Komposisi Transformasi Pada Translasi

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Komposisi Transformasi pada Translasi. Artikel ini merupakan kelanjutan dari bahan komposisi transformasi geometri yang mana sebelumnya juga telah kita bahas bahan “komposisi transformasi dengan matriks“. Sesuai dengan pengertian komposisi transformasi geometri, maka pada artikel Komposisi Transformasi pada Translasi ini kita akan membahas transformasi yang lebih dari satu kali yang dikenakan pada suatu berdiri dimana semua jenis transformasinya merupakan berupa translasi atau pergeseran.

         Untuk memudahkan mempelajari bahan Komposisi Transformasi pada Translasi, sebaiknya teman-teman menguasai dahulu bahan “translasi pada transformasi geometri” dan “operasi hitung pada matriks” khususnya operasi penjumlahan. Translasi juga melibatkan atau terdapat “matriks transformasi geometri” dengan cara pengerjaannya yaitu dengan cara dijumlahkan.

Penulisan komposisi transformasi pada translasi
       Misalkan ada suatu berdiri ditranslasi $T_1$ dengan matriks yang bersusaian dengan $M_1 = \left( \begin{matrix} a_1 \\ b_1 \end{matrix} \right) $ , dilanjutkan lagi dengan translasi kedua yaitu $T_2$ dengan matriks $ M_2 = \left( \begin{matrix} a_2 \\ b_2 \end{matrix} \right) $, dan dilanjutkan lagi dengan translasi ketiga yaitu $ T_3 $ dengan matriks $ M_3 = \left( \begin{matrix} a_3 \\ b_3 \end{matrix} \right) $, maka bentuk komposisi translasinya sanggup ditulis dengan :
$ T_3 \circ T_2 \circ T_1 = M_3 + M_2 + M_1 $

Komposisi transformasi pada translasi bentuk matriksnya sanggup eksklusif dihitung sekaligus, artinya kita tak perlu mengerjakan satu persatu dari masing-masing translasinya:
$ \begin{align} T_3 \circ T_2 \circ T_1 & = M_3 + M_2 + M_1 \\ & = \left( \begin{matrix} a_3 \\ b_3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a_2 \\ b_2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a_1 \\ b_1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} a_3 + a_2 + a_1 \\ b_3 + b_2 + b_1 \end{matrix} \right) \end{align} $

Catatan :
Karena translasi dikerjakan dengan penjumlahan, bersama-sama bentuk $ M_3 + M_2 + M_1 $ sanggup diacak dalam urutan yang lainnya, misalkan $ M_3 + M_1 + M_2 $ atau $ M_1 + M_2 + M_3 $ atau yang lainnya alasannya ialah balasannya tetap sama. Tenamun, untuk memudahkan dan tak salah penerapan pada konsep transformasi yang lainnya, sebaiknya tetap diurutkan saja sesuai dengan urutan translasi pada soal.

Pengerjaan Komposisi transformasi pada translasi
       Cara pengerjaan komposisi translasi yaitu eksklusif dengan menjumlahkannya saja dengan berdiri awalnya. Berikut cara mencari bayangannya :
Bayangan $ = T_3 \circ T_2 \circ T_1 + \, $ awal.

*). Penulisan secara mariksnya :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = T_3 \circ T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (M_3+M_2+M_1) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a_3 + a_2 + a_1 \\ b_3 + b_2 + b_1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

Baca Juga:   Transformasi Geometri Persamaan Kurva Atau Fungsi

Contoh soal komposisi transformasi pada translasi :

1). Tentukan bayangan titik B(-2,3) apabila ditranslasi sejauh $ \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) $ , yang dilanjutkan dengan translasi oleh matriks yang bersesuain dengan $ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $ !

Penyelesaian :
*). Matriks masing-masing translasi :
$T_1$ : translasi dengan $ M_1 = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) $
$T_2$ : translasi dengan $ M_2 = \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $
*). Penulisan komposisi translasinya :
$ T_2 \circ T_1 = M_2 + M_1 = \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 + 1 \\ -2 + (-1) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan titik B(-2,3) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 + (-2) \\ -3 + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B merupakan $ B^\prime (2,0). \, \heartsuit $.

Cara penghitunganya juga sanggup menyerupai berikut ini :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = (M_2 + M_1) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left[ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) \right] + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 + (-2) \\ -3 + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) \end{align} $

2). Jika $ T_1 = \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) , \, T_2 = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) , \, $ dan $ T_3 = \left( \begin{matrix} -4 \\ 2 \end{matrix} \right) $. Tentukan bayangan titik A(5,-1) apabila ditransformasi oleh komposisi translasi berikut ini :
a). $ T_1 \circ T_2 \circ T_3 $ ,
b). $ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $,
c). $ T_2 \circ T_2 \circ T_1 $,
d). $ T_1 \circ T_1 \circ T_3 $.

Penyelesaian :
a). $ T_1 \circ T_2 \circ T_3 $ ,
*). Menentukan matriks adonan dari komposisi translasinya :
Bentuk $ T_1 \circ T_2 \circ T_3 $ artinya dilakukan translasi $T_3$, lalu dilanjutkan translasi $ T_2 $, dan dilanjutkan lagi translasi $ T_1 $.
$ \begin{align} T_1 \circ T_2 \circ T_3 & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -4 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + 1 + (-4) \\ -3 + (-1) + 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik A(5,-1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_1 \circ T_2 \circ T_3 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 + 5 \\ -2 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A merupakan $ A^\prime (4,-3). \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Regangan Dan Gusuran Pada Transformasi

b). $ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $,
*). Menentukan matriks adonan dari komposisi translasinya :
Bentuk $ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $ artinya dilakukan translasi $T_1$, lalu dilanjutkan translasi $ T_2 $, dan dilanjutkan lagi translasi $ T_3 $.
$ \begin{align} T_3 \circ T_2 \circ T_1 & = \left( \begin{matrix} -4 \\ 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 + 1 + 2 \\ 2 + (-1) + (-3) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik A(5,-1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_3 \circ T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 + 5 \\ -2 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A merupakan $ A^\prime (4,-3). \, \heartsuit $.

Catatan :
hasil dari soal bab (a) dan bab (b) di atas sama alasannya ialah urutan $ T_1 \circ T_2 \circ T_3 $ sama saja dengan $ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $. Hal ini terjadi alasannya ialah matriksnya dijumlahkan.

c). $ T_2 \circ T_2 \circ T_1 $,
*). Menentukan matriks adonan dari komposisi translasinya :
Bentuk $ T_2 \circ T_2 \circ T_1 $ artinya dilakukan translasi $T_1$, lalu dilanjutkan translasi $ T_2 $, dan dilanjutkan lagi translasi $ T_2 $.
$ \begin{align} T_2 \circ T_2 \circ T_1 & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 + 1 + 2 \\ -1 + (-1) + (-3) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik A(5,-1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_2 \circ T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 + 5 \\ -5 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 9 \\ -6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A merupakan $ A^\prime (9,-6). \, \heartsuit $.

d). $ T_1 \circ T_1 \circ T_3 $.
*). Menentukan matriks adonan dari komposisi translasinya :
Bentuk $ T_1 \circ T_1 \circ T_3 $ artinya dilakukan translasi $T_3$, lalu dilanjutkan translasi $ T_1 $, dan dilanjutkan lagi translasi $ T_1 $.
$ \begin{align} T_1 \circ T_1 \circ T_3 & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -4 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + 2 + (-4) \\ -3 + (-3) + 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ -4 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik A(5,-1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_1 \circ T_1 \circ T_3 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 + 5 \\ -4 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A merupakan $ A^\prime (5, -5). \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang

3). Tentukan bayangan persamaan $ y = 2x^2 – 3x + 1 $ apabila ditranslasi oleh $ \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $ , dan dilanjutkan lagi dengan translasi sejauh $ \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) $!

Penyelesaian :
*). Menentukan matriks komposisi (gabungannya) :
$T_1$ : translasi dengan $ M_1 = \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $
$T_2$ : translasi dengan $ M_2 = \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) $
$ T_2 \circ T_1 = M_2 + M_1 = \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 + 4 \\ 3 + (-5) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan relasi $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 + x \\ -2 + y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = 3 + x \rightarrow x = x^\prime – 3 $
$ y^\prime = -2 + y \rightarrow y = y^\prime + 2 $
*). Kita substitusi bentuk $ x = x^\prime – 3 $ dan $ y = y^\prime + 2 $ ke persamaan awal sesampai lalu kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = 2x^2 – 3x + 1 \\ y^\prime + 2 & = 2(x^\prime – 3)^2 – 3(x^\prime – 3) + 1 \\ y^\prime + 2 & = 2[ {x^\prime }^2 – 6 x^\prime + 9] – 3x^\prime + 9 + 1 \\ y^\prime + 2 & = 2{x^\prime }^2 – 12 x^\prime + 18 – 3x^\prime + 9 + 1 \\ y^\prime + 2 & = 2{x^\prime }^2 – 15 x^\prime + 28 \\ y^\prime & = 2{x^\prime }^2 – 15 x^\prime + 26 \end{align} $
Sesampai lalu bayangannya merupakan $ y^\prime = 2{x^\prime }^2 – 15 x^\prime + 26 $ atau $ y = 2x^2 – 15x + 26 $
Jadi, persamaan bayangannya merupakan $ y = 2x^2 – 15x + 26 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan bahan Komposisi Transformasi pada Translasi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan Komposisi Pencerminan garis vertikal atau horizontal.