Luas Segi Empat Tali Busur

Posted on

         Pondok Soal.com – Salah satu penerapan trigonometri merupakan untuk memilih luas segi empat tali busur yang akan dibahas pada artikel kali ini. Untuk memudahkan dalam mempelajarinya, sebaiknya kita baca dahulu bahan “Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga“, “Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi“, dan “Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku“.

Rumus Luas Segi Empat Tali Busur
       Bangun segi empat tali busur merupakan sebuah bangkit datar yang terdapat empat sisi dimana keempat sisinya ada pada sebuah lingkaran. Jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada segi empat tali busur merupakan $ 180^\circ $ . Untuk lebih terang, perhatikan segi empat tali busur ABCD berikut.

Luas segi empat tali busur ABCD merupakan :
   $ \begin{align} L = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $
dengan $ s = \frac{a+b+c+d}{2} $

Pembuktian Rumus luas segi empat tali busurnya :
Misalkan panjang $ AB = a, \, BC = b, \, CD = c, \, AD = a $
*). Perhatikan sudut B dan D, jumlahnya $ 180^\circ $
$ B + D = 180^\circ \rightarrow D = 180^\circ – B $
Sesampai lalu dengan sudut-sudut berelasi diperoleh :
$ \cos D = \cos (180^\circ – B) \rightarrow \cos D = – \cos B $
$ \sin D = \sin (180^\circ – B) \rightarrow \sin D = \sin B $
*). Aturan cosinus untuk memilih panjang AC
Segitiga BAC, $ AC^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos B $
Segitiga DAC, $ AC^2 = c^2 + d^2 – 2cd \cos D \rightarrow AC^2 = c^2 + d^2 – 2cd (-\cos B) $
*). Panjang AC sama dari kedua segitiga BAC dan DAC
$ \begin{align} AC^2 & = AC^2 \\ a^2 + b^2 – 2ab \cos B & = c^2 + d^2 – 2cd (-\cos B) \\ a^2 + b^2 – 2ab \cos B & = c^2 + d^2 + 2cd \cos B \\ \cos B & = \frac{a^2 +b^2 – c^2 – d^2}{2(ab+cd)} \end{align} $
*). Bentuk pemfaktoran : $ X^2 – Y^2 = (X+Y)(X-Y) $
*). Identitas trigonometri : $ \sin ^2 B + \cos ^2 B = 1 $
Misalkan $ s = \frac{a+b+c+d}{2} $
$ \begin{align} \sin ^2 B & = 1 – \cos ^2 B \\ \sin ^2 B & = (1 + \cos B )(1 – \cos B ) \\ & = \left(1 + \frac{a^2 +b^2 – c^2 – d^2}{2(ab+cd)} \right)\left(1 – \frac{a^2 +b^2 – c^2 – d^2}{2(ab+cd)} \right) \\ & = \frac{a^2 + b^2 + 2ab – (c^2 + d^2 – 2cd)}{2(ab+cd)} . \frac{c^2 + d^2 + 2cd – (a^2 + b^2 – 2ab)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{[(a+b)^2 – (c-d)^2]}{2(ab+cd)} . \frac{[(c+d)^2 – (a-b)^2]}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{(a+b+c-d)(a+b-c+d)}{2(ab+cd)} . \frac{(c+d+a-b)(c+d-a+b)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{4(s-d)(s-c)}{2(ab+cd)} . \frac{4(s-b)(s-a)}{2(ab+cd)} \\ \sin ^2 B & = \frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} \\ \sin B & = \sqrt{\frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} } \\ \sin B & = \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga :
$ \text{Luas BAC } = \frac{1}{2}ab\sin B $
$ \text{Luas DAC } = \frac{1}{2}cd\sin D = \frac{1}{2}cd\sin B $
*). Menentukan luas segi empat tali busur ABCD :
$ \begin{align} \text{Luas ABCD } & = \text{Luas BAC } + \text{Luas DAC } \\ & = \frac{1}{2}ab\sin B + \frac{1}{2}cd\sin B \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd)\sin B \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd). \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $
Jadi, terbukti luas segi empat tali busurnya.

Baca Juga:   Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku

Contoh :
Perhatikan gambar berikut. Titik A, B, C, dan D ada pada bulat L dengan panjang AB = 1, BC = 2, CD = 3 dan AD = 4.

Tentukan luas segi empat ABCD tersebut?
Penyelesaian :
Misalkan $ a = 1, \, b = 2, \, c = 3, \, d = 4 $
*). Menentukan nilai $ s $
$ s = \frac{a+b+c+d}{2} = \frac{1+2+3+4}{2} = 5 $
*). Menentukan luas segi empat tali busur ABCD :
$ \begin{align} L & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} \\ & = \sqrt{4.3.2.1} \\ & = 2\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, luas segi empat tali busurnya merupakan $ 2 \sqrt{6} $ .