Luas Segitiga Jikalau Ketiga Sisinya Diketahui

Posted on

Jika panjang ketiga sisi pada segitiga siku-siku diketahui, maka luas segitiga siku-siku tersebut sanggup dihitung dengan gampang memakai rumus luas segitiga menurut panjang alasa dan tingginya. Lalu bagaimana dengan segitiga sebarang yang tak diketahui tingginya? Untuk segitiga sebarang, apabila panjang ketiga sisinya diketahui, maka luas segitiga tersebut sanggup dihitung dengan rumus yang diturunkan memakai konsep trigonometri. Konsep trigonometri yang dipakai untuk menurunkan rumus tersebut merupakan identitas trigonometri dan hukum cosinus. Pada hari ini ini, Bahan mencar ilmu sekolah hanya akan membahas rumus untuk memilih luas segitiga apabila panjang ketiga sisinya diketahui, namun tak membahas penurunan atau pembuktian rumusnya. Penurunan rumus hanya dibahas sercara ringkas.

Rumus Keliling Segitiga

Setelah diturunkan menurut konsep identitas trigonometri dan hukum kosinus, ternyata rumus luas segitiga yang panjang ketiga sisinya diketahui berafiliasi dengan rumus keliling segitiga. Sebagaimana yang kita tahu, keliling segitiga sama dengan jumlah dari panjang ketiga sisinya.

Misal diberi segitiga ABC dengan sudut A, B, dan C. Jika a, b, dan c merupakan sisi-sisi pada segitiga tersebut yang berada di hadapan sudut A, B, dan C, maka keliling segitiga sanggup dihitung dengan rumus :

K = a + b + c

Dengan :
K = keliling segitiga
a = panjang sisi BC
b = panjang sisi AC
c = panjang sisi AB

Rumus untuk menentuan luas segitiga yang panjang ketiga sisinya dihubungkan dengan besaran setengah keliling segitiga yang disimbolkan dengan aksara s sebagai berikut:

s = ½ K = ½ (a + b + c)

Dengan :
s = setengah keliling segitiga
K = keliling segitiga

Baca juga : Luas Segitiga Jika Diketahui Dua Sudut Satu Sisi.

Luas Segitiga Jika Ketiga Sisi Diketahui

Misal diberi segitiga sembarang ABC dengan sudut A, B, dan C. Jika panjang sisi a, panjang sisi b, dan panjang sisi c diketahui, maka luas segitiga tersebut sanggup dihitung dengan rumus yang diperoleh dari rumus yang dibahas sebelumnya.

Jika panjang ketiga sisi pada segitiga siku LUAS SEGITIGA JIKA KETIGA SISINYA DIKETAHUI

Sebelumnya telah dibahas rumus memilih luas segitiga apabila diketahui dua sisi dan satu sudut. Jika pada segitiga ABC diketahui panjang sisi b, besar sudut A, dan panjang sisi c (b-A-c), maka luas segitiga dihitung dengan rumus berikut :
⇒ L = ½ bc sin A ….(1)

Selanjutnya, nilai sin A diperoleh menurut identitas trigonometri:
⇒ sin2 A + cos2 A = 1
⇒ sin2 A = 1 – cos2 A
⇒ sin2 A = (1 + cos A)(1 – cos A) ……(2)

Selanjutnya kembali ingat hukum cosinus, sebagai berikut:

Baca Juga:   Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear
⇒ cos A = b2 + c2 – a2
2bc

Selanjutnya substitusi cos A dari hukum cosinus ke persamaan (2) sesampai lalu dihasilkan persamaan (3) sebagai berikut :
⇒ sin2 A = (1 + cos A)(1 – cos A)
⇒ sin2 A = (1 + (b2 + c2 – a2)/2bc)(1 – (b2 + c2 – a2)/2bc)

⇒ sin2 A = (a + b + c)(b + c – a)(a + b – c)(a – b + c)
(2bc)2
⇒ sin A = 1  √(a + b + c)(b + c – a)(a + b – c)(a – b + c)
2bc

Perhatikan pada persamaan di atas, a + b + c merupakan keliling segitiga. Jika dihubungkan dengan setengah keliling segitiga (s), maka berlaku :
⇒ s = ½(a + b + c)
⇒ 2s = (a + b + c)
⇒ (a + b + c) = 2s …… (4)

Berdasarkan persamaan (4), maka persamaan (3) sanggup diubah menjadi:

⇒ sin A = 1  √2s . 2(s – a) . 2(s – c) . 2(s – b)
2bc
⇒ sin A = 1  √16 s(s – a)(s – c)(s – b)
2bc
⇒ sin A = 4  √s(s – a)(s – c)(s – b)
2bc

⇒ sin A = 2/bc √s(s – a)(s – b)(s – c)

Selanjutnya, substitusi sin A di atas ke persamaan (1) :
⇒ L = ½ bc sin A
⇒ L = ½ bc {2/bc √s(s – a)(s – b)(s – c)}
⇒ L = √s(s – a)(s – b)(s – c)

Jadi, luas segitiga sembarang yang panjang ketiga sisinya diketahui sanggup dihitung dengan rumus berikut:

L = √s(s – a)(s – b)(s – c)

Dengan :
L = luas segitiga
s = setengah keliling segitiga = ½(a + b + c)
a = panjang sisi a
b = panjang sisi b
c = panjang sisi c

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 6 cm, panjang sisi b = 4 cm, dan panjang sisi c = 8 cm. Hitunglah luas segitiga tersebut!

Pembahasan :
Dik : a = 6 cm, b = 4 cm, c = 8 cm
Dit : L = …. ?

Pertama kita hitung dahulu setengah keliling segitiganya :
⇒ s = ½ (a + b + c)
⇒ s = ½ (6 + 4 + 8)
⇒ s = ½ (18)
⇒ s = 9 cm

Baca Juga:   Menentukan Besar Sudut Segitiga Dengan Hukum Sinus

Berdasarkan rumus luas di atas :
⇒ L = √s(s – a)(s – b)(s – c)
⇒ L = √9 (9 – 6)(9 – 4)(9 – 8)
⇒ L = √9 (3)(5)(1)
⇒ L = √9 (3)(5)(1)
⇒ L = √135
⇒ L = 11,6 cm2

Jadi, luas segitiga tersebut merupakan 11,6 cm2.

Baca juga : Luas Segitiga Jika Diketahui Dua Sisi dan Satu Sudut.