Komposisi Transformasi Pada Dilatasi

Posted on

         Pondok Soal.com – Bentuk komposisi transformasi lainnya yang akan kita bahas yaitu bahan Komposisi Transformasi pada Dilatasi, artinya kita akan menerapkan sedikit kali transformasi pada sebuah berdiri atau benda dimana semua bentuk transformasinya berupa dilatasi. Dilatasi dalam penghitungannya juga memakai “matriks transformasi” yang juga menurut titik sentra atau titik acuannya. Apakah semua matriks transformasinya pribadi sanggup dikalikan? Ternyata jawabannya tak, alasannya ialah dua atau lebih matriks transformasi berordo $ 2 \times 2 $ sanggup dikalikan pribadi dengan syarat harus terdapat titik sentra yang sama ibarat yang sudah diterangkan dalam artikel “Komposisi Transformasi dengan Matriks“.

         Untuk memudahkan mempelajari bahan Komposisi Transformasi pada Dilatasi ini, sebaiknya teman-teman pelajari juga bahan sebelumnya yaitu “Dilatasi pada Transformasi Geometri“, dan “operasi hitung pada matriks” terutama operasi persobat semua matriks. Sementara untuk cara penghitungan dalam memilih bayangan transformasinya, kita gunakan rumus umum transformasi yaitu
$ bayangan \, = matriks \, \times \, awal$.

Persobat semua sedikit Matriks Dilatasi
       Misalkan diketahui sedikit matriks dilatasi, hasil persobat semuanya sebagai berikut :
$ \left( \begin{matrix} k_1 & 0 \\ 0 & k_1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} k_2 & 0 \\ 0 & k_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} k_3 & 0 \\ 0 & k_3 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} k_4 & 0 \\ 0 & k_4 \end{matrix} \right) $
$ = \left( \begin{matrix} k_1 \times k_2 \times k_3 \times k_4 & 0 \\ 0 & k_1 \times k_2 \times k_3 \times k_4 \end{matrix} \right) $

Pengerjaan Komposisi Transformasi pada Dilatasi
       Misalkan suatu benda atau berdiri dilakukan komposisi transformasi DIlatasi. Pertama didilatasi $T_1$ yang bersesuaian dengan matriks $ M_1$, dilanjutkan lagi dengan dilatasi $ T_2$ yang bersesuaian dengan matriks $M_2$, dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi $T_3$ yang bersesuaian dengan matriks $M_3$. Penulisan komposisinya yaitu :
$ T_3 \circ T_2 \circ T_1 = M_3 . M_2 . M_1 $
(penulisannya dibalik sesuai urutan pengerjaannya).

$\clubsuit $ Menentukan bayangannya :
Jika semua jenis translasinya terdapat titik sentra atau titik contoh yang sama, maka kita sanggup mengalikan semua matriks dilatasinya tanpa harus mengerjakan secara satu persatu dengan konsep komposisi matriks pada umumnya yaitu :
bayangan $ = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \, $ awal
*). titik sentra (0,0)
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). titik sentra $(a,b)$
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Catatan :
Jika dilatasi dengan masing-masing titik pusatnya berbeda, maka kita harus mengerjakannya satu persatu.

Contoh Soal Komposisi Transformasi pada Dilatasi :

1). Tentukan bayangan titik A(2,5) apabila ditranslasi dengan titik sentra koordinat dan faktor skala 2, kemudian dilanjutkan lagi oleh dilatasi dengan titik sentra yang sama dengan faktor skala $-3$, dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi pada titik sentra koordinat serta faktor skala $-1$?

Penyelesaian :
*). Menentukan matriks dilatasinya :
$T_1 \rightarrow M_1 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \, \, (k = 2) $
$T_2 \rightarrow M_2 = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \, \, (k = -3) $
$T_3 \rightarrow M_3 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \, \, (k = -1) $
*). Titik Pusat merupakan sentra koordinat, artinya titik pusatnya ($0,0$).
*). Menentukan bayangan titik A(2,5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \times -3 \times 2 & 0 \\ 0 & -1 \times -3 \times 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 12 \\ 30 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A merupakan $A^\prime (12, 30) . \, \heartsuit $

Baca Juga:   Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang

2). Titik B($-1,2$) didilatasi dengan faktor skala 4, dilanjutkan dilatasi dengan faktor skala $-2$ dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi yang faktor skalanya $ \frac{1}{2} $. Jika titik sentra ketiga dilatasi tersebut sama yaitu ($3, – 5$), maka bayangan titik B merupakan …?

*). Menentukan matriks dilatasinya :
$T_1 \rightarrow M_1 = \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) \, \, (k = 4) $
$T_2 \rightarrow M_2 = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \, \, (k = -2) $
$T_3 \rightarrow M_3 = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) \, \, (k = \frac{1}{2}) $
*). Titik Pusat sama yaitu $(a,b) = (3,-5) $.
*). Menentukan bayangan titik B($-1,2$) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -1 – 3 \\ 2 – (-5) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} \times -2 \times 4 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \times -2 \times 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -4 \\ 7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -4 \\ 7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 16 & 0 \\ 0 & -28 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 19 & 0 \\ 0 & -33 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B merupakan $B^\prime (19, -33) . \, \heartsuit $

3). Persamaan garis $ 2x – 3y = 5 $ didilatasi oleh faktor skala $ – 1 $, dilanjutkan dengan dilatasi oleh faktor skala $ 2 $, dan dilanjutkan lagi dilatasi dengan faktor skala 3. Jika titik sentra ketiga dilatasi itu sama yaitu ($-2,1$), maka tentukan bayangan persamaan garis tersebut!

Penyelesaian :
*). Menentukan matriks dilatasinya :
$T_1 \rightarrow M_1 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \, \, (k = -1) $
$T_2 \rightarrow M_2 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \, \, (k = 2) $
$T_3 \rightarrow M_3 = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \, \, (k = 3) $
*). Titik Pusat sama yaitu $(a,b) = (-2,1) $.
*). Menentukan relasi ($x,y$) dan ($x^\prime , y^\prime $) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x – (-2) \\ y – 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \times 2 \times -1 & 0 \\ 0 & 3 \times 2 \times -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x + 2 \\ y – 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -6 & 0 \\ 0 & -6 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x + 2 \\ y – 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -6x – 12 \\ -6y + 6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) – \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -6x – 12 \\ -6y + 6 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime + 2 \\ y^\prime -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -6x – 12 \\ -6y + 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh relasi :
$ x^\prime + 2 = -6x – 12 \rightarrow x = \frac{- x^\prime – 14}{6} $
$ y^\prime -1 = -6y + 6 \rightarrow y = \frac{- y^\prime + 7 }{6} $
*). Kita substitusikan bentuk $ x = \frac{- x^\prime – 14}{6} $ dan $ y = \frac{- y^\prime + 7 }{6} $ ke persamaan awal sesampai kemudian kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 2x – 3y & = 5 \\ 2 \times \frac{- x^\prime – 14}{6} – 3 \times \frac{- y^\prime + 7 }{6} & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 2 \times (- x^\prime – 14) – 3 \times (- y^\prime + 7) & = 30 \\ -2 x^\prime – 28 + 3 y^\prime – 21 & = 30 \\ -2 x^\prime + 3 y^\prime & = 79 \end{align} $
Sesampai kemudian persamaan bayangannya merupakan $ -2 x^\prime + 3 y^\prime = 79 $ atau $ -2x + 3y = 79 $
Jadi, persamaan bayangannya merupakan $ -2x + 3y = 79 . \, \heartsuit $

Baca Juga:   Dilatasi Pada Transformasi Geometri

4). Persamaan bulat $ (x-2)^2 + (y+3)^2 = 4 $ didilatasi dengan faktor skala 3, kemudian dilanjutkan lagi dengan dilatasi faktor skala $ 2 $. Jika titik sentra kedua dilatasi tersebut sama yaitu (0,0), maka tentukan luas bayangan persamaan bulat tersebut?

*). Menentukan matriks dilatasinya :
$T_1 \rightarrow M_1 = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \, \, (k = 3) $
$T_2 \rightarrow M_2 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \, \, (k = 2) $
*). Titik Pusat merupakan sentra koordinat, artinya titik pusatnya ($0,0$).
*). Menentukan relasi ($x,y$) dan ($x^\prime , y^\prime$) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 6x \\ 6y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh relasi :
$ x^\prime = 6x \rightarrow x = \frac{1}{6}x^\prime $
$ y^\prime = 6y \rightarrow y = \frac{1}{6}y^\prime $
*). Kita substitusikan bentuk $ x = \frac{1}{6}x^\prime $ dan $ y = \frac{1}{6}y^\prime $ ke persamaan awal sesampai kemudian kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} (x-2)^2 + (y+3)^2 & = 4 \\ ( \frac{1}{6}x^\prime – 2)^2 + (\frac{1}{6}y^\prime +3)^2 & = 4 \\ ( \frac{1}{6}x^\prime – \frac{12}{6})^2 + (\frac{1}{6}y^\prime +\frac{18}{6})^2 & = 4 \\ ( \frac{x^\prime – 12}{6})^2 + (\frac{y^\prime + 18}{6})^2 & = 4 \\ \frac{(x^\prime – 12)^2}{36} + \frac{(y^\prime + 18)^2}{36}) & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 36)} \\ (x^\prime – 12)^2 + (y^\prime + 18)^2 & = 4 \times 36 \\ (x^\prime – 12)^2 + (y^\prime + 18)^2 & = 144 \end{align} $
Sesampai kemudian persamaan bayangannya yaitu $ (x^\prime – 12)^2 + (y^\prime + 18)^2 = 144 $ atau
$ (x – 12)^2 + (y + 18)^2 = 144 $ dengan jari-jari $ r = \sqrt{144} = 12 $.
*). Menentukan luas bayangannya :
Luas bayangan bulat $ = \pi r^2 = \pi . 12^2 = 144 \pi \, $ satuan luas.
Jadi, luas bayangan lingkarannya merupakan $ 144 \pi . \, \heartsuit $

Baca Juga:   Pengertian Komposisi Transformasi Geometri

Cara II untuk soal nomor (4) :
Untuk mencari luas bayangan, sanggup memakai rumus :
$ \text{Luas bayangannya } = |M_2 . M_1| \times \text{ Luas awal} $
*). Menentukan luas awal bulat :
$ (x-2)^2 + (y+3)^2 = 4 \, \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 $
Luas awal bulat $ = \pi r^2 = \pi . 2^2 = 4 \pi $
*). Luas bayangannya :
$\begin{align} \text{ Luas bayangannya } & = |M_2. M_1| \times \text{ Luas awal} \\ & = \left| \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \right| \times 4\pi \\ & = \left| \left( \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) \right| \times 4\pi \\ & = (6.6 – 0.0) \times 4\pi \\ & = 36 \times 4\pi \\ & = 144 \pi \end{align} $
Jadi, luas bayangannya merupakan $ 144 \pi$.

5). Tentukan bayangan titik D($1,-3$) apabila didilatasi oleh faktor skala 2 dengan titik sentra (2,1), dilanjutkan dengan dilatasi faktor skala $-3$ dengan titik sentra ($-3,1$)?

Penyelesaian :
*). Karena titik sentra kedua dilatasi berbeda, maka kita kerjakan satu-satu.
*). Dilatasi pertama : faktor skala 2 dan titik sentra (2,1)
$ M_1 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \, \, (k = 2) $
Bayangan titik D($1,-3$) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = M_1 \times \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 – 2 \\ -3 – 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -1 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 \\ -8 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan pertama $ D^\prime (0,-7) $.
*). Dilatasi kedua : faktor skala $-3$ dan titik sentra ($-3,1$)
$ M_2 = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \, \, (k = -3) $
Bayangan titik $ D^\prime (0,-7) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = M_2 \times \left( \begin{matrix} x^\prime – a \\ y^\prime – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 0 – (-3) \\ -7 – 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 3 \\ -8 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -9 \\ 24 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -12 \\ 25 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan kedua $ D^{\prime \prime} (-12,25) $.
Jadi, bayangan titik D merupakan $D^{\prime \prime} (-12,25) . \, \heartsuit $

       Demikian pembahasan bahan Komposisi Transformasi pada Dilatasi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan Komposisi Rotasi sepusat.