Luas Irisan Dua Bulat Bentuk 2

Posted on

         Pondok Soal.com – Sebelumnya kita telah mempelajari bahan “Keliling dan Luas Irisan Dua Lingkaran”, disana telah dibahas perihal luas irisan dua bundar bentuk 1. Nah, pada artikel ini kita lanjutkan pembahasan bahan Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2. Pada irisan dua bundar bentuk pertama, sentra bundar masing-masing terletak terpisah oleh garis perpotongan kedua lingkaran, lagikan irisan dua bundar bentuk 2 ini kita lihat dari letak salah satu sentra bundar pada garis yang menghubungkan titik perpotongan kedua lingkaran. Untuk lebih terangnya, kita perhatikan gambar berikut ini.

         Untuk memudahkan mempelajari bahan Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2 ini, ada sedikit bahan yang harus kita kuasai terlebih dahulu adalah diantaranya : “persamaan lingkaran“, “menentukan besarnya sudut memakai aturan kosinus“, “luas juring dan luas tembereng pada lingkaran”, “luas segitiga dengan aturan sinus“, dan “luas lingkaran”. Berikut cara menghitung luas irisan dua bundar bentuk 2 dan penurunan rumusnya.

Menentukan Rumus Luas irisan dua bundar bentuk 2
       Perhatikan gambar irisan dua bundar bentuk 2 berikut,

Dari gambar irisan di atas, kawasan irisan dua lingkarannya merupakan kawasan arsiran berwarna biru dan warna abu-abu. Untuk memudahkan perhitungan, kita bagi wilayahnya menjadi dua bab adalah kawasan I (warna biru) berbentuk setengah lingkakaran dari bundar kecil dan kawasan II (warna abu-abu) berbentuk tembereng dari bundar besar. Kita misalkan panjang jari-jari bundar kecil merupakan $ r $ dan jari-jari bundar besar merupakan $ R $.

$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua bundar bentuk 2
*). Luas kawasan I (berupa setengah bundar dari bundar kecil) :
L1 $ = \frac{1}{2} \times \pi r^2 $
*). Luas kawasan II (berupa tembereng dari bundar besar) :
Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
luas juring CAD = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . R^2 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. R^2 . \sin \angle CAD $
L2 = Luas tembereng = luas juring CAD $ – $ lusa segitiga CAD.
L2 $ = \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . R^2 – \frac{1}{2}. R^2 . \sin \angle CAD $
L2 $ = R^2 \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi – \frac{1}{2}. \sin \angle CAD \right) $
*). Luas irisannya :
Luas irisan = L1 + L2.
Luas irisan = $ \frac{1}{2} \times \pi r^2 + R^2 \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi – \frac{1}{2}. \sin \angle CAD \right) $

Baca Juga:   Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran

$ \clubsuit $ Menentukan besarnya sudut CAD :
Panjang $ CD = 2r $ , dengan hukum cosinus kita peroleh besarnya sudut CAD adalah :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 – CD^2}{2.AD.AC} = \frac{R^2 + R^2 – (2r)^2}{2.R.R} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2R^2 – 4r^2}{2R^2} = \frac{R^2 – 2r^2}{R^2} $

Langkah-langkah memilih luas irisan dua bundar bentuk 2 :
i). Menentukan gambar irisan dan jari-jari masing-masing lingkaran,
ii). Menentukan besar sudut juring bundar besar (sudut CAD),
iii). Menghitung luas arsiran dengan rumusnya.

Contoh Soal luas irisan dua bundar bentuk 2 :
1). Tentuk luas irisan dua bundar dengan persamaan bundar masing-masing $ (x – 3)^2 + ( y – 2)^2 = 4 $ dan $ (x – 1)^2 + ( y – 2)^2 = 8 $ ?

Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua bundar :

persamaan bundar dan jari-jarinya,
$ (x – 3)^2 + ( y – 2)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 $ (lingkaran kecil)
$ (x – 1)^2 + ( y – 2)^2 = 8 \rightarrow R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $ (lingkaran besar)
*). Menentukan besar sudut CAD :
$ \begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2R^2 – 4r^2}{2R^2} = \frac{R^2 – 2r^2}{R^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{(2\sqrt{2})^2 – 2.2^2}{(2\sqrt{2})^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{8 – 8}{8} \\ \cos \angle CAD & = 0 \\ \angle CAD & = arc \, \cos \, 0 \\ \angle CAD & = 90^\circ \end{align} $
*). Menentukan luas irisan :
$ \begin{align} \text{Luas irisan } & = \frac{1}{2} \times \pi r^2 + R^2 \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi – \frac{1}{2}. \sin \angle CAD \right) \\ & = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} . 2^2 + (\sqrt{8})^2 \left( \frac{90^\circ}{360^\circ} . \frac{22}{7} – \frac{1}{2}. \sin 90^\circ \right) \\ & = \frac{44}{7} + 8 \left( \frac{11}{14} – \frac{1}{2}. 1 \right) \\ & = 6,286 + 8 \left( 0,786 – 0,5 \right) \\ & = 6,286 + 8 .\left( 0,286 \right) \\ & = 6,286 + 2,288 \\ & = 8,574 \end{align} $
Jadi, luas irisan kedua bundar tersebut merupakan $ 8,574 \, $ satuan luas. $ \heartsuit $

Baca Juga:   Keliling Irisan Dua Bundar Bentuk 3

       Demikian pembahasan bahan Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2 dan contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3.