Konsep Jarak Pada Dimensi Tiga Atau Berdiri Ruang

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari bahan kedudukan titik, garis, dan bidang pada berdiri ruang, kita lanjutkan lagi bahan berikutnya yang berkaitan dengan dimensi tiga adalah bahan Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang. Menentukan atau penghitungan jarak pada dimensi tiga merupakan salah satu bahan yang niscaya wajib soal-soalnya ada pada ujian nasional inginpun ujian masuk perguruan tinggi tinggi. Ini artinya konsep jarak harus benar-benar kita kuasai dengan baik dan kaya berlatih.

         Untuk memudahkan mempelajari bahan Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang, hal fundamental yang harus kita kuasai terlebih dahulu merupakan teorema phytagoras, hukum cosinus pada segitiga, serta Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang. Memang tak semudah mempelajari teorinya dari pada menuntaskan soal yang berkaitan jarak, lantaran pada dimensi tiga ini kita harus sanggup membayangkan dan menggambarkan jarak yang akan dicari terutama memakai proyeksinya. Namun kami yakin, dengan kaya berlatih, niscaya kita akan terbiasa dalam menuntaskan soal yang berkaitan dengan jarak pada dimensi tiga.

         Konsep jarak pada dimensi tiga atau berdiri ruang yang akan kita bahas di sini merupakan jarak antara dua titik, jarak titik ke garis, jarak titik ke bidang, jarak dua garis bersilangan, jarak garis dan bidang yang sejajar, dan jarak dua bidang yang sejajar. Diantara semua jenis konsep jarak yang akan kita pelajari, jarak titik ke titik dan jarak titik ke garis lah yang paling mudah, sementara konsep jarak yang lainnya akan lebih sulit. Makanya teman-teman harus berlatih lebih ulet lagi ya, OK !!!^_^!!!

Konsep Jarak pada Dimensi Tiga Secara Umum
       Secara umum, yang dimaksud jarak pada dimensi tiga merupakan jarak terdekat yang sanggup kita peroleh dari konsep jarak yang akan kita hitung. Jarak terdekat akan kita peroleh saat terbentuk saling tegak lurus sesampai lalu penghitungannya sanggup memakai teorema phytagoras.

Contoh soal :
1). Perhatikan gambar kubus berikut ini,

*). Jarak titik E ke garis AF merupakan jarak terdekatnya adalah jaraknya = panjang EM, dimana terdekat saat EM tegak lurus dengan garis AF ibarat gambar (a).
*). Jarak titik E ke NF merupakan jarak terdekatnya adalah jaraknya = panjang EN. Kenapa jaraknya merupakan panjang EN ? kok bukan panjang EM? ini disebabkan lantaran yang ditanyakan merupakan jarak titik E ke NF (NF yang dimaksud merupakan segmen garis NF saja) bukan jarak E ke garis NF sesampai lalu NF tak sanggup diperpanjang. Artinya apabila ditanya jarak terhadap segmen garis tertentu, maka yang kita hitung merupakan jarak terdekatnya meskipun tak membentuk siku-siku ibarat gambar (b).
*). Jarak titik E ke garis NF merupakan jarak terdekatnya dengan memperpanjang garis FN sesampai lalu menjadi FM, ini artinya jarak terdekatnya membentuk siku-siku. Jarak titik E ke garis NF = panjang EM ibarat gambar (c).

Konsep Jarak antara dua titik
       Jarak antara dua titik dihitung dengan memakai teorema phytagoras biasa, hanya saja kita harus jeli dan pandai dalam menentukan segitiga siku-siku yang melibatkan kedua titik tersebut.

Contoh soal jarak dua titik :
2). Sebuah kubus ABCD.EFGH terdapat panjang rusuk 6 cm. Hitunglah :
a). Jarak titik A ke F,
b). Jarak titik A ke P dengan titik P merupakan titik tengah HF,
c). Jarak titik A ke N dengan titik N merupakan titik tengah EC,
d). Jarak titik B ke Q , titik Q berada di garis EH dengan EQ = 2QH.
Penyelesaian :
a). Jarak titik A ke F,

untuk menghitung jarak A ke F kita gunakan segitiga siku-siku AEF.
$ \begin{align} \text{panjang AF } & = \sqrt{AE^2 + EF^2} \\ & = \sqrt{6^2 + 6^2} \\ & = \sqrt{36 + 36} \\ & = \sqrt{36\times 2} \\ & = 6 \sqrt{ 2} \end{align} $
Jadi, jarak A ke F merupakan $ 6\sqrt{2} \, $ cm.

Baca Juga:   Cara Proyeksi Titik, Garis, Dan Bidang

b). Jarak titik A ke P dengan titik P merupakan titik tengah HF,

untuk menghitung jarak A ke P kita gunakan segitiga siku-siku AEP.
EG merupakan diagonal bidang sesampai lalu $ EG = 6 \sqrt{ 2} $
Panjang EP $ \, = \frac{1}{2} EG = \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{ 2} = 3 \sqrt{ 2} $
$ \begin{align} \text{panjang AP } & = \sqrt{AE^2 + EP^2} \\ & = \sqrt{6^2 + (3 \sqrt{ 2})^2} \\ & = \sqrt{36 + 18} \\ & = \sqrt{54} \\ & = \sqrt{9\times 6} \\ & = 3 \sqrt{ 6} \end{align} $
Jadi, jarak A ke P merupakan $ 3\sqrt{6} \, $ cm.

c). Jarak titik A ke N dengan titik N merupakan titik tengah EC,

untuk menghitung jarak A ke N kita gunakan segitiga siku-siku AXN.
XY merupakan diagonal bidang sesampai lalu $ XY = 6 \sqrt{ 2} $
Panjang XN $ \, = \frac{1}{2} XY = \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{ 2} = 3 \sqrt{ 2} $
Panjang AX $ \, = \frac{1}{2} AE = \frac{1}{2} \times 6 = 3 $
$ \begin{align} \text{panjang AN } & = \sqrt{AX^2 + XN^2} \\ & = \sqrt{3^2 + (3 \sqrt{ 2})^2} \\ & = \sqrt{9 + 18} \\ & = \sqrt{27} \\ & = \sqrt{9\times 3} \\ & = 3 \sqrt{ 3} \end{align} $
Jadi, jarak A ke N merupakan $ 3\sqrt{3} \, $ cm.

d). Jarak titik B ke Q , titik Q berada di garis EH dengan EQ = 2QH.

untuk menghitung jarak B ke Q kita gunakan segitiga siku-siku BEQ.
BE merupakan diagonal bidang sesampai lalu panjang $ BE = 6\sqrt{2} $
*). Menentukan panjang EQ :
$ \begin{align} EQ & = 2QH \\ \frac{EQ}{QH} & = \frac{2}{1} \\ EQ & = \frac{2}{3} EH \\ & = \frac{2}{3} \times 6 \\ & = 4 \end{align} $
*). Menentukan panjang BQ :
$ \begin{align} \text{panjang BQ } & = \sqrt{BE^2 + EQ^2} \\ & = \sqrt{(6 \sqrt{ 2})^2 + 4^2} \\ & = \sqrt{72 + 16} \\ & = \sqrt{88} \\ & = \sqrt{4\times 22} \\ & = 2 \sqrt{22} \end{align} $
Jadi, jarak B ke Q merupakan $ 2\sqrt{22} \, $ cm.

Catatan : Segitiga siku-siku yang dipakai untuk masing-masing tanggapan merupakan salah satu alternatif, artinya teman-teman sanggup memakai segitiga siku-siku yang lainnya tentu dengan hasil yang sama pula.

Konsep Jarak Titik ke Garis
Misalkan kita ingin menghitung jarak titik A ke garis BC, perhatikan gambar berikut ini.

*). gambar (a), Jarak A ke garis BC.
*). gambar (b), Jarak A ke garis BC = panjang AD, dengan AD tegak lurus garis BC. Titik D diperoleh dengan memproyeksikan titik A pada garis BC.
*). gambar (c), untuk menghitung panjang AD, kita buat segitiga pemberian dengan menghubungkan AB dan AC sesampai lalu terbentuk segitiga ABC.

Ada sedikit cara dalam menuntaskan konsep jarak titik ke garis, diantaranya memakai :
i). perbandingan luas segitiga.
       Cara ini dipakai apabila segitiga yang terbentuk siku-siku di A atau panjang semua segitiganya merupakan bilangan bulat.
ii). teorema phytagoras.
       Cara ini bida dipakai untuk semua tipe soal jarak titik ke garis.
iii). hukum cosinus.
       Cara ini dipakai sebagai alternatif lain dari dua cara sebelumnya. Kita akan mencari nilai cos dari sudut B atau C, lalu kita cari lagi nilai sin sudut B atau C dengan segitiga baru.

Contoh soal :
3). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik E ke garis AG?
Penyelesaian :

*). Jarak E ke garis AG diwakili oleh garis EP lantaran EP tegak lurus dengan AG. Segitiga pemberian merupakan segitiga EAG siku-siku di E.
Cara I : Menggunakan luas segitiga,
Luas segitiga AEG sanggup dihitung dari dua cara adalah dengan alasnya AG dan tingginya EP, serta alasnya EA dan tingginya EG yang keduanya terdapat luas yang sama.
$ \begin{align} \text{Luas AEG (alas AG) } & = \text{Luas AEG (alas EA) } \\ \frac{1}{2} \times AG \times EP & = \frac{1}{2} \times EA \times EG \\ AG \times EP & = EA \times EG \\ 8\sqrt{3} \times EP & = 8 \times 8\sqrt{2} \\ EP & = \frac{8 \times 8\sqrt{2}}{8\sqrt{3} } \\ & = \frac{ 8\sqrt{2}}{\sqrt{3} } \\ & = \frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak E ke garis AG merupakan $ \frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \, $ cm.

Baca Juga:   Jarak Dua Garis Pada Dimensi Tiga

Cara II : Menggunakan teorema phytagoras,
Misalkan panjang $ AP = x , \, $ maka panjang $ PG = AG – AP = 8\sqrt{3} – x $
Perhatikan segitiga EAP, $ EP^2 = EA^2 – AP^2 $
Perhatikan segitiga EGP, $ EP^2 = EG^2 – GP^2 $
Kedua panjang EP merupakan sama, sesampai lalu kita peroleh :
$ \begin{align} \text{ (segitiga EAP) } EP^2 & = \text{ (segitiga EGP) } EP^2 \\ EA^2 – AP^2 & = EG^2 – GP^2 \\ 8^2 – x^2 & = (8\sqrt{2})^2 – (8\sqrt{3} – x)^2 \\ 64 – x^2 & = 128 – (192 – 16\sqrt{3}x + x^2) \\ 64 – x^2 & = 128 – 192 + 16\sqrt{3}x – x^2 \\ 64 & = -64 + 16\sqrt{3}x \\ 16\sqrt{3}x & = 128 \\ x & = \frac{128}{16\sqrt{3}} \\ x & = \frac{8}{3}\sqrt{3} \end{align} $
Menentukan panjang EP :
$ \begin{align} EP^2 & = EA^2 – AP^2 \\ & = 8^2 – (\frac{8}{3}\sqrt{3})^2 \\ & = 64 – (\frac{64}{3} ) \\ EP^2 & = \frac{128}{3} \\ EP & = \sqrt{ \frac{128}{3} } = \frac{\sqrt{128}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8 }{3} \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak E ke garis AG merupakan $ \frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \, $ cm.

Cara III : Menggunakan Aturan cosinus,
*). Perhatikan segitiga EAG, kita terapkan hukum cosinus pada sudut A.
$ EG^2 = AE^2 + AG^2 – 2 . AE. AG \cos A \rightarrow \cos A = \frac{AE^2 + AG^2- EG^2}{2 . AE. AG} $.
Menentukan nilai cos A :
$ \begin{align} \cos A & = \frac{AE^2 + AG^2- EG^2}{2 . AE. AG} \\ & = \frac{8^2 + (8\sqrt{3})^2- (8\sqrt{2})^2}{2 . 8. (8\sqrt{3})} \\ & = \frac{64 + 192- 128}{2 . 8. (8\sqrt{3})} \\ & = \frac{128}{2 . 8.8\sqrt{3}} \\ & = \frac{1}{ \sqrt{3}} \end{align} $
Menentukan nilai sin A , memakai identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A + (\frac{1}{ \sqrt{3}})^2 = 1 \rightarrow \sin ^2 A + \frac{1}{ 3} = 1 $
$ \rightarrow \sin ^2 A = \frac{2}{ 3} \rightarrow \sin A = \sqrt{\frac{2}{ 3} } = \frac{1}{3}\sqrt{6} $
Menentukan panjang EP, perhatikan segitiga EAP :
$ \begin{align} \sin A & = \frac{de}{mi} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} & = \frac{EP}{EA} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} & = \frac{EP}{8} \\ \frac{8}{3}\sqrt{6} & = EP \end{align} $
Jadi, jarak E ke garis AG merupakan $ \frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \, $ cm.

Catatan :
*). Tidak semua soal sanggup dikerjakan dengan ketiga cara diatas. Namun untuk cara II dan Cara III sanggup diterapkan kesemua tipe soal konsep jarak titik ke garis.
*). Penghitungan jarak titik ke garis juga sanggup memakai konsep vektor, silahkan baca artikelnya pada “aplikasi vektor : jarak titik ke garis

4). Diketahui titik P ada ditengah-tengah garis EA pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Tentukan jarak titik P ke garis BH?
Penyelesaian :

*). Jarak P ke garis BH diwakili oleh garis PN lantaran PN tegak lurus dengan BH.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiganya :
panjang PB = PH = $ \sqrt{PA^2 + PB^2} = \sqrt{5^2 + 100^2} = 5\sqrt{5} $
Karena segitiga PBH samakaki, maka letak N terletak ditengah BH.
Panjang $ BN = \frac{1}{2} BH = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{3} = 5\sqrt{3} $
Menentukan panjang PN, memakai segitiga PBN
$ \begin{align} PN & = \sqrt{PB^2 – BN^2} \\ & = \sqrt{(5\sqrt{5})^2 – (5\sqrt{3})^2} \\ & = 5\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, jarak P ke garis BH merupakan $ 5\sqrt{2} \, $ cm.

Baca Juga:   Cara Menggambar Atau Melukis Kubus

5). Pada limas segiempat beraturan T.ABCD terdapat rusuk bantalan $ 3\sqrt{2} \, $ cm dan rusuk tegaknya 8 cm. Tentukan jarak titik A ke TC?
Penyelesaian :

*). Mekomplekskan panjang sisi-sisi segitiga.
Jarak A ke garis TC, kita gunakan segitiga ATC sebagai bantuannya.
Panjang AC pada segitiga ABC :
$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 } = \sqrt{ (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 } = \sqrt{36} = 6 $
Untuk menghitung jarak A ke TC = panjang AE, kaya metode yang sanggup kita terapkan, contohnya metode phytagoras ibarat teladan 3 dengan memisalkan $ CE = x \, $. Bisa juga memakai metode hukum cosinus pada sudut C atau T. Pada pembahasan ini kita akan memakai metode luas segitiga lantaran sisi-sisi segitiganya berupa bilangan lingkaran dengan luasan rumus Heron dan metode luasan biasa.
Cara I : Luas segitiga rumus Heron,
Luas segitiga $ \, = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \, $ dengan $ s = \frac{1}{2}(a+b+c) $.
Segitiga ATC dengan sisi-sisi 6, 8, 8.
$ s = \frac{1}{2}(6 + 8 + 8) = \frac{1}{2}(22) = 11 $
$ \begin{align} \text{Luas ATC } & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ & = \sqrt{11(11-6)(11-8)(11-8)} = \sqrt{11.5.3.3} = 3\sqrt{55} \end{align} $
Luas segitiga ATC juga sanggup dihitung dengan rumus :
$ \text{Luas ATC } = \frac{1}{2} a t = \frac{1}{2}.TC . AE = \frac{1}{2}.8 . AE = 4AE $
*). Menentukan panjang AE dengan kedua luas ATC yang sama.
$ \begin{align} \text{Luas ATC } & = \text{Luas ATC } \\ \frac{1}{2}.TC . AE & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ 4AE & = 3\sqrt{55} \\ AE & = \frac{3}{4} \sqrt{55} \end{align} $
Jadi, jarak A ke garis TC merupakan $ \frac{3}{4} \sqrt{55} \, $ cm.

Cara II : Luas segitiga rumus biasa,
Perhatikan gambar (c),
Panjang TF dari segitiga TFC,
$ TF = \sqrt{TC^2 – FC^2 } = \sqrt{8^2 – 3^2 } = \sqrt{64 – 9 } = \sqrt{ 55} $
Luas segitiga ATC,
$ \text{Luas ATC } = \frac{1}{2} a t = \frac{1}{2}.AC . TF = \frac{1}{2}. 6 . \sqrt{ 55} = 3\sqrt{ 55} $
*). Menentukan panjang AE dengan kedua luas ATC yang sama.
$ \begin{align} \text{Luas ATC } & = \text{Luas ATC } \\ \frac{1}{2}.TC . AE & = \frac{1}{2}.AC . TF \\ 4AE & = 3\sqrt{55} \\ AE & = \frac{3}{4} \sqrt{55} \end{align} $
Jadi, jarak A ke garis TC merupakan $ \frac{3}{4} \sqrt{55} \, $ cm.

6). Tentukan jarak titik A ke garis EF pada kubus ABCD.EFGH yang terdapat panjang rusuk 10 cm?
Penyelesaian :

Jika titik A kita proyeksi ke garis EF, maka jadinya merupakan titik E lantaran AE tegak lurus dengan EF. Sesampai lalu jarak titik A ke garis EF merupakan 10 cm.

Untuk konsep jarak lainnya pada dimensi tiga, silahkan baca pada artikel : jarak titik dan bidang pada dimensi tiga, jarak dua garis bersilangan pada dimensi tiga, jarak antara garis dan bidang pada dimensi tiga.

       Bagaimana dengan bahan Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang ini, niscaya seru ya!!!. Memang tak gampang untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan jarak pada dimensi tiga. Semuanya butuh latihan dan berlatih terus secara kontinu untuk mempelajarinya. Percayalah, semuanya niscaya dapat, tak ada yang tak cukup di dunia ini. (sok menghibur diri admin sebagai penulis, lantaran berdasarkan admin juga sulit kok mempelajari dimensi tiga, apalagi berkaitan dengan soal-soal seleksi masuk PTN. ^_^). Semoga bermanfaat bahan pada artikel ini untuk kita semua.