Luas Irisan Dua Bundar Bentuk 3

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari artikel “luas irisan dua bundar bentuk 1” dan “luas irisan dua bundar bentuk 2“, kini kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3. Untuk luas irisan dua lingkaran bentuk 3 ini, letak titik sentra kedua bundar ada di sebelah kiri atau disebelah kanan garis perpotongan kedua lingkaran. untuk lebih terangnya, silahkan kita lihat gambar irisan dua bundar bentuk 3 beriku ini.

         Untuk memudahkan mempelajari bahan Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3 ini, ada sedikit bahan yang harus kita kuasai terlebih dahulu yakni diantaranya : “persamaan lingkaran“, “menentukan besarnya sudut memakai aturan kosinus“, “luas juring dan luas tembereng“, “luas segitiga dengan aturan sinus“, dan “jarak antara dua titik“. Berikut cara menghitung luas irisan dua bundar bentuk 3 dan penurunan rumusnya.

Menentukan Rumus Luas irisan dua bundar bentuk 3
       Perhatikan gambar irisan dua bundar bentuk 3 berikut,

Dari gambar irisan di atas, kawasan irisan dua lingkarannya merupakan kawasan arsiran berwarna biru, abu-abu dan kuning digabungkan. Untuk memudahkan perhitungan, kita bagi wilayahnya menjadi bab kepingan yakni kawasan I (warna biru) berbentuk juring lingkakaran dari bundar kecil, kawasan II (warna abu-abu) berbentuk segitiga bundar kecil, dan kawasan III (warna kuning) berbentuk tembereng dari bundar besar. Kita misalkan panjang jari-jari bundar kecil merupakan $ r $ dan jari-jari bundar besar merupakan $ R $ serta besar $ \angle CBD = x \, $ (lingkaran kecil) dan besar $ \angle CAD = y $ (lingkaran besar).

$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua bundar bentuk 3
*). Luas kawasan I (berupa juring bundar dari bundar kecil) :
Karena besar $ \angle CBD = x \, $ , maka sudut juringnya (warna biru) merupakan $ 360^\circ – x $
L1 $ = \frac{360^\circ – x}{360^\circ} \times \pi r^2 $
*). Luas kawasan II (berupa segitiga CBD pada bundar kecil) :
L2 $ = \frac{1}{2}.BC.BD.\sin \angle CBD = \frac{1}{2}r^2 \sin x $
*). Luas kawasan III (berupa tembereng dari segitiga besar) :
Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
luas juring CAD = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . R^2 = \frac{y}{360^\circ} . \pi . R^2$
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. R^2 . \sin y $
L3 = Luas tembereng = luas juring CAD $ – $ lusa segitiga CAD.
L3 $ = \frac{y}{360^\circ} . \pi . R^2 – \frac{1}{2}. R^2 . \sin y $
L3 $ = R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi – \frac{1}{2}. \sin y \right) $
*). Luas irisannya :
Luas irisan = L1 + L2 + L3.
Luas irisan = $ \frac{360^\circ – x}{360^\circ} \times \pi r^2 + \frac{1}{2}r^2 \sin x + R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi – \frac{1}{2}. \sin y \right) $
Luas irisan = $ r^2 \left( \frac{360^\circ – x}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} \sin x \right)+ R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi – \frac{1}{2}. \sin y \right) $

Baca Juga:   Rangkuman Rumus Keliling Irisan Dua Lingkaran

$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk memilih besarnya sudut masing-masing busur, kita memakai hukum kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada bundar besar, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 – CD^2}{2.AD.AC} = \frac{R^2 + R^2 – CD^2}{2.R.R} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2R^2 – CD^2}{2R^2} $

$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum memilih jarak atau panjang CD, kita harus memilih titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk memilih panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD merupakan
$ CD = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $

Langkah-langkah memilih luas irisan dua bundar bentuk 3 :
i). Menentukan gambar irisan dan jari-jari masing-masing lingkaran,
ii). Menentukan titik potong kedua bundar dan jaraknya (panjang CD),
iii). Menentukan besar sudut CAD juring bundar besar dan sudut CBD juring bundar kecil,
iv). Menghitung luas arsiran dengan rumusnya.

Contoh Soal luas irisan dua bundar bentuk 3 :
1). Tentuk luas irisan dua bundar dengan persamaan bundar masing-masing $ (x – 2)^2 + ( y – 1)^2 = 4 $ dan $ (x – 1)^2 + ( y – 1)^2 = 7 $ ?

Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua bundar :

 persamaan bundar dan jari-jarinya,
$ (x – 2)^2 + ( y – 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 $ (lingkaran kecil)
$ (x – 1)^2 + ( y – 1)^2 = 7 \rightarrow R = \sqrt{7} $ (lingkaran besar)
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
$ L_1 : \, (x – 2)^2 + ( y – 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 – 4x – 2y + 1 = 0 $
$ L_2 : \, (x – 1)^2 + ( y – 1)^2 = 7 \rightarrow x^2 + y^2 – 2x – 2y -5 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan bundar :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 – 4x – 2y + 1 = 0 & \\ x^2 + y^2 – 2x – 2y -5 = 0 & – \\ \hline -2x + 6 = 0 & \\ x = 3 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 3 \, $ ke persamaan bundar 1.
$\begin{align} x = 3 \rightarrow (x – 2)^2 + ( y – 1)^2 & = 4 \\ (3 – 2)^2 + ( y – 1)^2 & = 4 \\ 1 + ( y – 1)^2 & = 4 \\ ( y – 1)^2 & = 3 \\ ( y – 1) & = \pm \sqrt{3} \\ y & = 1 \pm \sqrt{3} \\ y = 1 + \sqrt{3} \vee y & = 1 – \sqrt{3} \end{align} $
Sesampai lalu titik potong kedua lingkaran: C($3,1 + \sqrt{3}$ ) dan D($3,1 – \sqrt{3}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(3-3 )^2 + [(1 + \sqrt{3}) – (1 – \sqrt{3}) ]^2 } = 2\sqrt{3} $
*). Menentukan besar sudut CAD (segitiga besar) :
$ \begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2R^2 – CD^2}{2R^2} \\ \cos y & = \frac{2(\sqrt{7})^2 – (2\sqrt{3})^2}{2(\sqrt{7})^2} \\ \cos y & = \frac{14 – 12}{14} \\ \cos y & = \frac{2}{14} \\ \cos y & = \frac{1}{7} \\ y & = arc \, \cos \frac{1}{7} \\ y & = 81,787^\circ \end{align} $
*). Menentukan besar sudut CBD (segitiga kecil) :
$ \begin{align} \cos \angle CBD & = \frac{2r^2 – CD^2}{2r^2} \\ \cos x & = \frac{2(2)^2 – (2\sqrt{3})^2}{2(2)^2} \\ \cos x & = \frac{8 – 12}{8} \\ \cos x & = \frac{-4}{8} \\ \cos x & = -\frac{1}{2} \\ x & = arc \, \cos -\frac{1}{2} \\ x & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan luas irisan :
$ \begin{align} \text{Luas } & = r^2 \left( \frac{360^\circ – x}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} \sin x \right)+ R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi – \frac{1}{2}. \sin y \right) \\ & = 2^2 \left( \frac{360^\circ – 120^\circ}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} \sin 120^\circ \right)+ (\sqrt{7})^2 \left( \frac{81,787^\circ}{360^\circ} . \pi – \frac{1}{2}. \sin 81,787^\circ \right) \\ & = 4 \left( \frac{240^\circ}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} . 0,866 \right)+ 7 \left( 0,244 . \pi – \frac{1}{2}. 0,989 \right) \\ & = 4 \left( 0,667 . \pi + 0,433 \right)+ 7 \left( 0,244 . \pi – 0,495 \right) \\ & = 4 \left( 0,667 . (3,14) + 0,433 \right)+ 7 \left( 0,244 . (3,14) – 0,495 \right) \\ & = 4 \left( 2,094 + 0,433 \right)+ 7 \left( 0,766 – 0,495 \right) \\ & = 4 \left( 2,527 \right)+ 7 \left( 0,271 \right) \\ & = 10,108 + 1,897 \\ & = 12,005 \end{align} $
Jadi, luas irisan kedua bundar tersebut merupakan $ 12,005 \, $ satuan luas. $ \heartsuit $

Baca Juga:   Luas Irisan Dua Bulat Bentuk 4

       Demikian pembahasan bahan Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3 dan contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4.