Kuasa Bundar , Titik Kuasa, Dan Garis Kuasa Lingkaran

Posted on

         Pondok Soal.com – Kali ini kita akan mempelajari bahan Kuasa Lingkaran , Titik Kuasa, dan Garis Kuasa Lingkaran . Untuk memudahkan dalam mempelajari bahan ini, sebaiknya kita baca dahulu bahan “persamaan lingkaran“. Materi Kuasa Lingkaran , Titik Kuasa, dan Garis Kuasa Lingkaran kita bagi menjadi sedikit belahan ialah kuasa suatu titik terhadap lingkaran; garis kuasa dan titik kuasa pada dua bulat ; dan garis kuasa dan titik kuasa pada tiga lingkaran.

Kuasa Suatu Titik terhadap Lingkaran
       Misalkan ada titik T($x_1,y_1$) diluar lingkaran, dan ada bulat L yang berpusat di titik P dan jari-jari $ r $ menyerupai gambar berikut.

Kuasa titik T($x_1,y_1$) terhadap bulat L didefinisikan sebagai nilai $ TP^2 – r^2 \, $ .

$ \spadesuit $ Menentukan nilai kuasa suatu titik yang dilambangkan K :
       Misalkan ada persamaan bulat
L : $ x^2 + y^2 +Ax + By + C = 0 \, $ dengan sentra $ P\left( -\frac{A}{2}, – \frac{B}{2} \right) $ dan kuadrat jari-jarinya $ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 – C $ .
Kuasa (K) titik T($x_1,y_1$) terhadap bulat L, merupakan
$ K = TP^2 – r^2 = \left( x_1 + \frac{1}{2}A \right)^2 + \left( y_1 + \frac{1}{2}B \right)^2 – r^2 \, $ atau
$ K = x_1^2 + y_1^2 +Ax_1 + By_1 + C $
       Perhatikan bahwa kuasa titik T($x_1,y_1$) terhadap bulat $ L \, : \, x^2 + y^2 +Ax + By + C = 0 \, $ sanggup diperoleh dengan cara mengmenggantikan $ x $ dan $ y $ pada persamaan bulat itu dengan $ x_1 $ dan $ y_1 $ .

$\clubsuit $ Kegunaan nilai kuasa suatu titik pada bulat
Setelah diperoleh kuasa suatu titik terhadap lingkaran, maka nilai kuasanya sanggup dipakai untuk memilih letak titik tersebut terhadap lingkaran, ialah :
i). Jika $ K > 0, \, $ maka titik ada di luar lingkaran.
ii). Jika $ K = 0, \, $ maka titik terletak pada lingkaran.
iii). Jika $ K < 0, \, $ maka titik terletak di dalam lingkaran.

Baca Juga:   Luas Irisan Dua Bundar Bentuk 3

Contoh :
Tentukan kuasa titik T(1,2) terhadap lingkaran-lingkaran :
a). $ x^2 + y^2 +2x – 4y + 6 = 0 $
b). $ (x-2)^2 + (y + 1)^2 = 4 $
Penyelesaian :
*). Substitusi titik T(1,2) ke persamaan bulat
a). K = $ 1^2 + 2^2 +2.1 – 4.2 + 6 = 5 $
b). Nol kan ruas kanan persamaan lingkaran.
$ (x-2)^2 + (y + 1)^2 = 4 \rightarrow (x-2)^2 + (y + 1)^2 – 4 = 0 $
$ K = (1-2)^2 + (2 + 1)^2 – 4 = 6 $
Karena nilai kuasa titik terhadap kedua bulat di atas kasatmata ($K > 0 $), maka titik T(1,2) terletak di luar kedua lingkaran.

Titik Kuasa dan Garis Kuasa Dua Lingkaran
$ \clubsuit $ Garis Kuasa
       Misalkan ada dua buah lingkaran, dan terdapat titik yang terdapat kuasa yang sama terhadap kedua bulat tersebut. Himpunan semua titik kuasa (terdapat kuasa yang sama terhadap dua lingkaran) akan membentuk suatu garis yang dinamakan sebagai garis kuasa. Garis kuasa tegak lurus dengan garis yang menghubungkan dua sentra lingkaran.

Cara memilih garis kuasa :
Misalkan ada dua bulat ialah
$ L_1 : x^2 + y^2 + A_1x + B_1y + C_1 = 0 \, $ dan
$ L_2 : x^2 + y^2 + A_2x + B_2y + C_2 = 0 $ .
Garis kuasanya merupakan :
$ L_1 – L_2 = 0 \, $ atau $ \, (A_1 – A_2)x + (B_1 – B_2)y + (C_1 – C_2) = 0 $

$ \clubsuit $ Titik Kuasa
       Titik Kuasa merupakan titik yang terletak pada garis kuasa dan memiliki kuasa yang sama terhadap kedua lingkaran.

Cara Menentukan titik kuasa :
Substitusi sebarang nilai salah satu variabelnya (misalkan pilih salah satu nilai $ x_1 $ ) ke persamaan garis kuasa, akan diperoleh nilai $ y_1 $ . Titik ($x_1,y_1$) ini lah disebut sebagai salah satu titik kuasa kedua lingkaran.

Contoh :
Diketahui dua persamaan bulat :
$ L_1 : x^2 + y^2 + 2x -2y – 6 = 0 \, $ dan $ \, L_2 : x^2 + y^2 -12x -4y + 36 = 0 $
a). Tentukan persamaan garis kuasanya;
b). Tentukan titik kuasanya pada sumbu X dan kuasanya pada kedua lingkaran.
c). Tentukan titik kuasanya pada sumbu Y dan kuasanya pada kedua lingkaran.
Penyelesaian :
a). Menentukan garis kuasa : $ L_1 – L_2 = 0 $
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 + 2x -2y – 6 = 0 & \\ x^2 + y^2 -12x -4y + 36 = 0 & – \\ \hline 14x + 2y – 42 = 0 & \\ 7x + y = 21 & \end{array} $
garis kuasanya merupakan $ 7x + y = 21 $

Baca Juga:   Keliling Irisan Dua Bundar Bentuk 3

b). Titik kuasa pada sumbu X, artinya kita mencari titik pada garis kuasa yang memotong sumbu X, caranya merupakan substitusi $ y = 0 \, $ ke garis kuasa, diperoleh :
$ y = 0 \rightarrow 7x + y = 21 \rightarrow 7x + 0 = 21 \rightarrow x = 3 $
artinya titik kuasa pada sumbu X merupakan titik (3,0).
*). Kuasa titik (3,0) terhadap bulat :
Substitusi titik (3,0) ke salah satu bulat saja (sebab kuasanya sama) ,
$ L_1 : x^2 + y^2 + 2x -2y – 6 = 0 \rightarrow K = 3^2 + 0^2 + 2.3 -2.0 – 6 = 9 $
kuasa titik (3,0) merupakan 9.

c). Titik kuasa pada sumbu Y, artinya kita mencari titik pada garis kuasa yang memotong sumbu Y, caranya merupakan substitusi $ x = 0 \, $ ke garis kuasa, diperoleh :
$ x = 0 \rightarrow 7x + y = 21 \rightarrow 7.0 + y = 21 \rightarrow = 21 $
artinya titik kuasa pada sumbu Y merupakan titik (0,21).
*). Kuasa titik (0,21) terhadap bulat :
Substitusi titik (0,21) ke salah satu bulat saja (sebab kuasanya sama) ,
$ L_1 : x^2 + y^2 + 2x -2y – 6 = 0 \rightarrow K = 0^2 + 21^2 + 2.0 -2.21 – 6 = 393 $
kuasa titik (0,21) merupakan 393.
Berikut gambar bulat dan garis kuasanya :

Titik Kuasa dan Garis Kuasa Tiga Lingkaran
$\spadesuit $ Garis Kuasa
       Misalkan ada tiga bulat : $ L_1, \, L_2, \, $ dan $ L_3 . \, $ Garis kuasa yang terbentuk ada tiga ialah
$ g_1 : \, L_1 – L_2 = 0 ; \, g_2 : \, L_1 – L_3 = 0 ; \, g_3 : \, L_2 – L_3 = 0 $

$\spadesuit $ Titik Kuasa
       Sementara titik kuasa tiga bulat hanya ada satu titik kuasa saja, ialah perpotongan ketiga garis kuasa yang terbentuk. Untuk memilih titik kuasanya, cukup ambil dua garis kuasa saja lalu cari perpotongan kedua garis tersebut dengan cara eliminasi dan substitusi.

Contoh :
Tentukan garis kuasa dan titik kuasa dari ketiga lingkran berikut dan kuasa titik tersebut terhadap ketiga lingkaran.
$ L_1 : \, x^2 + y^2 +x + y – 14 = 0 $
$ L_2 : \, x^2 + y^2 = 13 $
$ L_3 : \, x^2 + y^2 +3x – 2y – 26 = 0 $
Penyelesaian :
*). Menentukan garis kuasanya :
garis kuasa pertama : $ L_1 – L_2 =0 \rightarrow x + y = 1 $
garis kuasa kedua : $ L_1 – L_3 =0 \rightarrow -2x + 3y = -12 $
garis kuasa ketiga : $ L_2 – L_3 =0 \rightarrow -3x + 2y = -13 $
*). Menentukan titik kuasa dengan eliminasi garis kuasa I dan II
$ \begin{array}{c|c|cc} x + y = 1 & \text{ kali 2 } & 2x + 2y = 2 & \\ -2x + 3y = -12 & \text{ kali 1 } & -2x + 3y = -12 & + \\ \hline & & 5y = -10 & \\ & & y = -2 & \end{array} $
Pers(i) : $ x + y = 1 \rightarrow x + (-2) = 1 \rightarrow x = 3 $
Jadi, titik kuasa ketiga bulat merupakan (3,-2)
*).Kuasa titik (3,-2) terhadap lingkaran, di sini kita gunakan lingkran pertama
$ L_1 : \, x^2 + y^2 +x + y – 14 = 0 \rightarrow K = 3^2 + (-2)^2 +3 + (-2) – 14 = 0 $
Kuasa titik (3,-2) terhadap ketiga bulat merupakan 0.
Karena nilai kuasanya nol ($ K = 0 $), maka titik (3,-2) ada pada ketiga lingkaran.