Matriks Transformasi Geometri

Posted on

         Pondok Soal.com – Sebenarnya materi transformasi geometri itu apakah sulit bagi teman-teman? Tentu ada sebagian siswa/siswi akan menjawab ya, dan sebagian lagi menjawab tak. Khusus untuk transformasi geometri tingkat SMA, kita lebih ditekankan pada perhitungan secara aljabarnya, artinya kita tak terlalu dibebankan pada bentuk geometri baik bentuk awal ataupun bentuk sehabis terjadi perubahan (kita sebut bayangannya). Nah, maka dari itu kita harus konsentrasi pada perhitungan secara aljabarnya.

         Pada proses transformasi dari semua jenis transformasi geometri (translasi, rotasi, dilatasi, dan refleksi), masing-masing melibatkan bentuk matriks dalam proses penghitungannya yang biasanya melibatkan dua operasi yaitu penjumlahan untuk translasi dan persobat semua untuk jenis transformasi lainnya. Bagaimana cara penghitungannya? Inilah yang akan kita bahas dalam artikel ini yaitu matriks transformasi geometri secara umum.

         Setiap jenis transformasi geometri terdapat matriks transformasi geometri tersendiri yang tentu akan kita bahas secara spesifik lagi pada pembahasan jenis transformasi masing-masing. Pada artikel ini kita hanya mengumpamakan ada suatu matriks transformasi geometri yang mentransformasi suatu titik, atau fungsi suatu kurva, atau suatu berdiri datar, atau sejenisnya, sesampai kemudian kita peroleh bayangannya. Secara Garis Besar, Ordo matriks transformasi geometri merupakan berordo $ 2 \times 2 $, kecuali translasi (pergeseran) yang matriks transformasinya berordo $ 2 \times 1 $ . Namun, yang kita bahas khusus matriks transformasi berordo $ 2 \times 2 $ saja.

Penghitungan Menggunakan Matriks Transformasi Geometri
       Misalkan terdapat suatu matriks transformasi yang dipakai untuk mentransformasikan suatu titik, fungsi suatu kurva, dan bidang, sesampai kemudian diperoleh bayangannya, dimana matriks tersebut disaapabilan dalam bentuk $ M = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $, Penulisan dan penghitungan transformasinya sanggup kita tuliskan :

*). Penulisan :
$ \text{awal} \overset{\text{matriks} }{\Huge \longrightarrow} \text{bayangannya} \, $
atau dalam bentuk koordinat kartesiusnya :
$ A(x,y) \overset{\text{M} }{ \longrightarrow} A^\prime (x^\prime, y^\prime ) $

*). Rumus Umum Penghitungannya :
$ \text{bayangan} = M \times \text{ awalnya} \, $ atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

Keterangan :
$ A(x,y) \, $ : merupakan titik awal,
$ A^\prime (x^\prime, y^\prime ) \, $ : merupakan bayangannya.

Catatan :
*). Sebaiknya teman-teman menguasai operasi hitung pada matriks, silahkan baca : “operasi hitung pada matriks“.
*). Dari rumus umum di atas, kita hanya perlu menghafal atau mengingat matriks transformasi dari masing-masing jenis transformasi, sehabis itu tinggal mengalikan ke titik awalnya sesampai kemudian diperoleh bayangannya.
*). Penekanan pada pembahasan artikel ini merupakan pada penggunaan matriks transformasi geometrinya secara umum, sesampai kemudian untuk hal-hal yang khusus akan kita bahas pada artikel lainnya, misalkan menyerupai menghitung luas bayangan dan mentransformasikan suatu persamaan atau fungsi.

Contoh Soal Matriks Transformasi Geometri :
1). Bayangan titik $ A(1,3) \, $ dan $ B(-2,-5) \, $ oleh transformasi matriks $ \left( \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $ merupakan ….

Penyelesaian :
*). Kita cari bayangan masing-masing titik dengan rumus umum di atas :
*). Menentukan bayangan Titik A(1,3) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A merupakan $ A^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( 8 , 6) $

*). Menentukan bayangan Titik B(-2,-5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -13 \\ -10 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B merupakan $ B^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( -13 , -10) $

Baca Juga:   Transformasi Geometri Secara Umum

2). Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis $ 2x – 3y = 5 \, $ apabila ditransformasikan oleh matriks transformasi $ \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{matrix} \right) $ ?

Penyelesaian :
*). Sifat invers fungsi : $ AB = C \rightarrow B = A^{-1}. C $
Silahkan teman-teman baca : “determinan dan invers matriks“.
*). Karena persamaan yang ditransformasi, maka yang sebagai titik awal merupakan dalam bentuk umum saja yaitu $(x,y) \, $, sehabis itu kita ubah bentuk awal menjadi dalam bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{matrix} \right)^{-1} \times \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{2.(-3) – 5. (-1)} \left( \begin{matrix} -3 & 1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{-1} \left( \begin{matrix} -3x^\prime + y^\prime \\ -5x^\prime + 2y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = (-1) \left( \begin{matrix} -3x^\prime + y^\prime \\ -5x^\prime + 2y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3x^\prime – y^\prime \\ 5x^\prime – 2y^\prime \end{matrix} \right) \end{align} $
Sesampai kemudian kita peroleh :
$ x = 3x^\prime – y^\prime \, $ dan $ y = 5x^\prime – 2y^\prime $
*). Kita substitusi yang kita peroleh ke persamaan awal sesampai kemudian kita peroleh bayangannya :
$ \begin{align} \text{awal : } 2x – 3y & = 5 \\ 2(3x^\prime – y^\prime) – 3(5x^\prime – 2y^\prime) & = 5 \\ 6x^\prime – 2y^\prime – 15x^\prime + 6y^\prime & = 5 \\ -9x^\prime + 4y^\prime & = 5 \end{align} $
Jadi, bayangan persamaannya merupakan $ -9x^\prime + 4y^\prime = 5 \, $ atau tanda aksennya dihilangkan sesampai kemudian menjadi $ -9x + 4y = 5 $.

Untuk penterangan lebih mendetail perihal suatu fungsi atau suatu persamaan di transformasikan, teman-teman sanggup membacanya pada artikel “transformasi geometri pada persamaan atau fungsi“.

3). Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks $ \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) $ , maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

Penyelesaian :
*). Luas segitiga yang diketahui koordinat ketiga sudutnya sanggup dihitung menyerupai determinan yaitu :
Misalkan ada segitiga ABC dengan titik sudutnya : $ A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), \, $ dan $ C(x_3,y_3) $. Maka luasnya sanggup dihitung dengan rumus :
$ \begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ & y_1 & y_2 & y_3 & y_1 \end{array} \\ & = \frac{1}{2}[(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1) – (x_2y_1+x_3y_2+x_1y_3)] \end{align} $
*). Luas bayangan suatu berdiri datar apabila ditransformasi oleh matriks transformasi $ M $ yang berordo $ 2 \times 2 $ yaitu :
Luas $ = |M| \times \, $ Luas awal.
dengan $ |M| \, $ = determinan matriks M.

*). Ada dua cara yang sanggup kita gunakan untuk menuntaskan soal nomor 3 ini :

Cara I : Menentukan titik bayangan ketiga sudutnya, sehabis itu gres menghitung luas bayangannya dengan memakai titik bayangannya.
*). Menentukan bayangan ketiga titiknya :
*). Menentukan bayangan Titik A(1,3) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -7 \\ 13 \end{matrix} \right) \end{align} $
sesampai kemudian bayangan titik A merupakan $ A^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( -7, 13) $
*). Menentukan bayangan Titik B(-2,4) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -2 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -16 \\ 14 \end{matrix} \right) \end{align} $
sesampai kemudian bayangan titik B merupakan $ B^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( -16 , 14) $
*). Menentukan bayangan Titik C(-1,-1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -1 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
sesampai kemudian bayangan titik C merupakan $ C^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( 1,-5) $
*). Menentukan Luas bayangan segitiga ABC dengan titik bayangannya :
$ A^\prime ( -7, 13) , B^\prime ( -16 , 14) , \, $ dan $ C^\prime ( 1,-5) $
$ \begin{align} \text{Luas bayangan } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & -7 & -16 & 1 & -7 \\ & 13 & 14 & -5 & 13 \end{array} \\ & = \frac{1}{2}[( (-7).14 + (-16).(-5) + 1.13 ) – ( (-16).13 + 1. 14 + (-7).(-5) )] \\ & = \frac{1}{2}[( -98 + 80 + 13 ) – ( -208 + 14 + 35 )] \\ & = \frac{1}{2}[( -5 ) – ( -159 )] \\ & = \frac{1}{2} . (154) \\ & = 77 \end{align} $
Jadi, luas bayangan segitiga ABC merupakan 77 satuan luas.

Baca Juga:   Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang

Cara II : Menentukan luas awal dan sehabis itu memilih luas bayangannya.
*). Luas awal segitiga dengan titik sudutnya :
A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1)
$ \begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -2 & -1 & 1 \\ & 3 & 4 & -1 & 3 \end{array} \\ & = \frac{1}{2}[( 1.4 + (-2).(-1)+(-1).3 ) – ( (-2).3 + (-1).4+1.(-1))] \\ & = \frac{1}{2}[( 4 + 2+(-3) ) – ( (-6) + (-4)+ (-1))] \\ & = \frac{1}{2}[( 3 ) – ( -11)] \\ & = \frac{1}{2}[14] \\ & = 7 \end{align} $
*). Menentukan luas bayangannya :
$ \begin{align} \text{Luas bayangannya } & = |M| \times \text{Luas awal} \\ & = \left| \begin{matrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right| \times 7 \\ & = (2.4 – (-3).1) \times 7 \\ & = (11) \times 7 \\ & = 77 \end{align} $
Jadi, luas bayangan segitiga ABC merupakan 77 satuan luas.

Untuk penterangan perihal luas bayangan suatu berdiri datar, silahkan teman-teman kunjungi artikel “Transformasi geometri pada Luas berdiri datar“.

4). Suatu matriks transformasi $ M = \left( \begin{matrix} a & -1 \\ 2 & b \end{matrix} \right) \, $ mentransformasi titik A($2,-3$) sesampai kemudian diperoleh bayangannya yaitu $A^\prime (9,-11)$. Tentukan bayangan titik P(-3,1) apabila ditransformasikan oleh matriks M?

Penyelesaian :
*). Matriks M masih belum kompleks alasannya yakni masih memuat entri-entri yang bukan angka yaitu $ a $ dan $ b $. Sesampai kemudian kita harus memilih nilai $ a $ dan $ b $ terlebih dahulu dari proses trasformasi pertama yaitu pada titik A.
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $.
titik A($2,-3$) memeiliki bayangan $A^\prime (9,-11)$ oleh matriks transformasi M, artinya sanggup kita tuliskan :
$ \begin{align} A^\prime & = M \times A \\ \left( \begin{matrix} 9 \\ -11 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & -1 \\ 2 & b \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 9 \\ -11 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2a+3 \\ 4 – 3b \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh persamaan :
$ 2a + 3 = 9 \rightarrow 2a = 6 \rightarrow a = 3 $
$ 4 – 3b = -11 \rightarrow -3b = -15 \rightarrow b = 5 $
Sesampai kemudian matriks M menjadi $ M = \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan titik P(-3,1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -10 \\ -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik P merupakan $ P^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( -10 , -1) $

Baca Juga:   Transformasi Geometri Luas Bangkit Datar

5). Suatu matriks mentransformasikan titik A(-1,2) dan B(2,-5) menjadi titik $A^\prime (-5,11) $ dan $ B^\prime (12,-26) $. Tentukan bayangan titik C(7,-8) apabila ditransformasikan oleh matriks tersebut?

Penyelesaian :
*). Kita tentukan dahulu matirks transformasinya, misalkan matriksnya merupakan $ M = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $.
*). Menyusun persamaan dari masing-masing proses transformasi baik titik A inginpun titik B.
*). Titik A(-1,2) dengan bayangan $A^\prime (-5,11) $
$ \begin{align} A^\prime & = M \times A \\ \left( \begin{matrix} -5 \\ 11 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -5 \\ 11 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -a + 2b \\ -c+2d \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh persamaan :
$-a + 2b = -5 \, $ …..pers(i)
$-c + 2d = 11 \, $ …..pers(ii)
*). Titik B(2,-5) dengan bayangan $A^\prime (12,-26) $
$ \begin{align} B^\prime & = M \times B \\ \left( \begin{matrix} 12 \\ -26 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 12 \\ -26 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2a-5b \\ 2c-5d \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh persamaan :
$2a-5b = 12 \, $ …..pers(iii)
$2c-5d = -26 \, $ …..pers(iv)
*). Kemudian kita selesaikan dari persamaan yang ada untuk mencari nilai $ a, b, c $ dan $ d $ dengan cara eliminasi dan substitusi. Untuk langkah ini kami supayakan teman-teman pembaca yang melakukannya sendiri.
*). Eliminasi pers(i) dan (iii), kita akan peroleh nilai $ a = 1 $ dan $ b = -2 $.
*). Eliminasi pers(ii) dan (iv), kita akan peroleh nilai $ c = -3 $ dan $ d = 4 $.
Sesampai kemudian matriks transformasinya merupakan $ M = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan titik C(7,-8) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 7 \\ -8 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 23 \\ -53 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik C merupakan $ C^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( 23, -53) $

       Demikian pembahasan materi Matriks Transformasi Geometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan transformasi geometri : Translasi.