Kumpulan Rumus Cepat Persamaan Kuadrat

Posted on

         Pondok Soal.com – Hallow anda, bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan baik-baik saja.
         Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK) sudah kita bahas pada artikel sebelumnya yaitu : bentuk umum PK, Menentukan akar-akar, jenis-jenis akar, operasi akar-akar, sifat-sifat akar, dan menyusun pk. Namun adakalanya pada waktu tertentu, misalkan kita mengikuti Ujian Naional, tes masuk peruruan tinggi negeri (SBMPTN dan seleksi mandirinya) kita butuh kecepatan dalam menuntaskan soal-soal yang diberikan alasannya ialah waktu yang disediakan terbatas. Nah untuk membantu, kami sediakan sedikit rumus cepat khusus yang berkaitan dengan persamaan kuadrat.

         Rumus Cepat persamaan kuadrat ini sifatnya terbatas, maksudnya rumus-rumus tersebut hanya berlaku pada kasus-kasus tertentu pada soal tertentu juga. Artinya tak semua soal sanggup memakai rumus cepat, dan kelemahannya juga dengan adanya rumus cepat maka semakin kaya rumus yang harus kita hafalkan.

         Saran dari kami, sebaiknya anda lebih mendalami konsep dasarnya alasannya ialah yang namanya konsep dasar niscaya akan berlaku umum dan niscaya sanggup menuntaskan sebua tipe dan bentuk soal. Rumus cepat ini hanya sebagai embel-embel saja, semoga lebih mantap dan siapa tau saat ujian keluar soal yang sanggup dikerjakan dengan rumus cepat sesampai lalu jadi keberuntungan. Dan satu lagi, ingat dan pahami rumus cepat yang singkat saja, semoga otaknya tak pusing alasannya ialah harus menghafalkan kaya rumus.

Rumus Cepat Pertama

         Persamaan Kuadrat $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ terdapat akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ .
(i). Jika diketahui salah satu akar merupakan $ n \, $ kali dari akar yang lainnya $( x_1= n. x_2 \, \text{ atau } \, x_2 = n.x_1) $ , maka berlaku :

$ n.b^2 = (n+1)^2.a.c $

(ii). Jika perbandingan akar-akarnya $ m : n \, $ (maksudnya $ x_1:x_2 = m:n \, \text{ atau } \, x_2:x_1 = m:n $) , maka berlaku :

$ (m.n)b^2 = (m+n)^2.a.c $

Contoh 1.

Persamaan kuadrat $ 2x^2 + 4x + (m-1) = 0 \, $ terdapat akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2\, $ . Jika $ x_1 = 3x_2 \, $ , maka nilai $ m \, $ merupakan ….
Penyelesaian : Dengan Konsep Dasar
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 + 4x + (m-1) = 0 \rightarrow a = 2, b = 4, c = m-1 $
Diketahui $ x_1 = 3x_2 \, $ …..pers(i)
Operasi penjumlahan : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-4}{2} = -2 \, $ ….pers(ii)
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} x_1 + x_2 & = -2 \\ 3x_2 + x_2 & = -2 \\ 4x_2 & = -2 \\ x_2 & = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $ x_2 \, $ ke PK
$\begin{align} 2x^2 + 4x + (m-1) & = 0 \\ 2(-\frac{1}{2})^2 + 4.(-\frac{1}{2}) + (m-1) & = 0 \\ \frac{1}{2} – 2 + m – 1 & = 0 \\ m = \frac{5}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ m = \frac{5}{2} . \heartsuit $
Penyelesaian : Dengan rumus cepat
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 + 4x + (m-1) = 0 \rightarrow a = 2, b = 4, c = m-1 $
Diketahui $ x_1 = 3x_2 \rightarrow x_1 = n.x_2 \, $ , artinya $ n = 3 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ m $
$\begin{align} n.b^2 & = (n+1)^2.a.c \\ 3.4^2 & = (3+1)^2.2.(m-1) \\ 3.4^2 & = 4^2.2.(m-1) \\ m-1 & = \frac{3}{2} \\ m & = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ m = \frac{5}{2} . \heartsuit $

Contoh 2.

Persamaan kuadrat $ x^2 -(m+2)x + 6 = 0 \, $ terdapat akar-akar nyata $ x_1 \, $ dan $ x_2\, $ . Jika perbandingan akar-akarnya merupakan 3 : 2 , maka nilai $ m \, $ merupakan ….
Penyelesaian : Dengan Konsep Dasar
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 -(m+2)x + 6 = 0 \rightarrow a = 1, b = -(m+2), c = 6 $
Diketahui $ x_1 : x_2 = 3:2 \, $ …..pers(i)
Operasi persobat semua : $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6 \, $ ….pers(ii)
$\clubsuit \,$ Kalikan kedua persamaan
$\begin{align} (\frac{x_1}{x_2}).(x_1 . x_2) & = (\frac{3}{2}).6 \\ x_1^2 & = 9 \rightarrow x_1 = \pm 3 \\ x_1 & = 3 \, \, \, \, \text{(positif)} \end{align}$
$\clubsuit \,$ Substitusi nilai $ x_1 \, $ ke PK
$\begin{align} x^2 -(m+2)x + 6 & = 0 \\ 3^2 -(m+2).3 + 6 & = 0 \\ 9 -3m – 6 + 6 & = 0 \\ 3m & = 9 \rightarrow m = 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ m = 3 . \heartsuit $
Penyelesaian : Dengan rumus cepat
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 -(m+2)x + 6 = 0 \rightarrow a = 1, b = -(m+2), c = 6 $
Diketahui $ x_1 : x_2 = 3:2 \rightarrow x_1:x_2 = m:n \, $ artinya $ m = 3 \, $ dan $ n = 2 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ m $
$\begin{align} (m.n).b^2 & = (m+n)^2.a.c \\ (3.2).[-(m+2)]^2 & = (3+2)^2.1.6 \\ 6(m+2)^2 & = (5)^2.6 \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ (m+2)^2 & = (5)^2 \\ m+2 & = 5 \rightarrow m = 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ m = 3 . \heartsuit $

Rumus Cepat Kedua (Menyusun Persamaan Kuadrat Baru)

         Untuk Menyusun persamaan kuadrat gres secara umum sanggup memakai rumus $ x^2 – (HJ)x+(HK) \, $ dengan HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali. Namun kali ini kita akan bahas cara cepatnya.
         Persamaan Kuadrat $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ terdapat akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Menyusun Persamaan Kuadrat Baru (PKB) yang :
(i). Akar-akarnya $ n \, $ kali dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ nx_1 \, \text{ dan } \, nx_2 $

PKB nya : $ ax^2 + n.bx + n^2.c = 0 $

(ii). Akar-akarnya $ n \, $ lebihnya dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ x_1 + n \, \text{ dan } \, x_2 + n $

PKB nya : $ a(x-n)^2 + b(x-n) + n^2.c = 0 $

(iii). Akar-akarnya $ n \, $ kurangnya dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ x_1 – n \, \text{ dan } \, x_2 – n $

PKB nya : $ a(x+n)^2 + b(x+n) + n^2.c = 0 $

(iv). Akar-akarnya kebalikan dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ \frac{1}{x_1} \, \text{ dan } \, \frac{1}{x_2} $

PKB nya : $ cx^2 + bx + a = 0 $

         ( $ a \, $ dan $ c \, $ ditukar letaknya)
(v). Akar-akarnya berlawanan dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ -x_1 \, \text{ dan } \, -x_2 $

PKB nya : $ ax^2 – bx + c = 0 $

         ( tinggal dikasih negatif pada nilai $ b $ )
(vi). Akar-akarnya kuadrat dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ x_1^2 \, \text{ dan } \, x_2^2 $

PKB nya : $ a^2x^2 – (b^2-2ac)x + c^2 = 0 $

(vii). Akar-akarnya pangkat tiga dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ x_1^3 \, \text{ dan } \, x_2^3 $

PKB nya : $ a^3x^2 + (b^3-3abc)x + c^3 = 0 $

(viii). Akar-akarnya $(x_1+x_2) \, $ dan $ (x_1.x_2) \, $ dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $

PKB nya : $ a^2x^2 + a(b-c)x -bc = 0 $

(ix). Akar-akarnya $ \frac{x_1}{x_2} \, $ dan $ \frac{x_2}{x_1} \, $ dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $

PKB nya : $ acx^2 – (b^2 – 2ac)x + ac = 0 $

(x). Akar-akarnya $ \frac{1}{x_1^2} \, $ dan $ \frac{1}{x_2^2} \, $ dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $

PKB nya : $ c^2x^2 – (b^2 – 2ac)x + a^2 = 0 $

         Untuk lebih memahami maksud dari rumus cepat di atas, mari kita lihat sedikit pola soal berikut.

Contoh 3.

Tentukan persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya 3 kali lipat dari akar-akar persamaan $ x^2 -2x+3 = 0 \, $ ?
$\spadesuit \, $ PK $ x^2 -2x+3 = 0 \rightarrow a = 1, b = -2, c = 3 $
3 kali lipat , artinya $ n = 3 \, $
$\spadesuit \, $ Menyusun PKB nya
$\begin{align} ax^2 + n.bx + n^2.c & = 0 \\ 1.x^2 + 3.(-2)x + 3^2.3 & = 0 \\ x^2 -6x + 27 & = 0 \end{align}$
Jadi, PKB nya merupakan $ x^2 -6x + 27 = 0 . \heartsuit $

Contoh 4.

Tentukan persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan $ 3x^2 +x – 1 = 0 \, $ ?
$\spadesuit \, $ PK $ 3x^2 +x – 1 = 0 \rightarrow a = 2, b = 1, c = -1 $
2 lebihnya , artinya $ n = 2 \, $
$\spadesuit \, $ Menyusun PKB nya
$\begin{align} a(x-n)^2 + b(x-n) + c & = 0 \\ 3(x-2)^2 + 1.(x-2) + (-1) & = 0 \\ 3(x^2 – 4x + 4) x-2-1 & = 0 \\ 3x^2 – 11x + 9 & = 0 \end{align}$
Jadi, PKB nya merupakan $ 3x^2 – 11x + 9 = 0 . \heartsuit $

Contoh 5.

Tentukan persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya berkebalikan dari akar-akar persamaan $ 5x^2 +2x +7 = 0 \, $ ?
$\spadesuit \, $ PK $ 5x^2 +2x +7 = 0 \rightarrow a = 5, b = 2, c = 7 $
$\spadesuit \, $ Menyusun PKB dengan akar-akar berkebalikan
$\begin{align} cx^2 + bx + a & = 0 \\ 7x^2 + 2x + 5 & = 0 \end{align}$
Jadi, PKB nya merupakan $ 7x^2 + 2x + 5 = 0 . \heartsuit $

Contoh 6.

Tentukan persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya $ x_1^2 \, $ dan $ x_2^2 \, $ dari akar-akar persamaan $ -x^2 +2x +3 = 0 \, $ yang terdapat akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ?
$\spadesuit \, $ PK $ -x^2 +2x +3 = 0 \rightarrow a = -1, b = 2, c = 3 $
$\spadesuit \, $ Menyusun PKB dengan akar-akar $ x_1^2 \, $ dan $ x_2^2 \, $
$\begin{align} a^2x^2 – (b^2-2ac)x + c^2 & = 0 \\ (-1)^2x^2 – (2^2-2.(-1).3)x + 3^2 & = 0 \\ 1.x^2 – (4 + 6)x + 9 & = 0 \\ x^2 – 10x + 9 & = 0 \end{align}$
Jadi, PKB nya merupakan $ x^2 – 10x + 9 = 0 . \heartsuit $

         Perlu teman-teman ketahui, kumpulan rumus cepat menyusun persamaan kuadrat ini bergotong-royong berasal dari konsep dasar cara menyusun persamaan kuadrat. Artinya rumus-rumus cepat yang ada di atas diperoleh dari pembagian terstruktur mengenai konsep dasarnya. Jadi, teman-teman jangan bingun dan pusing seandainya belum atau sulit untuk menghafal rumus-rumus cepat yang ada, alasannya ialah konsep dasarnya saja bergotong-royong sudah cukup.