Koordinat Kutub Dan Koordinat Cartesius Pada Trigonometri

Posted on

         Pondok Soal.com – Koordinat suatu titik sanggup disaapabilan dalam bentuk koordinat kutub dan koordinat cartesius. Koordinat kutub sangat berkhasiat salah satunya dalam ilmu astronomi. Koordinat kutub juga sanggup dipakai untuk menunjukan rumus identitas trigonometri, serta rumus jumlah dan selisih sudut perbandingan trigonometri. Untuk memudahkan mempelajari bahan koordinat kutub dan koordinat cartesius , sebaiknya kita pelajari dahulu bahan “Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran“, “Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku“, “Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran“, dan “Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi“.

Hubungan koordinat kutub dan koordinat cartesius
       Koordinat kutub merupakan koordinat yang ada pada cartesius yang terletak pada suatu bulat $ x^2 + y^2 = r^2 \, $ , sesampai lalu koordinat kutub ditulis menurut jari-jari bulat ($r$) dan sudut yang dibuat terhadap sumbu X positif.
Misalkan koordinat cartesius titik A merupakan ($x,y$), dan koordinat kutub titik A merupakan ($r, \alpha$), korelasi kedua titik merupakan :
                         $ x = r \cos \alpha , \, $ dan $ \, y = r \sin \alpha $ .

*). Berikut ilustrasi gambarnya

$\clubsuit $ Langkah-langkah mengubah koordinat menjadi koordinat cartesius :
Langsung gunakan korelasi : $ x = r \cos \alpha , \, $ dan $ \, y = r \sin \alpha $
$ \clubsuit $ Langkah-langkah mengubah koordinat cartesius menjadi koordinat kutub :
(i). Menentukan jari-jari ($r$) dengan pythagoras $ \, r^2 = x^2+y^2 $
(ii). Menentukan besar sudut dengan salah satu rumus :
$ \sin \alpha = \frac{y}{r} \, $ atau $ \cos \alpha = \frac{x}{r}, \, $ atau $ \tan \alpha = \frac{y}{x} $
(iii). Untuk kuadrannya, ada empat kecukupan :
1. $ x \, $ faktual dan $ y \, $ faktual , ada di kuadran I,
2. $ x \, $ negatif dan $ y \, $ faktual , ada di kuadran II,
3. $ x \, $ negatif dan $ y \, $ negatif , ada di kuadran III,
4. $ x \, $ faktual dan $ y \, $ negatif , ada di kuadran IV

Baca Juga:   Pembahasan Soal Trigonometri 1

Contoh :
1). Nyatakan koordinat kutub titik A($8,30^\circ $) ke dalam koordinat cartesius!
Penyelesaian :
*). Diketahui titik $ A (r , \alpha ) = (8,30^\circ $
artinya $ r = 8 \, $ dan $ \alpha = 30^\circ $
*). Menentukan koordinat cartesiusnya :
$ x = r \cos \alpha = 8 \cos 30^\circ = 8 . \frac{1}{2}\sqrt{3} = 4\sqrt{3} $
$ y = r \sin \alpha = 8 \sin 30^\circ = 8 . \frac{1}{2} = 4 $
Jadi, koordinat cartesiusnya merupakan $ A(4\sqrt{3}, 4) $

2). Nyatakan koordinat cartesisu berikut kedalam koordinat kutub :
a). titik B($ 3, 3\sqrt{3} $)
b). titik C($ -\sqrt{3}, 1$)
Penyelesaian :
a). titik B($ 3, 3\sqrt{3} $)
artinya $ x = 3 , \, $ dan $ \, y = 3\sqrt{3} $
*). Menentukan jari-jari ($r$) :
$ r = \sqrt{x^2 + y^2 } = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2 } = \sqrt{9 + 27 } = \sqrt{36} = 6 $
*). Menentukan sudut dengan rumus : $ \cos \alpha = \frac{x}{r} $
$ \cos \alpha = \frac{x}{r} \rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{6} \rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2} \rightarrow \alpha = 60^\circ $
Karena nilai $ x \, $ faktual dan $ y \, $ positif, maka titik B ada di kuadran I dengan sudut $ 60^\circ $
Jadi, koordinat kutubnya merupakan $ B (6, 60^\circ) $ .

b). titik C($ -\sqrt{3}, 1$)
artinya $ x = -\sqrt{3} , \, $ dan $ \, y = 1 $
*). Menentukan jari-jari ($r$) :
$ r = \sqrt{x^2 + y^2 } = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (1)^2 } = \sqrt{3 + 1 } = \sqrt{4} = 2 $
*). Menentukan sudut dengan rumus : $ \sin \alpha = \frac{y}{r} $
$ \sin \alpha = \frac{y}{r} \rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{2} \rightarrow \alpha = 30^\circ $
Karena nilai $ x \, $ negatif dan $ y \, $ positif, maka titik C ada di kuadran II ,
Sesampai lalu sudutnya : $ 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ $
Jadi, koordinat kutubnya merupakan $ C (2, 150^\circ) $ .

Jarak dua titik koordinat kutub
       Untuk menghitung jarak dua titik koordinat kutub, caranya memakai jarak dua titik pada koordinat cartesius. Artinya kita harus mengubah dahulu koordinat kutub menjadi koordinat cartesius. Untuk jarak dua titik koordinat cartesius, silahkan baca bahan “Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis“.

Menentukan jarak titik A($r_1, \theta _1$) dan titik B($r_2, \theta _2$) ,
*). Koordinat cartesiusnya merupakan :
$ A(r_1, \theta _1) \rightarrow x_1 = r_1 \cos \theta _1 , \, y_1 = r_1 \sin \theta _1 \rightarrow A(r_1 \cos \theta _1,r_1 \sin \theta _1) $
$ B(r_2, \theta _2) \rightarrow x_2 = r_2 \cos \theta _2 , \, y_2 = r_2 \sin \theta _2 \rightarrow A(r_2 \cos \theta _2,r_2 \sin \theta _2) $
*). Jarak titik A($x_1, y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) :
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 } \\ & = \sqrt{(r_2 \cos \theta _2- r_1 \cos \theta _1)^2 + (r_2 \sin \theta _2 – r_1 \sin \theta _1)^2 } \\ & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 – 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 – \theta _1) } \end{align} $
Sesampai lalu jarak titik A($r_1, \theta _1$) dan titik B($r_2, \theta _2$) merupakan
$ \begin{align} \text{jarak } = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 – 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 – \theta _1) } \end{align} $

Baca Juga:   Ukuran Sudut : Derajat, Radian, Dan Putaran

Contoh :
3). Tentukan jarak titik A($3,160^\circ $) dan titik B($4, 100^\circ$)!
Penyelesaian :
*). Diketahui titik-titik
$ A(r_1, \theta _1) = (3,160^\circ ) \, $ dan $ B(r_2, \theta _2) = (4, 100^\circ) $
*). Jarak kedua titik merupakan :
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 – 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 – \theta _1) } \\ & = \sqrt{ 3^2 + 4^2 – 2.3.4. \cos ( 160^\circ – 100^\circ ) } \\ & = \sqrt{ 9 + 16 – 24. \cos 60^\circ } \\ & = \sqrt{ 25 – 24. \frac{1}{2} } \\ & = \sqrt{ 25 – 12 } \\ & = \sqrt{ 13 } \end{align} $
Jadi, jarak kedua titik merupakan $ \sqrt{ 13 } \, $ satuan panjang.

Pembuktian rumus jarak dua titik koordinat kutub :
*). Gunakan sedikit persamaan :
identitas trigonometri : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
Rumus selisih sudut : $ \cos (A – B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $
*). Pembuktian rumusnya :
$ \begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 } \\ \text{jarak }^2 & = (x_2-x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 \\ \text{jarak }^2 & = (r_2 \cos \theta _2- r_1 \cos \theta _1)^2 + (r_2 \sin \theta _2 – r_1 \sin \theta _1)^2 \\ \text{jarak }^2 & = (r_2 ^2 \cos ^2 \theta _2 – 2r_1r_2 \cos \theta _2 \cos \theta _1 + r_1^2 \cos ^2 \theta _1) \\ & + (r_2 ^2 \sin ^2 \theta _2 – 2r_1r_2 \sin \theta _2 \sin \theta _1 + r_1^2 \sin ^2 \theta _1) \\ \text{jarak }^2 & = r_2 ^2 ( \sin ^2 \theta _2 + \cos ^2 \theta _2 ) + r_1 ^2 ( \sin ^2 \theta _1 + \cos ^2 \theta _1 ) \\ & – 2r_1r_2 (\cos \theta _2 \cos \theta _1 + \sin \theta _2 \sin \theta _1 ) \\ \text{jarak }^2 & = r_2 ^2 . ( 1 ) + r_1 ^2 . ( 1 ) – 2r_1r_2 (\cos ( \theta _2 – \theta _1 ) ) \\ \text{jarak }^2 & = r_1^2 + r_2^2 – 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 – \theta _1) \\ \text{jarak } & = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 – 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 – \theta _1) } \end{align} $
Jadi, jaraknya merupakan $ \begin{align} \text{jarak } = \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 – 2r_1.r_2 . \cos ( \theta _2 – \theta _1) } \end{align} $