Komposisi Transformasi Dengan Matriks

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah sebelumnya kita membahas bahan “Pengertian Komposisi Transformasi Geometri“, pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan artikel Komposisi Transformasi dengan Matriks. Apa bedanya dengan bahan sebelumnya? Pada bahan Komposisi Transformasi dengan Matriks ini kita akan menekankan pada jenis-jenis matriks transformasi yang sanggup dikalikan pribadi atau harus mengerjakan satu-satu untuk masing-masing transformasinya. Jika dua jenis matriks transformasi sanggup kita kalikan pribadi terlebih dahulu, maka ini akan menghemat waktu pengerjaan kita alasannya yakni kita tak harus mengerjakan satu-satu transformasinya. Memang cara yang paling kondusif merupakan mengerjakan satu-satu sesuai urutan transformasinya, akan tenamun jika sanggup satu kali pengerjaan mengapa tak kita lakukan.

         Pada artikel Komposisi Transformasi dengan Matriks ini pertama-tama akan kita saapabilan matriks transformasi masing-masing, sesudah itu gres kita akan bahas syarat-syarat apa saja yang diharapkan supaya dua jenis transformasi sanggup kita kalikan pribadi tanpa harus mengerjakan satu-satu. Tentu untuk memudahkan mempelajari bahan Komposisi Transformasi dengan Matriks, teman-teman harus menguasai jenis-jenis transformasi yang ada menyerupai dilatasi, translasi, rotasi, dan refleksi atau pencerminan.

Matriks Transformasi
       Berikut kami daftarkan matriks transformasi masing-masing untuk memudahkan dalam pengerjaan soal-soal yang berkaitan dengan Komposisi Transformasi dengan Matriks:
i). Dilatasi dengan faktor skala $ k $ :
Matriks : $ \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) $
ii). Translasi :
Matriks : $ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
iii). Rotasi dengan besar sudut $ \theta $ :
Matriks : $ \left( \begin{matrix} \cos \theta & – \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
iv). Refleksi atau pencerminan terhadap :
Sumbu X, Matriks : $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Sumbu Y, Matriks : $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
garis $ y = x $, Matriks : $ \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
garis $ y = -x $, Matriks : $ \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $
Pusat koordinat, Matriks : $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
garis $ y = mx + c$, Matriks : $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & – \cos 2 \theta \end{matrix} \right) $
Syarat Matriks Transformasi sanggup pribadi dikalikan
       Berikut merupakan syarat supaya dua atau lebih matriks transformasi sanggup dikalikan supaya kita mengerjakannya tak satu-satu, syarat-syaratnya yaitu :
1). Matriks transformasinya harus berordo $ 2 \times 2 $,
2). Jika terdapat sentra (titik teladan menyerupai dilatasi dan transformasi), maka titik pusatnya harus sama,
3). Jika pada transformasi tak disebutkan titik pusatnya menyerupai refleksi, maka titik pusatnya dianggap (0,0) dan matriks transformasinya sanggup pribadi dikalikan dengan matriks transformasi yang titik pusatnya (0,0) juga atau yang tak disebutkan titik pusatnya.

Catatan :
Ketiga syarat di atas harus terpenuhi untuk sanggup pribadi mengalikan dua jenis matriks transformasi atau lebih.

silahkan baca juga : pengenalan matriks untuk mengetahui wacana ordo matriks.

Penulisan Komposisi Transformasi dengan Matriks
       Misalkan suatu benda atau bangkit dilakukan komposisi transformasi. Pertama ditransformasi $T_1$ yang bersesuaian dengan matriks $ M_1$, dilanjutkan lagi dengan transformasi $ T_2$ yang bersesuaian dengan matriks $M_2$, dan dilanjutkan lagi dengan transformasi $T_3$ yang bersesuaian dengan matriks $M_3$. Penulisan komposisinya yaitu :
$ T_3 \circ T_2 \circ T_1 = M_3 . M_2 . M_1 $
(penulisannya dibalik sesuai urutan pengerjaannya).
Baca Juga:   Pengertian Komposisi Transformasi Geometri

$\spadesuit $ Menentukan bayangannya :
bayangan $ = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \, $ awal
*). titik sentra (0,0)
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). titik sentra $(a,b)$
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Contoh Soal Komposisi Transformasi dengan Matriks :

1). Tentukan bayangan titik A(1,3) apabila didilatasi dengan faktor skala 2 dan titik sentra (-1,4), sesudah itu dilanjutkan lagi dengan rotasi sejauh $ 90^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan titik teladan (-1,4)?

Penyelesaian :
*). Menentukan matriks dan titik sentra masing-masing :
$T_1$ : Dilatasi faktor skala 2, $ M_1 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $
Titik pusatnya : $(a,b) = (-1,4) $.
$T_2$ : Rotasi sebesar $ 90^\circ $ , $ M_2 = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & – \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & – 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Titik pusatnya : $(a,b) = (-1,4) $.
silahkan baca juga artikel :
Dilatasi pada transformasi geometri dan rotasi pada transformasi geometri.
*). Karena kedua matriksnya berordo $ 2 \times 2 $ dan titik pusatnya sama, maka pengerjaannya pribadi sanggup kita kalikan kedua matriksnya tanpa harus melaksanakan transformasi satu-satu.
*). Menentukan bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & – 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 – (-1) \\ 3 – 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & – 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & – 2 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 8 \end{matrix} \right) \end{align} $
silahkan baca : operasi hitung pada matriks.
Jadi, bayangan titik A merupakan $ A^\prime (1,8) . \, \heartsuit $.

Cara II untuk contoh soal nomor (1) :
*). Coba kita kerjakan dengan cara transformasi satu-satu, apakah alhasil sama dengan dara di atas.
*). Pertama titik A(1,3) didilatasi faktor skala 2, $ M_1 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $
Titik pusatnya : $(a,b) = (-1,4) $.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 – (-1) \\ 3 – 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh bayangan pertama : $ A^\prime (3,2) $.
*). Kedua titik $ A^\prime (3,2) $ dirotasi sebesar $ 90^\circ $ , $ M_2 = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & – \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & – 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Titik pusatnya : $(a,b) = (-1,4) $.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & – 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x^\prime – a \\ y^\prime – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & – 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 3 – (-1) \\ 2 – 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & – 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 8 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan selesai yaitu $ A^{\prime \prime } (1,8) $ yang tentu alhasil sama dengan cara di atas sebelumnya.

Baca Juga:   Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang

2). Persamaan garis $ 3x – 2y = 1 $ dicerminkan terhadap sumbu X, lalu dilanjutkan dengan rotasi sejauh $ 180^\circ $ searah jarum jam, dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi dengan faktor skala $ – 3$. Tentukan bayangan dari persamaan garis tersebut!

Penyelesaian :
*). Matriks pencerminan terhadap sumbu X, rotasi, dan dilatasi niscaya berordo $ 2 \times 2 $. Pada soal juga tak disebutkan titik sentra transformasinya, sesampai lalu titik pusatnya dianggap sama yaitu $(0,0)$. Ini artinya ketiga matriks transformasinya sanggup dikalikan secara pribadi tanpa harus mengerjakan satu-satu.
*). Menentukan matriks transformasi masing-masing :
$ T_1 $ : Pencerminan terhadap sumbu X, $ M_1 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$ T_2 $ : rotasi sejauh $ 180^\circ $ searah jarum jam,
$ M_2 = \left( \begin{matrix} \cos (-180^\circ ) & – \sin (-180^\circ ) \\ \sin (-180^\circ ) & \cos (-180^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$ T_3 $ : dilatasi dengan faktor skala $ – 3 $, $ M_3 = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) $
silahkan baca : refleksi atau pencerminan pada transformasi.
*). Menentukan relasi $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3x \\ -3y \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = 3x \rightarrow x = \frac{1}{3}x^\prime $
$ y^\prime = -3y \rightarrow y = – \frac{1}{3}y^\prime $
*). Kita substitusikan bentuk $ x = \frac{1}{3}x^\prime $ dan $ y = – \frac{1}{3}y^\prime $ ke persamaan awal sesampai lalu kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 3x – 2y & = 1 \\ 3( \frac{1}{3}x^\prime ) – 2( – \frac{1}{3}y^\prime ) & = 1 \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3x^\prime + 2y^\prime & = 3 \end{align} $
sesampai lalu persamaan bayangannya : $ 3x^\prime + 2y^\prime = 3 $ atau $ 3x + 2y = 3 $.
Jadi, persamaan bayangannya merupakan $ 3x + 2y = 3 . \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Regangan Dan Gusuran Pada Transformasi

3). Tentukan bayangan persamaan $ y = x^2 + 3 $ apabila ditranslasi sejauh $ \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = – x $?

Penyelesaian :
*). Matriks translasi berordo $ 2 \times 2 $, sesampai lalu tak memenuhi syarat untuk dikalikan pribadi kedua matriks transformasinya. Ini artinya kita harus mengerjakannya satu demi satu.
*). Pertama di translasi :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x – 1 \\ y + 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
silahkan baca : Translasi pada transformasi geometri.
*). Kedua dicerminakan terhadap garis $ y = -x $ :
Matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – 1 \\ y + 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -y – 2 \\ -x + 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^{\prime \prime } = -y – 2 \rightarrow y = – x^{\prime \prime } – 2 $
$ y^{\prime \prime } = -x + 1 \rightarrow x = – y^{\prime \prime } + 1 $
*). Kita substitusi bentuk $ y = – x^{\prime \prime } – 2 $ dan $ x = – y^{\prime \prime } + 1 $ ke persamaan awal sesampai lalu kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^2 + 3 \\ – x^{\prime \prime } – 2 & = (- y^{\prime \prime } + 1)^2 + 3 \\ – x^{\prime \prime } – 2 & = { y^{\prime \prime }}^2 – 2y^{\prime \prime } + 1 + 3 \\ – x^{\prime \prime } & = { y^{\prime \prime }}^2 – 2y^{\prime \prime } + 6 \\ x^{\prime \prime } & = – { y^{\prime \prime }}^2 + 2y^{\prime \prime } – 6 \end{align} $
sesampai lalu bayangannya merupakan $ x^{\prime \prime } = – { y^{\prime \prime }}^2 + 2y^{\prime \prime } – 6 $ atau $ x = -y^2 + 2y – 6 $.
Jadi, persamaan bayangannya merupakan $ x = -y^2 + 2y – 6 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan bahan Komposisi Transformasi dengan Matriks dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan komposisi translasi.