Luas Irisan Dua Bulat Tanpa Menggambar

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari “luas irisan dua lingkaran” yang terdiri dari bermacam bentuk (teman-teman sanggup baca artikel “rangkuman rumus luas irisan dua lingkaran“), hampir setiap pengerjaan soalnya membutuhkan bagan gambar irisan kedua bundar yang tujuannya untuk mengetahui bentuk mana yang dimaksud sesampai lalu rumus yang kita gunakan juga sempurna dalam menghitung luas irisannya. Nah, pada artikel ini kita akan membahas bahan Luas Irisan Dua Lingkaran Tanpa Menggambar yang tentunya akan sangat membantu kita dalam mengerjakan soal-soalnya dan akan lebih efisien dari segi waktu pengerjaan.

         Secara garis besar, bentuk irisan dua bundar dibagi menjadi dua yaitu dua bundar yang jari-jarinya berbeda dan kedua bundar yang jari-jarinya sama. Untuk irisan dua bundar yang jari-jarinya sama bergotong-royong tak perlu digambar alasannya ialah kita tinggal memperhatikan titik pusant kedua lingkaran, apakah berbeda atau sama, dan sesudah itu eksklusif kita sanggup memakai rumus yang tepat. Yang jadi duduk perkara merupakan untuk irisan dengan jari-jari kedua bundar berbeda yang bentuk irisannya ada tiga jenis. Poin inilah yang akan kita bahas dalam artikel Luas Irisan Dua Lingkaran Tanpa Menggambar.

Lanagkah-langkah Menentuka bentuk irisan dua bundar tanpa menggambar
       Untuk irisan dua bundar yang jari-jarinya berbeda, dalam memilih bentuk irisannya kita tak perlu menggambar. Berikut langkah-langkahnya :
i). Menentukan titik Pusat dan jari-jari kedua lingkaran,
ii). Menentukan persamaan garis perpotongan kedua bundar (berbentuk $ax+by+c=0$) dengan cara eliminasi kedua persamaan lingkarannya,
iii). Substitusi kedua titik sentra ke persamaan garis perpotongan lingkaran, sesampai lalu diperoleh tiga kecukupan yaitu :
Pusat bundar 1 $(x_1,y_1) \rightarrow K_1 = ax_1 + by_1 + c $
Pusat bundar 2 $(x_2,y_2) \rightarrow K_2 = ax_2 + by_2 + c $
Kita anggap bundar 1 sebagai bundar kecil.
1). Bentuk 1 apabila $ K_1 < 0 \, $ dan $ K_2 > 0 \, $ atau $ K_1 > 0 \, $ dan $ K_2<0 br=""> 2). Bentuk 2 apabila $ K_1 = 0 \, $ dan $ K_2 > 0 \, $ atau $ K_1 = 0 \, $ dan $ K_2<0 br=""> 3). Bentuk 3 apabila $ K_1 < 0 \, $ dan $ K_2 < 0 \, $ atau $ K_1 > 0 \, $ dan $ K_2<0 br="">
       Jika jari-jari kedua bundar sama, maka eksklusif kita arahkan luas irisan dua bundar bentuk 4 yang juga tak harus digambar kawasan irisannya alasannya ialah hanya dibedakan oleh dua jenis yaitu :
i). Pusat kedua bundar berbeda,
ii). Pusat kedua bundar sama.

Contoh soal Menentukan Luas irisan dua bundar tanpa menggambar.

Baca Juga:   Garis Singgung Komplotan Lingkaran

1). Tentukan bentuk irisan dari masing-masing soal berikut ini sesampai lalu sanggup memakai rumus luas irisan dua bundar dengan tepat:
a). Persamaan bundar $ x^2 + y^2 = 4 \, $ dan $ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 5 $
b). Persamaan bundar $ (x-1)^2 + y^2 = 4 \, $ dan $ (x+1)^2 + y^2 = 8 $
c). Persamaan bundar $ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 \, $ dan $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 7 $

Penyelesaian :
a). Persamaan bundar $ x^2 + y^2 = 4 \, $ dan $ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 5 $
*). Menentukan titik sentra kedua bundar dan jari-jari:
$ x^2 + y^2 = 4 \rightarrow r =2 , \, P(0,0) $ (lingkaran kecil)
$ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 5 \rightarrow R = \sqrt{5} , \, P(1,1) $ (lingkaran besar)
*). Menentukan persamaan garis perpotongan kedua bundar :
persamaan bundar 2 :
$ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 5 \rightarrow x^2 + y^2 – 2x – 2y -3 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan bundar :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 – 4 = 0 & \\ x^2 + y^2 – 2x – 2y -3 = 0 & – \\ \hline 2x + 2y – 1 = 0 & \end{array} $
sesampai lalu persamaan garis perpotongannya merupakan $ 2x + 2y – 1 = 0 $
artinya $ K = 2x + 2y – 1 $
*). Substitusi titik sentra ke persamaan garis perpotongan kedua bundar :
$ P(0,0) \rightarrow K_1 = 2.0 + 2.0 – 1 = -1 < 0 $
$ P(1,1) \rightarrow K_2 = 2.1 + 2.1 – 1 = 3 > 0 $
Karena kita peroleh nilai $ K_1 < 0 \, $ dan $ K_2 > 0 $ , sesampai lalu untuk soal bab (a) ini irisan kedua lingkarannya merupakan bentuk 1, sesampai lalu rumus luas irisan yang dipakai :
Luas $ = [\frac{\angle CAD}{360^\circ} \pi r_1^2 – \frac{1}{2} r_1^2 \sin \angle CAD ] + [\frac{\angle CBD}{360^\circ} \pi r_2^2 – \frac{1}{2} r_2^2 \sin \angle CBD] $

b). Persamaan bundar $ (x-1)^2 + y^2 = 4 \, $ dan $ (x+1)^2 + y^2 = 8 $
*). Menentukan titik sentra kedua bundar dan jari-jari:
$ (x-1)^2 + y^2 = 4 \rightarrow r =2 , \, P(1,0) $ (lingkaran kecil)
$ (x+1)^2 + y^2 = 8 \rightarrow R = 2\sqrt{2} , \, P(-1,0) $ (lingkaran besar)
*). Menentukan persamaan garis perpotongan kedua bundar :
persamaan bundar :
$ (x-1)^2 + y^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 – 2x -3 = 0 $
$ (x+1)^2 + y^2 = 8 \rightarrow x^2 + y^2 + 2x – 7 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan bundar :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 – 2x -3 = 0 & \\ x^2 + y^2 + 2x – 7 = 0 & – \\ \hline -4x + 4 = 0 & \end{array} $
sesampai lalu persamaan garis perpotongannya merupakan $ -4x + 4 = 0 $
artinya $ K = -4x + 4 $
*). Substitusi titik sentra ke persamaan garis perpotongan kedua bundar :
$ P(1,0) \rightarrow K_1 = -4 . 1 + 4 = 0 $
$ P(-1,0) \rightarrow K_2 = -4.(-1) + 4 = 8 > 0 $
Karena kita peroleh nilai $ K_1 = 0 \, $ dan $ K_2 > 0 $ , sesampai lalu untuk soal bab (b) ini irisan kedua lingkarannya merupakan bentuk 2, sesampai lalu rumus luas irisan yang dipakai :
Luas $ = \frac{1}{2} \times \pi r^2 + R^2 \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi – \frac{1}{2}. \sin \angle CAD \right) $

Baca Juga:   Luas Irisan Dua Bundar Bentuk 3

c). Persamaan bundar $ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 \, $ dan $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 7 $
*). Menentukan titik sentra kedua bundar dan jari-jari:
$ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 \rightarrow r = 2 , \, P(2,1) $ (lingkaran kecil)
$ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 7 \rightarrow R = \sqrt{7} , \, P(1,2) $ (lingkaran besar)
*). Menentukan persamaan garis perpotongan kedua bundar :
persamaan bundar :
$ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 – 4x – 2y + 1 = 0 $
$ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 7 \rightarrow x^2 + y^2 – 2x – 4y – 2 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan bundar :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 – 4x – 2y + 1 = 0 & \\ x^2 + y^2 – 2x – 4y – 2 = 0 & – \\ \hline -2x + 2y + 3 = 0 & \end{array} $
sesampai lalu persamaan garis perpotongannya merupakan $ -2x + 2y + 3 = 0 $
artinya $ K = -2x + 2y + 3 $
*). Substitusi titik sentra ke persamaan garis perpotongan kedua bundar :
$ P(2,1) \rightarrow K_1 = -2.2 + 2.1 + 3 = 1 > 0 $
$ P(1,2) \rightarrow K_2 = -2.1 + 2.2 + 3 = 5 > 0 $
Karena kita peroleh nilai $ K_1 > 0 \, $ dan $ K_2 > 0 $ , sesampai lalu untuk soal bab (c) ini irisan kedua lingkarannya merupakan bentuk 3, sesampai lalu rumus luas irisan yang dipakai :
Luas $ = r^2 \left( \frac{360^\circ – x}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} \sin x \right)+ R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi – \frac{1}{2}. \sin y \right) $

       Demikian pembahasan bahan Luas Irisan Dua Lingkaran Tanpa Menggambar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan irisan bundar yaitu keliling irisan dua bundar bentuk 2.