjutkan lagi dengan rotasi sebesar $ 300^\circ $ searah jarum jam, dan dilanjutkan lagi rotasi sebesar $70^\circ $ berlawanan arah jarum jam. Jika titik sentra ketiga rotasi sama ialah $ (0,0) $ , maka tentukan bayangan persamaan kurva tersebut?

Penyelesaian :
*). Matriks gabungannya :
$ \theta _1 = 50^\circ , \, \theta _2 = -300^\circ, \, \theta _3 = 70^\circ \, $ dan titik sentra $(a,b) = (0,0) $.
$\begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) & – \sin (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) \\ \sin (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) & \cos (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (50^\circ + (-300^\circ) + 70^\circ ) & – \sin (50^\circ + (-300^\circ) + 70^\circ ) \\ \sin (50^\circ + (-300^\circ) + 70^\circ ) & \cos (50^\circ + (-300^\circ) + 70^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (-180^\circ ) & – \sin (-180^\circ ) \\ \sin (-180^\circ ) & \cos (-180^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (180^\circ ) & \sin (180^\circ ) \\ – \sin (180^\circ ) & \cos (180^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -x \\ -y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = -x \rightarrow x = -x^\prime $ dan $ y^\prime = -y \rightarrow y = -y^\prime $ .
*). Substitusi bentuk $ x = -x^\prime $ dan $ y = -y^\prime $ ke persamaan awal sesampai kemudian kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = 3x^4 – 2x – 1 \\ -y^\prime & = 3(-x^\prime)^4 – 2.(-x^\prime) – 1 \\ -y^\prime & = 3(x^\prime)^4 + 2x^\prime – 1 \\ y^\prime & = – 3(x^\prime)^4 – 2x^\prime + 1 \end{align} $
Sesampai kemudian bayangannya $ y^\prime = – 3(x^\prime)^4 – 2x^\prime + 1 $ atau $ y = -3x^4 – 2x + 1 $.
Jadi, persamaan bayangannya merupakan $ y = -3x^4 – 2x + 1 . \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang

3). Titik B($-2,1$) dirotasi sejauh $ 60^\circ $ dengan titik sentra (1,0) , kemudian dilanjutkan lagi dengan rotasi sebesar $ 30^\circ $ dengan titik sentra $ (-1,3) $. Tentukan bayangan titik B?

Penyelesaian :
*). Karena titik sentra rotasinya tak sama, maka matriks rotasinya tak sanggup kita gabung langsung, artinya kita harus mengerjakan satu demi satu bentuk rotasinya.
*). Rotasi pertama : $ \theta _ 1 = 60^\circ $ dengan sentra $(a,b) = (1,0) $.
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos (60^\circ ) & – \sin (60^\circ ) \\ \sin (60^\circ ) & \cos (60^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & – \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) $
Bayangan pertama titik $B(-2,1) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & – \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -2 – 1 \\ 1 – 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & – \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{-3}{2} – \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{-3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} – \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) \end{align} $
sesampai kemudian $ B^\prime ( -\frac{1}{2} – \frac{1}{2}\sqrt{3} , -\frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} ) $

*). Rotasi kedua : $ \theta _ 2 = 30^\circ $ dengan sentra $(a,b) = (-1,3) $.
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos (30^\circ ) & – \sin (30^\circ ) \\ \sin (30^\circ ) & \cos (30^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & – \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} ) \end{matrix} \right) $
Bayangan kedua titik $ B^\prime ( -\frac{1}{2} – \frac{1}{2}\sqrt{3} , -\frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{ \prime \prime } \\ y^{ \prime \prime } \end{matrix} \right) & = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x^\prime – a \\ y^\prime – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & – \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} ) \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} – \frac{1}{2}\sqrt{3} – (-1) \\ -\frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} – 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & – \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} ) \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} – \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{3}{2}\sqrt{3} – \frac{5}{2} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{4}\sqrt{3} – \frac{3}{4} + \frac{3}{4}\sqrt{3} + \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} – \frac{1}{4}\sqrt{3} – \frac{9}{4} – \frac{5}{4}\sqrt{3} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \sqrt{3} + \frac{1}{2} \\ – \frac{7}{4}\sqrt{3} – 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \sqrt{3} – \frac{1}{2} \\ – \frac{7}{4}\sqrt{3} + 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
sesampai kemudian $ B^{\prime \prime } ( \sqrt{3} – \frac{1}{2} , – \frac{7}{4}\sqrt{3} + 1 ) $
Jadi, bayangan selesai titik B merupakan $ B^{\prime \prime } ( \sqrt{3} – \frac{1}{2} , – \frac{7}{4}\sqrt{3} + 1 ) . \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Matriks Transformasi Geometri

       Demikian pembahasan bahan Komposisi Rotasi Sepusat dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan Komposisi transformasi geometri.