Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Posted on
Bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, sanggup diselesaikan dengan cara mencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Nilai x yang memenuhi persamaan merupakan nilai x yang apabila disubstitusi ke persamaan akan menghasilkan nilai sama dengan nol. Nilai x yang memenuhi suatu persamaan kuadrat disebut akar-akar persamaan kuadrat. Untuk memilih akar-akar persamaan kuadrat ada tiga metode yang umum digunakan, yakni metode pemfaktoran, metode mekompleksi kuadrat sempurna, dan memakai rumus kuadrat atau yang lebih dikenal sebagai rumus abc.

Pada hari ini ini kita akan membahas cara memilih akar-akar persamaan kuadart dengan metode pemfaktoran .

Metode Pemfaktoran 

Untuk memilih akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan metode pemfaktoran, maka persamaan kuadratnya difaktorkan terlebih dahulu. Bentuk pemfaktoran yang umum merupakan sebagai berikut :

Pemfaktoran Keterangan
(ax + p)(ax + q) =
a
p + q = b
p x q = ac

Perlu diingat bahwa p dan q pada rumus di atas bukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat melainkan dua angka yang apabila dijumlahkan alhasil sama dengan b dan apabila dikalikan alhasil sama dengan ac. Jika koefisien a bernilai 1, maka bentuk persamaan di atas sanggup disimpelkan menjadi :
Pemfaktoran Keterangan
(x + p)(x + q) = 0 p + q = b
p x q = c

Untuk terbiasa memakai metode ini, maka kita harus fokus pada koefisien a, b, dan c dalam persamaan tersebut. Fikirkan dua angka yang apabila dijumlahkan alhasil b apabila dikalikan alhasil ac. Meskipun tak semua bentuk persamaan kuadrat sanggup diselesaikan dengan metode ini, namun metode ini cukup membantu lantaran lebih ringkas daripada memakai rumus abc. Tentu saja itu tergantung pada seberapa cepat kita bisa memilih nilai p dan q pada rumus tersebut.

Contoh Soal :
Dengan cara memfaktorkan, tentukanlah akar-akar dari tiap persamaan kuadrat berikut ini :

a. x2 − 5x + 6 = 0 f. 4x2 − 12x + 9 = 0
b. x2 + 7x + 12 = 0 g. 2x2 − x − 1 = 0
c. x2 − 5x − 6 = 0 h. 3x2 + x − 2 = 0
d. x2 + 9x + 14 = 0 i. 2x2 + 24x + 40 = 0
e. x2 + x − 6 = 0 j. 3x2 + 22x − 16 = 0
Pembahasan :
  1. x2 − 5x + 6 = 0
    Dik : a = 1, b = -5, c = 6, ac = 6

    Dua bilangan yang apabila dikali sama dengan 6 antara lain : (1 dan 6), (-1 dan -6), (2 dan 3), dan (-2 dan -3). Dari keempat pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -5 apabila dijumlahkan merupakan -2 dan -3. Dengan demikian kita peroleh p = -2 dan q = -3.

    Berdasarkan rumus :
    ⇒ (x + p)(x + q) = 0
    ⇒ (x + (-2))(x + (-3)) = 0
    ⇒ (x − 2)(x − 3) = 0
    ⇒ x = 2 atau x = 3
    Jadi, akar dari x2 − 5x + 6 = 0 merupakan 2 atau 3.

  2. x2 + 7x + 12 = 0
    Dik : a = 1, b = 7, c = 12, ac = 12

    Dua bilangan yang apabila dikali sama dengan 12 antara lain : (1 dan 12), (-1 dan -12), (2 dan 6), dan (-2 dan -6), (3 dan 4), dan (-3 dan -4). Dari keenam pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai 7 apabila dijumlahkan merupakan 3 dan 4. Dengan demikian kita peroleh p = 3 dan q = 4.

    Berdasarkan rumus :
    ⇒ (x + p)(x + q) = 0
    ⇒ (x + 3)(x + 4) = 0
    ⇒ x = -3 atau x = -4
    Jadi, akar dari x2 + 7x + 12 = 0 merupakan -3 atau -4.

  3. x2 − 5x − 6 = 0
    Dik : a = 1, b = -5, c = -6, ac = -6

    Dua bilangan yang apabila dikali sama dengan -6 antara lain : (-1 dan 6), (1 dan -6), (2 dan -3), dan (-2 dan 3). Dari keempat pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -5 apabila dijumlahkan merupakan -6 dan 1. Dengan demikian kita peroleh p = -6 dan q = 1.

    Berdasarkan rumus :
    ⇒ (x + p)(x + q) = 0
    ⇒ (x + (-6))(x + 1) = 0
    ⇒ (x − 6)(x + 1) = 0
    ⇒ x = 6 atau x = -1
    Jadi, akar dari x2 − 5x − 6 = 0 merupakan -1 atau 6.

  4. x2 + 9x + 14 = 0
    Dik : a = 1, b = 9, c = 14, ac = 14

    Dua bilangan yang apabila dikali sama dengan 14 antara lain : (1 dan 14), (-1 dan -14), (2 dan 7), dan (-2 dan -7). Dari keempat pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai 9 apabila dijumlahkan merupakan 2 dan 7. Dengan demikian kita peroleh p = 2 dan q = 7.

    Berdasarkan rumus :
    ⇒ (x + p)(x + q) = 0
    ⇒ (x + 2)(x + 7) = 0
    ⇒ x = -2 atau x = -7
    Jadi, akar dari x2 + 9x + 14 = 0 merupakan -2 atau -7.

  5. x2 + x − 6 = 0
    Dik : a = 1, b = 1, c = -6, ac = -6

    Dua bilangan yang apabila dikali sama dengan -6 antara lain : (1 dan -6), (-1 dan 6), (2 dan -3), dan (-2 dan 3). Dari keempat pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai 1 apabila dijumlahkan merupakan -2 dan 3. Dengan demikian kita peroleh p = -2 dan q = 3.

    Berdasarkan rumus :
    ⇒ (x + p)(x + q) = 0
    ⇒ (x − 2)(x + 3) = 0
    ⇒ x = 2 atau x = -3
    Jadi, akar dari x2 + x − 6 = 0 merupakan -3 atau 2.

  6. 4x2 − 12x + 9 = 0
    Dik : a = 4, b = -12, c = 9, ac = 36

    Dua bilangan yang apabila dikali sama dengan 36 antara lain : (9 dan 4), (-9 dan -4), (6 dan 6), dan (-6 dan -6) dan sedikit yang lain. Dari pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -12 apabila dijumlahkan merupakan -6 dan -6. Dengan demikian kita peroleh p = -6 dan q = -6.

    Berdasarkan rumus :

    (ax + p)(ax + q) =
    a
    (4x − 6)(4x − 6) =
    4
    2(2x − 3).2(2x − 3) =
    4
    4 (2x − 3)(2x − 3) =
    4

    ⇒ (2x − 3)(2x − 3) = 0
    ⇒ (2x − 3)2 = 0
    ⇒ x = 32

    Jadi, akar dari 4x2 − 12x + 9 = 0 merupakan 32.
  7. 2x2 − x − 1 = 0
    Dik : a = 2, b = -1, c = -1, ac = -2

    Dua bilangan yang apabila dikali sama dengan -2 antara lain : (1 dan -2) dan (-1 dan 2). Dari pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -1 apabila dijumlahkan merupakan 1 dan -2. Dengan demikian kita peroleh p = 1 dan q = -2.

    Berdasarkan rumus :

    (ax + p)(ax + q) =
    a
    (2x + 1)(2x − 2) =
    2
    (2x + 1). 2(x − 1) =
    2
    2 (2x + 1)(x − 1) =
    2

    ⇒ (2x + 1)(x − 1) = 0
    ⇒ x = -½  atau x = 1. 

    Jadi, akar dari 2x2 − x − 1 = 0 merupakan -½ atau 1.

  8. 3x2 + x − 2 = 0
    Dik : a = 3, b = 1, c = -2, ac = -6

    Dua bilangan yang apabila dikali sama dengan -6 antara lain : (1 dan -6), (-1 dan 6), (2 dan -3) dan (-2 dan 3). Dari pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai 1 apabila dijumlahkan merupakan -2 dan 3. Dengan demikian kita peroleh p = -2 dan q = 3.

    Berdasarkan rumus :

    (ax + p)(ax + q) =
    a
    (3x − 2)(3x + 3) =
    3
    (3x − 2). 3(x +1) =
    3

    ⇒ (3x − 2)(x + 1) = 0
    ⇒ x = 23  atau x = -1. 

    Jadi, akar dari 3x2 + x − 2 = 0 merupakan 23 atau -1.

  9. 3x2 − 2x − 8 = 0
    Dik : a = 3, b = -2, c = -8, ac = -24

    Dua bilangan yang apabila dikali sama dengan -16 antara lain : (3 dan -8), (-3 dan 8), (4 dan -6) dan (-4 dan 6) dan sedikit yang lain. Dari pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -2 apabila dijumlahkan merupakan 4 dan -6. Dengan demikian kita peroleh p = 4 dan q = -6.

    Berdasarkan rumus :

    (ax + p)(ax + q) =
    a
    (3x + 4)(3x −  6) =
    3
    (3x + 4). 3(x − 2) =
    3

    ⇒ (3x + 4)(x − 2) = 0
    ⇒ x = -43  atau x = 2. 

    Jadi, akar dari 3x2 − 2x − 8 = 0 merupakan -43 atau 2.

  10. 2x2 − 7x + 6 = 0
    Dik : a = 2, b = -7, c = 6, ac = 12

    Dua bilangan yang apabila dikali sama dengan 12 antara lain : (-3 dan -4), (3 dan 4), (2 dan 6) dan (-2 dan -6) dan sedikit yang lain. Dari pasangan tersebut, pasangan yang menghasilkan nilai -7 apabila dijumlahkan merupakan -3 dan -4. Dengan demikian kita peroleh p = -3 dan q = -4.

    Berdasarkan rumus :

    (ax + p)(ax + q) =
    a
    (2x −  3)(2x −  4) =
    2
    (2x −  3). 2(x − 2) =
    2

    ⇒ (2x −  3)(x − 2) = 0
    ⇒ x = 32  atau x = 2. 

    Jadi, akar dari 2x2 − 7x + 6 = 0 merupakan 32 atau 2.

Baca Juga:   Beda Gres Bila Suku Aritmatika Ditambah Atau Dikali Suatu Bilangan