Lingkaran Dalam Dan Bulat Luar Segitiga

Posted on

         Pondok Soal.com – Penerapan lain trigonometri merupakan pada bulat dan segitiga. Kali ini kita akan membahas bahan Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga. Namun sebelumnya, sebaiknya kita baca dahulu bahan hukum sinus pada artikel “Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga“.

Lingkaran Dalam Segitiga
       Lingkaran dalam segitiga maksudnya ada sebuah bulat yang dilukis di dalam segitiga yang mana bulat menyinggung ketiga sisi segitiganya. Berikut ilustrasi gambarnya.

Dari gambar di atas, diperoleh luas segitiga ABC :
       $ \begin{align} \text{Luas ABC } = r s \end{align} \, $ atau $ \, \begin{align} r = \frac{\text{Luas ABC }}{s} \end{align} $

dengan $ s = \frac{a+b+c}{2} $

Pembuktian Rumus luas segitiga bulat dalam :
*). Perhatikan gambar berikut.

Titik O merupakan titik sentra bulat dengan jari-jari $ r $.
*). Menentukan luas segitiga ABC
Mislakan : $ s = \frac{a+b+c}{2} $
Luas segitiga = $ \frac{1}{2} \times \, $ ganjal $ \times \, $ tinggi.
$ \begin{align} L \, ABC & = L \, BOC + L \, AOC + L \, AOB \\ L \, ABC & = \frac{1}{2} a.r + \frac{1}{2} b.r + \frac{1}{2} a.r \\ & = \frac{1}{2} (a+b+c)r \\ & = r. \frac{a+b+c}{2} \\ L \, ABC & = r. s \end{align} $
Jadi, terbukti luas segitiganya : $ L \, ABC = rs $.

Contoh :
1). Diketahui bulat dalam segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi segitiganya berturut-turut 4, 6, 8 . Tentukan jari-jari bulat dalamnya?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ s \, $ dan luas segitiga.
$ s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4 + 6 + 8}{2} = 9 $
Luas segitiga ABC dengan Rumus Heron.
$ L = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{9.(9-4)(9-6)(9-8)} = \sqrt{9.5.3.1} = 3\sqrt{15} $
*). Menentukan jari-jari segitiga dalamnya :
$ r = \frac{\text{Luas ABC }}{s} = \frac{3\sqrt{15}}{9} = \frac{1}{3}\sqrt{15} $

Pembuktian rumus luas segitiga bulat luar :
*). Luas segitiga ABC menurut hukum sinus dan sudut A
$ \begin{align} \text{Luas ABC } = \frac{1}{2}bc \sin A \end{align} $
*). Sudut keliling bulat (sudut C) menghadap diameter, sesampai lalu besar sudutnya $ 90^\circ \, $ .
*). Menentukan nilai sin A :
$ \sin A = \frac{de}{mi} \rightarrow \sin A = \frac{BC}{BA} \rightarrow \sin A = \frac{a}{2r} $
*). Substitusi bentuk $ \sin A = \frac{a}{2r} \, $ ke luas segitiga
$ \begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2}bc \sin A \\ \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2}bc . \frac{a}{2r} \\ \text{Luas ABC } & = \frac{abc}{4r} \end{align} $
Kaprikornus terbukti rumus luas segitiga bulat luar.

Contoh :
2). Tentukan jari-jari bulat luar segitiga ABC yang terdapat sisi-sisi 5, 6, 9 ?
Penyelesaian :
*). Misalkan $ a = 5, \, b = 6, \, c = 9 $
*). Menentukan nilai $ s $
$ \begin{align} s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+6+9}{2} = 10 \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga ABC
$ \begin{align} \text{Luas ABC } & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ & = \sqrt{10(10-5)(10-6)(10-9)} \\ & = \sqrt{10.5.4.1} \\ & = 10\sqrt{2} \end{align} $
*). Menentukan jari-jari bulat luar.
$ \begin{align} r & = \frac{abc}{4\times \text{Luas ABC }} \\ r & = \frac{5.6.9}{4\times 10\sqrt{2}} \\ r & = \frac{27}{4\sqrt{2}} \\ r & = \frac{27}{8} \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, jari-jari lingkarannya merupakan $ r = \frac{27}{8} \sqrt{2} $ .

3). Perhatikan gambar berikut!

Segitiga ABC terdapat panjang BC = 6, AB = 8, AC = 10 .
Tentukan perbandingan jari-jari bulat luar dan bulat dalam segitiga?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ s $
$ \begin{align} s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+8+10}{2} = 12 \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga ABC.
$ \begin{align} \text{Luas ABC } & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ & = \sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)} \\ & = \sqrt{12.6.4.2} \\ & = 24 \end{align} $
*). Menentukan jari-jari bulat luar segitiga ($r_1$)
$ \begin{align} r & = \frac{abc}{4\times \text{Luas ABC }} \\ r_1 & = \frac{6.8.10}{4\times 24} \\ r_1 & = 5 \end{align} $
*). Menentukan jari-jari bulat dalam segitiga ($r_2$)
$ \begin{align} r & = \frac{\text{Luas ABC }}{s} \\ r_2 & = \frac{24}{12} \\ r_2 & = 2 \end{align} $
*). Menentukan perbandingan jari-jari bulat :
$ \begin{align} \frac{r_1}{r_2} = \frac{5}{2} \end{align} $
Jadi, perbandingan jari-jari bulat luar dan bulat dalam merupakan 5 : 2.