Menentukan Fungsi Invers Dari Grafiknya

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah sebelumnya kita membahas bahan memilih fungsi eksponen dan fungsi logaritma dari grafiknya, kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya. Pada artikel ini kita akan lebih menekankan pada dua jenis grafik yakni grafik fungsi eksponen dan grafik fungsi logaritma. Meskipun demikian, bantu-membantu cara yang akan kita pelajari pada artikel ini sanggup diterapkan pada semua jenis grafik fungsi yang diketahui. Namun, kita lebih fokus ke grafik fungsi eksponen dan grafik fungsi logaritma lantaran kedua jenis grafik fungsi ini yang biasanya keluar di soal-soal Ujian Nasional.

         Menentukan fungsi invers dari grafiknya artinya diketahui grafik suatu fungsi dan kita diminta mencari fungsi inversnya langsung. Untuk memudahkan dalam pengerjaannya, sebaiknya teman-teman memepelajari bahan invers fungsi eksponen dan logaritma.

Cara Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya
       Ada dua cara dalam menentukan fungsi invers dari grafiknya, yakni :
$\clubsuit $ Cara I : Menentukan fungsi awal
       Kita tentukan dahulu fungsi awal (fungsi asli) dari grafiknya, sesudah itu gres kita cari inversnya.

$\spadesuit $ Cara II : Teknik Substitusi
       Kita substitusikan eksklusif titik yang dilalui oleh grafiknya ke pilihan gandanya.
*). Untuk memilih fungsi awal, kita substiusi $x$ dan hasilnya $y$, teknik ini sudah kita aplikasikan pada bahan menetukan fungsi eksponen dan fungsi logaritma dari grafiknya.
*). Untuk memilih fungsi invers, kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$, teknik ini akan kita terapkan pada artikel ini.

Catatan :
Soal-soal yang akan kita bahas merupakan tipe-tipe soal yang ada pilihan gandanya, dimana tipe soal inilah yang kerap diuapabilan di Ujian Nasional. Dan perlu teman-teman ketahui, cara II : teknik substitusi hanya sanggup dilakukan untuk soal yang ada fungsinya yakni pada pilihan gandanya.

Baca Juga:   Persamaan Eksponen

Contoh Soal :
1). Perhatikan grafik fungsi berikut ini.

Fungsi invers dari grafik tersebut merupakan ….
A). $ g(x) = 3^{x-2} – 9 $
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) $
C). $ g(x) = 2^x – 1 $
D). $ g(x) = 5^{x – 4} + 1 $
E). $ g(x) = {}^3 \log (x+5) $

Penyelesaian :
Cara I : Menentukan fungsi awal,
*). Contoh soal 1 ini sama dengan teladan soal nomor 4 pada artikel “menentukan fungsi eksponen dari grafiknya“, dima fungsi awal (fungsi asli) dari grafik tersebut merupakan $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $. Silahkan teman-teman baca penterangannya pada artikel tersebut.
*). Kita tentukan invers dari fungsi awal : $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $. Silahkan baca cara menginverskan fungsi eksponen dan fungsi logaritma.
$ \begin{align} f(x) & = 3 \times 2^x + 1 \\ y & = 3 \times 2^x + 1 \\ 3 \times 2^x & = y – 1 \\ 2^x & = \frac{y – 1}{3} \\ x & = {}^2 \log \frac{y – 1}{3} \end{align} $
Sesampai kemudian inversnya merupakan $ g(x) = {}^2 \log \frac{x – 1}{3} $ .
Jadi, invers dari grafik tersebut merupakan opsion B yakni $ g(x) = {}^2 \log \frac{x – 1}{3} $ .

Catatan : Cara I ini tingkat kesulitannya merupakan untuk memilih fungsi awal dan kemudian mencari fungsi inversnya.

Cara II: Teknik Substitusi,
*). Grafik melalui titik $(0,4), \, (1,7), \, $ dan $ (2,13)$. Karena yang ditanya fungsi inversnya, maka kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$.
Titik pertama $(0,4) $, kita substitusikan $ x = 4 $ dan hasilnya harus 0 :
A). $ g(x) = 3^{x-2} – 9 = 3^{4-2} – 9 = 9 – 9 =0 $ (BENAR)
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{4-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{3}{3} \right) = {}^2 \log 1 = 0 $ (BENAR)
C). $ g(x) = 2^x – 1 = 2^4 – 1 = 16 – 1 =15 $ (SALAH)
D). $ g(x) = 5^{x – 4} + 1 = 5^{4 – 4} + 1 = 5^0 + 1 = 1 + 1 = 2 $ (SALAH)
E). $ g(x) = {}^3 \log (x+5) = {}^3 \log (4+5) = {}^3 \log 9 = 2 $ (SALAH)
*). Yang BENAR tersisa pilihan (A) dan (B), kita lanjutkan substitusi titik lainnya ke kedua pilihan tersebut.
Titik kedua $(1,7) $ , kita substitusi $ x = 7 $ dan hasilnya harus 1 :
A). $ g(x) = 3^{x-2} – 9 = 3^{7-2} – 9 = 3^5 – 9 = 243 – 9 = 234 $ (SALAH)
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{7-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{6}{3} \right) = {}^2 \log 2 = 1 $ (BENAR)
Yang tersisa BENAR merupakan pilihan B, sesampai kemudian itulah jawabannya.
Jadi, invers dari grafik tersebut merupakan opsion B yakni $ g(x) = {}^2 \log \frac{x – 1}{3} $ .

Baca Juga:   Daerah Asal Dan Tempat Hasil Komposisi Fungsi

2).Jika $g(x) $ merupakan fungsi invers dari grafik fungsi berikut ini, maka tentukan fungsi $ g(x) $ tersebut!

A). $ g(x) = 3^x – 1 $
B). $ g(x) = {}^3 \log (2x+3) + 1 $
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} – 5 \right) $
D). $ g(x) = 5^{x+1} – 3 $
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) – 3 $

Penyelesaian :

*). Untuk teladan soal nomor 2 ini kita eksklusif memakai cara II yakni teknik substitusi. Namun, bagi teman-teman yang ingin mencoba cara pertama silahkan saja, untuk perbandingan hasil jadinya apakah sama atau tak. Dan untuk fungsi awal dari grafiknya sama dengan teladan soal nomor 2 pada artikel “menentukan fungsi logaritma dari grafiknya“, silahkan teman-teman lihat artikelnya untuk pembahasannya.
*). Grafik melalui titik-titik : $(-2,0), \, (-1,-1) $ dan $ (2,-2) $.
Karena yang ditanya fungsi inversnya, maka kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$.
Titik pertama $(-2,0) $, kita substitusikan $ x = 0 $ dan hasilnya harus $-2$ :
A). $ g(x) = 3^x – 1 = 3^0 – 1 = 1 – 1 = 0 $ (SALAH)
B). $ g(x) = {}^3 \log (2x+3) + 1 = {}^3 \log (2 \times 0 +3) + 1 = {}^3 \log 3 + 1 = 1 + 1 = 2$ (SALAH)
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} – 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^{-0} – 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 1 – 5 \right) = \frac{1}{2} \left( -4 \right) = -2 $ (BENAR)
D). $ g(x) = 5^{x+1} – 3 = 5^{0+1} – 3 = 5^{1} – 3 = 2 $ (SALAH)
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) – 3 = {}^2 \log (0+2) – 3 = {}^2 \log ( 2) – 3 = 1 – 3 = -2 $ (BENAR)
*). Yang BENAR tersisa pilihan (C) dan (D), kita lanjutkan substitusi titik lainnya ke kedua pilihan tersebut.
Titik kedua $(2,-2) $ , kita substitusi $ x = -2 $ dan hasilnya harus 2 :
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} – 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^{-(-2)} – 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^2 – 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 9 – 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 4 \right) = 2 $ (BENAR)
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) – 3 = {}^2 \log (-2+2) – 3 = {}^2 \log ( 0) – 3 $ (SALAH) lantaran numerus tak boleh 0.
Yang tersisa BENAR merupakan pilihan C, sesampai kemudian itulah jawabannya.
Jadi, invers dari grafik tersebut merupakan opsion C yakni $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} – 5 \right) $ .

Baca Juga:   Relasi

         Demikian pembahasan bahan Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga bahan lain yang berkaitan dengan fungsi dan grafiknya. Semoga bahan ini sanggup bermanfaat. Terima kasih.