Limit Tak Sampai Fungsi Trigonometri

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri. Materi Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri merupakan campuran bentuk limit tak hingga kemudian dan limit fungsi trigonometri. Jika kita perdalam lagi, ternyata bentuk “Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri” lebih menekankan pada limit fungsi trigonometrinya, sesampai lalu teman-teman harus benar-benar menguasai bahan limit fungsi trigonometrinya terlebih dahulu.

         Bentuk tak hingga lalu ($\infty$) apabila sebagai sudut suatu fungsi trigonometri maka tak sanggup kita tentukan nilainya, misalkan $ \sin \infty, \cos \infty, \tan \infty $ tak sanggup kita tentukan nilainya lantaran nilai $ \sin x $ berkisar $ -1 \leq \sin x \leq 1 $, begitu juga nilai $ \cos x $ berkisar $ -1 \leq \cos x \leq 1 $ , dan untuk $ \tan x $ berkisar $ -\infty \leq \tan x \leq \infty $, tentu dengan $ x $ yang sudah pasti. Nah untuk memudahkan, maka bentuk yang diguankan merupakan $ \frac{1}{\infty} = 0 $ sesampai lalu nilai fungsi trigonometrinya sanggup kita hitung yakni $ \sin \frac{1}{\infty} = 0 , \cos \frac{1}{\infty} = 1, \tan \frac{1}{\infty} = 0 $ . Dan bentuk ini cocok dengan limit fungsi trigonometri yang akan kita bahas dalam artikel Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri.

         Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri ini ternyata soalnya dikeluarkan pada SBMPTN 2019 matematika IPA atau matematika saintek satu soal disetiap kodenya. Nah, berlatar belakang dari inilah admin membahas artikel ini secara lebih khusus supaya sanggup membantu teman-teman yang ingin mempelajarinya atau siapa tahu tahun-tahun berikutnya akan keluar lagi di soal seleksi masuk Perguruan Tinggi Negeri lainnya. Dalam pembahasan Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri, kita harus menguasai sifat-sifat limit fungsi trigonometri, rumus-rumus dasar trigonometri, dan limit tak hingga lalu bentuk aljabar.

Sifat-sifat limit fungsi Trigonometri
$\clubsuit $ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri
i). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $

Rumus-rumus dasar Trigonometri
$\spadesuit $ Beberapa rumus yang dipakai dalam limit fungsi trigonometri :
i). $ 1 – \cos px = 2\sin \frac{1}{2} px . \sin \frac{1}{2} px $
ii). $ \cos A – \cos B = -2\sin \frac{1}{2}(A+B) .\sin \frac{1}{2}(A-B) $
iii). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow 1 – \cos ^2 x = \sin ^2 x $

Limit tak hingga lalu fungsi aljabar
$\clubsuit $ Limit tak hingga lalu potongan :
Misalkan fungsinya $ f(x) = ax^n + a_1x^{n-1} + … \, $ dengan pangkat tertinggi $ n \, $ dan $ g(x) = bx^m + b_1 x^{m-1} + …. $ dengan pangkat tertinggi $ m \, $ , maka limit di tak hingga kemudiannya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_1x^{n-1} + …}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ….} \left\{ \begin{array}{ccc} = \frac{0}{b} & = 0 & , \text{untuk } n < m \\ = \frac{a}{b} & & , \text{untuk } n = m \\ = \frac{a}{0} & = \infty & , \text{untuk } n > m \end{array} \right. $
Catatan : Ambil koefisien pangkat tertingginya.

Contoh Soal Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri :

Baca Juga:   Soal-Soal Latihan Limit Fungsi Tak Hingga

1). Tentukan hasil limit berikut ini :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x \tan \frac{1}{x} $
b). $ \displaystyle \lim_{y \to \infty } \, \frac{1}{y} \cot \frac{1}{y} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{ \csc \frac{1}{x} }{x} $

Penyelesaian :
a). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , sesampai lalu $ x = \frac{1}{y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x \tan \frac{1}{x} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{y} \tan y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ \tan y }{y} \\ & = 1 \end{align} $

b). Misalkan $ \frac{1}{y} = x $ , dan $ \cot x = \frac{1}{\tan x} $ .
Untuk $ y $ mendekati $ \infty $ maka $ x $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{y \to \infty } \, \frac{1}{y} \cot \frac{1}{y} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, x \cot x \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, x . \frac{1}{\tan x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{x}{\tan x} \\ & = 1 \end{align} $

c). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{ \csc \frac{1}{x} }{x} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{1}{x} . \csc \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, y . \csc y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, y . \frac{1}{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{y}{\sin y} \\ & = 1 \end{align} $

2). Tentukan hasil limit tak kingga fungsi trigonometri berikut ini :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \tan \frac{5}{x} . \csc \frac{2}{x} $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \cot 3x^{-1} . \sin x^{-1} $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\cot \frac{1}{2x}}{\csc \frac{3}{x}} $

Penyelesaian :
a). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \tan \frac{5}{x} . \csc \frac{2}{x} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \tan 5y . \csc 2y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \tan 5y . \frac{1}{\sin 2y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\tan 5y}{\sin 2y} \\ & = \frac{5}{2} \end{align} $

b). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \cot y = \frac{1}{\tan y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \cot 3x^{-1} . \sin x^{-1} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \cot \frac{3}{x} . \sin \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \cot 3y . \sin y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{\tan 3y} . \sin y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin y}{\tan 3y} \\ & = \frac{1}{3} \end{align} $

c). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\cot \frac{1}{2x}}{\csc \frac{3}{x}} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\cot \frac{1}{2}y}{\csc 3y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\frac{1}{\tan \frac{1}{2}y}}{\frac{1}{\sin 3y}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin 3y}{\tan \frac{1}{2}y} \\ & = \frac{3}{ \frac{1}{2} } = 6 \end{align} $

Baca Juga:   Soal-Soal Latihan Limit Fungsi Trigonometri

3). Tentukan hasil limit tak kingga fungsi trigonometri $ \displaystyle \lim_{y \to \infty } \, \sqrt{6y}\cos \frac{3}{\sqrt{y}} \sin \frac{5}{\sqrt{y}} $?

Penyelesaian :
*). Misalkan $ \frac{1}{\sqrt{y}} = x $ , sesampai lalu $ \sqrt{y} = \frac{1}{x} $ .
Untuk $ y $ mendekati $ \infty $ maka $ x $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{y \to \infty } \, \sqrt{6y}\cos \frac{3}{\sqrt{y}} \sin \frac{5}{\sqrt{y}} & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \, \sqrt{6}.\sqrt{y}\cos \frac{3}{\sqrt{y}} \sin \frac{5}{\sqrt{y}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \sqrt{6}.\frac{1}{x} \cos 3x \sin 5x \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \sqrt{6}. \cos 3x . \frac{\sin 5x}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \sqrt{6} \cos 3x . \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 5x}{x} \\ & = \sqrt{6} . \cos 0 . 5 \\ & = \sqrt{6}. 1 . 5 = 5\sqrt{6} \end{align} $

4). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{1 – \cos \frac{4}{x}}{ \frac{1}{x} . \tan \frac{3}{x}} = …. ? $

Penyelesaian :
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $.
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
Bentuk $ 1 – \cos 4y = 2\sin 2y. \sin 2y $
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{1 – \cos \frac{4}{x}}{ \frac{1}{x} . \tan \frac{3}{x}} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1 – \cos 4y}{ y . \tan 3y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{2\sin 2y. \sin 2y}{ y . \tan 3y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{2\sin 2y}{ y } . \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ \sin 2y}{\tan 3y} \\ & = 2.2 .\frac{2}{3} = \frac{8}{3} \end{align} $

5). Tentukan hasil limit $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{2x \cot \frac{2}{x} – 3 \cot \frac{2}{x}}{5x^2 – 2x} $

Penyelesaian :
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ dan $ \cot y = \frac{1}{\tan y} $
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{2x \cot \frac{2}{x} – 3 \cot \frac{2}{x}}{5x^2 – 2x} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{(2x – 3) \cot \frac{2}{x}}{x(5x – 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{(2x – 3) }{5x – 2} . \frac{1}{x} . \cot \frac{2}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{(2x – 3) }{5x – 2} . \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{1}{x} . \cot \frac{2}{x} \\ & = \frac{2}{5}. \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, y . \cot 2y \\ & = \frac{2}{5}. \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, y . \frac{1}{\tan 2y} \\ & = \frac{2}{5}. \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{y}{\tan 2y} \\ & = \frac{2}{5}. \frac{1}{2} = \frac{1}{5} \end{align} $

6). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\cos \frac{4}{x}+ \cos \frac{2}{x}.\sin \frac{3}{\sqrt{x}} – \cos \frac{4}{x}.\sin \frac{3}{\sqrt{x}} – \cos \frac{2}{x}}{\sin ^2 \frac{1}{x} – \cos \frac{2}{x} + 1}= …?$

Penyelesaian :
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, maka $ \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{y} $
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Mengubah bentuk soalnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\cos \frac{4}{x}+ \cos \frac{2}{x}.\sin \frac{3}{\sqrt{x}} – \cos \frac{4}{x}.\sin \frac{3}{\sqrt{x}} – \cos \frac{2}{x}}{\sin ^2 \frac{1}{x} – \cos \frac{2}{x} + 1} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\cos 4y+ \cos 2y.\sin 3\sqrt{y} – \cos 4y.\sin 3\sqrt{y} – \cos2y}{\sin ^2 y – \cos 2y + 1} \end{align} $
*). Mengubah bentuk pembilang dan penyebutnya :
-). Pembilangnya, Rumus $ \cos A – \cos B = -2 \sin \frac{1}{2}(A+B).\sin \frac{1}{2}(A-B) $
$ \begin{align} & \cos 4y+ \cos 2y.\sin 3\sqrt{y} – \cos 4y.\sin 3\sqrt{y} – \cos2y \\ & = \cos 4y – \cos 4y. \sin 3\sqrt{y} – \cos 2y + \cos 2y . \sin 3\sqrt{y} \\ & = \cos 4y ( 1 – \sin 3\sqrt{y} ) – \cos 2y ( 1 – \sin 3\sqrt{y} ) \\ & = (\cos 4y – \cos 2y) ( 1 – \sin 3\sqrt{y} ) \\ & = (-2 \sin \frac{1}{2}(4y+2y). \sin \frac{1}{2}(4y-2y)) ( 1 – \sin 3\sqrt{y} ) \\ & = -2 \sin 3y. \sin y. ( 1 – \sin 3\sqrt{y} ) \end{align} $
-). Penyebutnya, Rumus $ 1 – \cos px = 2 \sin \frac{1}{2} px . \sin \frac{1}{2} px $
$ \begin{align} \sin ^2 y – \cos 2y + 1 & = \sin ^2 y + (1 – \cos 2y) \\ & = \sin ^2 y + 2\sin y . \sin y \\ & = 3\sin y . \sin y \end{align} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\cos 4y+ \cos 2y.\sin 3\sqrt{y} – \cos 4y.\sin 3\sqrt{y} – \cos2y}{\sin ^2 y – \cos 2y + 1} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{-2 \sin 3y. \sin y. ( 1 – \sin 3\sqrt{y} ) }{3\sin y . \sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{-2 \sin 3y. ( 1 – \sin 3\sqrt{y} ) }{3\sin y } \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin 3y}{\sin y} . \frac{-2}{3}( 1 – \sin 3\sqrt{y} ) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin 3y}{\sin y} . \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{-2}{3}( 1 – \sin 3\sqrt{y} ) \\ & = 3 . \frac{-2}{3}( 1 – \sin 0 ) \\ & = 3 . \frac{-2}{3}( 1 – 0 ) \\ & = 3 . \frac{-2}{3}.( 1 ) = -2 \end{align} $

Baca Juga:   Penerapan Limit Pada Laju Perubahan

Berikut kami saapabilan 4 soal limit tak hingga lalu fungsi trigonometri yang keluar pada soal SBMPTN 2019 matematika IPA dari 4 arahan berbeda:

Nomor 11 , Soal SBMPTN 2019 Kode 165

$ \displaystyle \lim_{y \to \infty } y . \sin \frac{3}{y}. \cos \frac{5}{y} = …. $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

Nomor 11, Soal SBMPTN 2019 Kode 166

$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sin \frac{3}{x}}{\left(1 – \cos \frac{2}{x} \right).x^2.\sin \frac{1}{x}} = …. $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ 3 $

Nomor 11, Soal SBMPTN 2019 Kode 167

$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x\left(1 – \cos \frac{1}{\sqrt{x}} \right) = …. $
A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{5} $

Nomor 11, Soal SBMPTN 2019 Kode 168

$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, 2x \tan \frac{1}{x}. \sec \frac{2}{x} = …. $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

       Demikian pembahasan bahan Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri dan contohnya. Silahkan baca juga bahan Limit lainnya.