Luas Dan Keliling Bangkit Datar Segi-N Beraturan

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah sebelumnya kita membahas bahan “Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya“, pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan. Soal-soal yang berkaitan dengan Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan juga pernah keluar pada ujian nasional tingkat SMA. Pada dasarnya bangun datar segi-n beraturan terbentuk dari bulat yang dibagi-bagi menjadi sedikit bab yang sama besar (berbentuk segitiga sama kaki). Sesampai lalu untuk menghitung luas dan keliling bangkit datar segi-n kita akan melibatkan sudut sentra dan jari-jarinya. Sudut pusatnya merupakan sudut pada segitiga dengan besarnya merupakan $ \frac{360^\circ}{n} $ yang ditunjukkan oleh tanda sudut warna merah. Sementara sisi dari bangkit datar segi-n ditunjukkan oleh karakter $ x $. Perhatikan gambar berikut ini.

         Dalam menghitung Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan, kita melibatkan rumus luas segitiga yang melibatkan sudut ialah lebih tepatnya luas segitiga memakai sinus dan untuk menghitung kelilingnya kita memakai konsep hukum kosinus. Silahkan teman-teman baca materinya pada artikel : “Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga“. Untuk lebih memudahkan, teman-teman sebaiknya juga mempelajari nilai perbandingan fungsi trigonometri pada sudut-sudut istimewa pada artikel “Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi“.

Penghitungan Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan
$\spadesuit $ Luas bangkit datar segi-n beraturan :
*). Luas segitiga menggunaan sinus.
Perhatikan segitga PRQ pada segienam di atas (sebagai pola saja), luasnya merupakan :
Luas segitiga $ = \frac{1}{2}.r.r .\sin \theta = \frac{1}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} $.
*). Luas bangkit datar segi-n beraturan :
Luas segi-n $ = n \times \, $ luas segitiga
Luas segi-n $ = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} $

Baca Juga:   Luas Berdiri Datar Diketahui Koordinatnya

$\clubsuit $ Keliling bangkit datar segi-n beraturan :
*). Aturan kosinus memilih pajang sisi segin-n ($x$).
Berdasarkan hukum kosinus pada segitiga PRQ, panjang $ x $ merupakan
$ x^2 = r^2 + r^2 – 2.r.r.\cos \theta $
$ x = \sqrt{2r^2 – 2r^2 \cos \frac{360^\circ}{n}} $
$ x = r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} $
*). Keliling bangkit datar segi-n beraturan
Keliling $ = n \times x = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} $.

keterangan :
$\theta =\, $ sudut sentra $ = \frac{360^\circ}{n} $.

Contoh soal Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan :

1). Pada segienam beraturan dengan jari-jari 10 cm, tentukan :
a). Luas,
b). Keliling.

Penyelesaian :
*). Pada soal diketahui $ r = 10 $.
Bangun datar segienam artinya $ n = 6 $.
a). Luas segienam beraturan:
$ \begin{align} \text{Luas Segienam } & = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} \\ & = \frac{6}{2}.10^2 \sin \frac{360^\circ}{6} \\ & = 300 \sin 60^\circ \\ & = 300 . \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = 150 \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, luas segienam tersebut merupakan $ 150\sqrt(3) \, cm^2 . \, \heartsuit $.

b). Keliling segienam beraturan,
$ \begin{align} \text{Keliling Segienam } & = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} \\ & = 6.10\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{6}} \\ & = 60\sqrt{2-2\cos 60^\circ } \\ & = 60\sqrt{2-2. \frac{1}{2} } \\ & = 60\sqrt{2-1 } \\ & = 60\sqrt{1} \\ & = 60 \end{align} $
Jadi, keliling segienam tersebut merupakan $ 60 \, cm . \, \heartsuit $.

2). Sebuah bangkit datar segi-8 beraturan terdapat keliling $ 32\sqrt{2-\sqrt{2}} \, $ cm. Tentukan
a). Panjang sisi dan jari-jarinya,
b). Tentukan luas segidelapan tersebut.

Penyelesaian :
a). Panjang sisi $(x)$ dan jari-jari $(r)$ :
*). Panjang sisi,
$ \begin{align} \text{Keliling segidelapan } & = 8x \\ 32\sqrt{2-\sqrt{2}} & = 8x \\ x & = \frac{32\sqrt{2-\sqrt{2}} }{8} = 4\sqrt{2-\sqrt{2}} \end{align} $
Sesampai lalu panjang sisinya merupakan $ 4\sqrt{2-\sqrt{2}} \, $ cm.
*). Jari-jari $(r)$ :
$ \begin{align} \text{Keliling Segidelapan } & = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} \\ 32\sqrt{2-\sqrt{2}} & = 8.r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{8}} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ 4\sqrt{2-\sqrt{2}} & = r\sqrt{2-2\cos 45^\circ} \\ 4\sqrt{2-\sqrt{2}} & = r\sqrt{2-2.\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ 4\sqrt{2-\sqrt{2}} & = r\sqrt{2-\sqrt{2}} \\ r & = 8 \end{align} $
Sesampai lalu panjang jari-jarinya $ r = 4 $.

Baca Juga:   Luas Berdiri Datar Diketahui Koordinatnya

b). Luas segidelapan beraturan :
$ \begin{align} \text{Luas Segidelapan } & = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} \\ & = \frac{8}{2}.4^2 \sin \frac{360^\circ}{8} \\ & = 64 \sin 45^\circ \\ & = 64 . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 32 \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, luas segidelapan tersebut merupakan $ 32\sqrt(2) \, cm^2 . \, \heartsuit $.

3). Luas bangkit datar segi-12 beraturan merupakan 27 cm$^2$. Tentukan :
a). Panjang jari-jari dan panjang sisi,
b). Keliling segi-12 tersebut.

Penyelesaian :
a). Panjang jari-jari dan panjang sisi,
*). Panjang jari-jari :
$ \begin{align} \text{Luas Segi-12 } & = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} \\ 27& = \frac{12}{2}.r^2 \sin \frac{360^\circ}{12} \\ 27& =6r^2 \sin 30^\circ \\ 27& = 6r^2 . \frac{1}{2} \\ 27& = 3r^2 \\ r & = 3 \end{align} $
Sesampai lalu $ r = 3 \, $ cm.
*). Panjang sisi $(x) $ segi-12 :
$ \begin{align} x & = r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} \\ & = 3\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{12}} \\ & = 3\sqrt{2-2\cos 30^\circ} \\ & = 3\sqrt{2-2.\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ & = 3\sqrt{2-\sqrt{3}} \end{align} $
Sesampai lalu panjang sisi $ x = 3\sqrt{2-\sqrt{3}} $

b). Keliling segi-12 tersebut.

Keliling $ = n.x = 12 . 3\sqrt{2-\sqrt{3}} = 36\sqrt{2-\sqrt{3}} $
Jadi, keliling segi-12 merupakan $ 36\sqrt{2-\sqrt{3}} \, cm. \, \heartsuit $.

4). Sebuah bangkit datar segienam beraturan memeiliki jari-jari $ r \, $ cm, tentukan :
a). Luas,
b). Keliling.

Penyelesaian :
*). Pada soal diketahui jari-jari $ = r $.
Bangun datar segienam artinya $ n = 6 $.
a). Luas segienam beraturan:
$ \begin{align} \text{Luas Segienam } & = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} \\ & = \frac{6}{2}.r^2 \sin \frac{360^\circ}{6} \\ & = 3r^2 \sin 60^\circ \\ & = 3r^2 . \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = \frac{3}{2}r^2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, luas segienam tersebut merupakan $ \frac{3}{2}r^2\sqrt{3} \, cm^2 . \, \heartsuit $.

b). Keliling segienam beraturan,
$ \begin{align} \text{Keliling Segienam } & = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} \\ & = 6.r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{6}} \\ & = 6r\sqrt{2-2\cos 60^\circ } \\ & = 6r\sqrt{2-2. \frac{1}{2} } \\ & = 6r\sqrt{2-1 } \\ & = 6r\sqrt{1} \\ & = 6r \end{align} $
Jadi, keliling segienam tersebut merupakan $ 6r \, cm . \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Luas Berdiri Datar Diketahui Koordinatnya

       Demikian pembahasan bahan Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan Luasan.