Luas Irisan Dua Bulat Bentuk 4

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari artikel “luas irisan dua bulat bentuk 1“, “luas irisan dua bulat bentuk 2“, dan “luas irisan dua bulat bentuk 3“, kini kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4. Untuk luas irisan dua bulat bentuk 4 ini terdapat ciri-ciri yakni jari-jari kedua bulat sama, tinggal yang membedakan merupakan titik sentra kedua lingkaran. Luas irisan dua bulat bentuk 4 kita bagi menjadi dua yakni pertama titik sentra bulat berbeda dan kedua titik sentra bulat sama. Perhatika gambarnya berikut ini untuk lebih terangnya.

         Untuk memudahkan mempelajari bahan Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4 ini, ada sedikit bahan yang harus kita kuasai terlebih dahulu yakni diantaranya : “persamaan lingkaran“, “menentukan besarnya sudut memakai aturan kosinus“, “luas juring dan luas tembereng”, “luas segitiga dengan hukum sinus“, dan “jarak antara dua titik”. Berikut cara menghitung luas irisan dua bulat bentuk 4 dan penurunan rumusnya.

Menentukan Rumus Luas irisan dua bulat bentuk 4
$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua bulat bentuk 4 Bagian Pertama
       Perhatikan gambar irisan dua bulat bentuk 4 bab pertama berikut,

Dari gambar irisan di atas, tempat irisan dua lingkarannya merupakan tempat arsiran berwarna biru dan abu-abu dimana luas keduanya sama besar sesampai lalu untuk menghitung luas irisannya cukup menghitung salah satu dan kita kalikan dua. Misalkan besarnya jari-jari bulat merupakan $ r $.

*). Luas tempat yang kita hitung merupakan luas tembereng warna abu-abu
Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
luas juring CAD = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r^2 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. r^2. \sin \angle CAD $
Luas tembereng = luas juring CAD $ – $ lusa segitiga CAD.
Luas tembereng $ = \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r^2 – \frac{1}{2}. r^2 . \sin \angle CAD $
*). Luas irisannya :
$ \begin{align} \text{Luas irisan } & = 2 \times \text{ Luas Tembereng} \\ & = 2 \times \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r^2 – \frac{1}{2}. r^2 . \sin \angle CAD \right) \\ & = 2 \times \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r^2 – 2 \times \frac{1}{2}. r^2 . \sin \angle CAD \\ & = \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi . r^2 – r^2 . \sin \angle CAD \\ & = r^2 \left( \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi – \sin \angle CAD \right) \end{align} $
$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk memilih besarnya sudut masing-masing busur, kita memakai hukum kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada bulat A, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 – CD^2}{2.AD.AC} = \frac{r^2 + r^2 – CD^2}{2.r.r} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2.r^2 – CD^2}{2.r^2} $

Baca Juga:   Rangkuman Rumus Keliling Irisan Dua Lingkaran

$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum memilih jarak atau panjang CD, kita harus memilih titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk memilih panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD merupakan
$ CD = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $

$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua bulat bentuk 4 Bagian Kedua
       Perhatikan gambar berikut ini,

Kedua bulat terdapat titik sentra dan jari-jari yang sama sesampai lalu tempat irisannya merupakan bulat itu sendiri. Ini artinya luas tempat irisannya merupakan :
Luas irisan $ = \pi r^2 $

Contoh Soal luas irisan dua bulat bentuk 4 :
1). Tentuk luas irisan dua bulat dengan persamaan bulat masing-masing $ (x – 1)^2 + ( y – 1)^2 = 4 $ dan $ x^2 + ( y – 1)^2 = 4 $ ?

Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua bulat :

persamaan lingkaran, titik pusat, dan jari-jarinya,
$ (x – 1)^2 + ( y – 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 \, $, pusat(1,1)
$ x^2 + ( y – 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 \, $, pusat(0,1)
Titik sentra kedua bulat berbeda dan jari-jari sama, sesampai lalu ini merupakan bentuk 4 bab pertama.
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
$ L_1 : \, (x – 1)^2 + ( y – 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 – 2x – 2y = 2 $
$ L_2 : \, x^2 + ( y – 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 – 2y = 3 $
Eliminasi kedua persamaan bulat :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 – 2x – 2y = 2 & \\ x^2 + y^2 – 2y = 3 & – \\ \hline -2x = -1 & \\ x = 0,5 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 0,5 \, $ ke persamaan bulat 2.
$\begin{align} x = 0,5 \rightarrow x^2 + ( y – 1)^2 & = 4 \\ (0,5)^2 + ( y – 1)^2 & = 4 \\ 0,25 + ( y – 1)^2 & = 4 \\ ( y – 1)^2 & = 3,75 \\ ( y – 1) & = \pm \sqrt{3,75} \\ y & = 1 \pm \sqrt{3,75} \\ y = 1 + \sqrt{3,75} \vee y & = 1 – \sqrt{3,75} \end{align} $
Sesampai lalu titik potong kedua lingkaran: C($0,5;1 + \sqrt{3,75}$ ) dan D($0,5;1 – \sqrt{3,75}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(0,5-0,5 )^2 + [(1 + \sqrt{3,75}) – (1 – \sqrt{3,75}) ]^2 } = 2\sqrt{3,75} $
*). Menentukan besar sudut CAD (segitiga besar) :
$ \begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2r^2 – CD^2}{2r^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{2.(2)^2 – (2\sqrt{3,75})^2}{2.(2)^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{8 – 15}{8} \\ \cos \angle CAD & = \frac{-7}{14} \\ \cos \angle CAD & = \frac{-1}{2} \\ \angle CAD & = arc \, \cos \frac{-1}{2} \\ \angle CAD & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan luas irisan :
$ \begin{align} \text{Luas irisan} & = r^2 \left( \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi – \sin \angle CAD \right) \\ & = 2^2 \left( \frac{120^\circ}{180^\circ} . \pi – \sin 120^\circ \right) \\ & = 4 \left( \frac{2}{3} . (3,14) – 0,867 \right) \\ & = 4 \left( 2,093 – 0,867 \right) \\ & = 4 . \left( 1,226 \right) \\ & = 4,904 \end{align} $
Jadi, luas irisan kedua bulat tersebut merupakan $ 4,904 \, $ satuan luas. $ \heartsuit $

Baca Juga:   Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran

2). Tentuk luas irisan dua bulat dengan persamaan bulat masing-masing $ (x – 3)^2 + ( y + 1)^2 = 9 $ dan $ x^2 + y^2 – 6x + 2y + 1 = 0 $ ?

Penyelesaian :
persamaan lingkaran, titik pusat, dan jari-jarinya,
$ (x – 3)^2 + ( y + 1)^2 = 9 \rightarrow r = \sqrt{9} = 3 \, $, pusat(3,-1)
$ x^2 + y^2 – 6x + 2y + 1 = 0 \rightarrow A = -6 , \, B = 2, \ , C = 1 $,
Pusat : $(a,b)=(-\frac{A}{2}, – \frac{B}{2}) = (3,-1) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 – C} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 – 1} = \sqrt{9} = 3 $
Karena titik sentra dan jari-jari kedua bulat sama, maka tempat irisannya merupakan bentuk 4 bab kedua.
*). Menentukan luas irisannya :
Luas irisan $ = \pi r^2 = (3,14) . 2^2 = 12,56 $
Jadi, luas irisan kedua bulat tersebut merupakan $ 12,56 \, $ satuan luas. $ \heartsuit $

       Demikian pembahasan bahan Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4 dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan Rangkuman Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran.