Menentukan Fungsi Logaritma Dari Grafiknya

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari artikel “fungsi logaritma dan menggambar grafiknya“, kita lanjutkan pembahasan berikut ini yaitu Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya. Pada artikel ini, akan diketahui grafik fungsi logaritma yang melalui sedikit titik, dan kiprah kita untuk memilih persamaan fungsi logaritmanya. Soal-soal Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya biasanya juga muncul untuk Ujian Nasional, jadi perlu juga kita pelajari secara seksama teman-teman.

         Untuk memudahkan mempelajari bahan Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya ini, sebaiknya kita harus menguasai dahulu bahan “definisi logaritma” dan “sifat-sifat pada eksponen” alasannya yaitu akan melibatkan bentuk perpangkatan dalam perhitungannya nanti. Secara garis besar, pembahasan pada artikel Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya kita bagi menjadi dua yaitu pertama dengan memakai bentuk umum fungsi logaritma (yang simpel) dan kedua diketahui soalnya dalam bentuk pilihan ganda yang biasanya keluar di Ujian Nasional.

Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya I
       Secara umum ada dua bentuk fungsi logaritma sebagai permisalan yang akan kita gunakan yaitu $ f(x) = {}^a \log (bx) \, $ dan $ f(x) = {}^a \log (bx+c) $ .
*). Bentuk $ f(x) = {}^a \log (bx) \, $ kita gunakan apabila grafik diketahui hanya melalu dua titik saja.
*). Bentuk $ f(x) = {}^a \log (bx + c) \, $ kita gunakan apabila grafik diketahui hanya melalu lebih dari dua titik.

       Langkah kerjanya merupakan kita substitusi semua titik yang dilalui oleh grafik sesampai kemudian membentuk sedikit persamaan, sehabis itu kita selesaikan persamaan yang terbentuk dengan teknik substitusi dan eliminasi.

Adapun rumus-rumus dasar yang paling berperan disini merupakan :
*). Definisi logaritma :
       $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
dengan syarat : $ a > 0, \, a \neq 1, \, $ dan $ b > 0 $.
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^ 0 = 1 \, $ dengan $ a \neq 0 $.
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

Contoh Soal :
1). Tentukan fungsi logaritma dari grafik di bawah ini.

Penyelesaian :
*). Karena grafik hanya melalui dua titik, maka kita gunakan fungsi $ f(x) = {}^a \log (bx) $.
*). Grafik melalui titik $(\frac{1}{3},0) \, $ dan $ (\frac{4}{3},2) $. Kita substitusikan kedua titik tersebut ke fungsi logaritmanya.
Substitusi titik pertama :
$ \begin{align} (x,y) = (\frac{1}{3},0) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx) \\ 0 & = {}^a \log (b \frac{1}{3} ) \\ 0 & = {}^a \log (\frac{b}{3} ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ \frac{b}{3} & = a^0 \\ \frac{b}{3} & = 1 \\ b & = 3 \times 1 = 3 \end{align} $
Sesampai kemudian fungsinya menjadi : $ f(x) = {}^a \log (bx) = {}^a \log (3x) $
Substitusi titik kedua :
$ \begin{align} (x,y) = (\frac{4}{3},2) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (3x) \\ 2 & = {}^a \log (3 \times \frac{4}{3} ) \\ 2 & = {}^a \log 4 \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ a^2 & = 4 \\ a & = \pm \sqrt{4} \\ a & = \pm 2 \end{align} $
Karena syarat basis merupakan positif, maka yang memenuhi $ a = 2 $.
Sesampai kemudian fungsinya menjadi : $ f(x) = {}^a \log (3x) = {}^2 \log (3x) $
Jadi, fungsi logaritma dari grafik tersebut di atas merupakan $ f(x) = {}^2 \log (3x) $.

Baca Juga:   Pertidaksamaan Logaritma

2). Tentukan fungsi logaritma dari grafik berikut ini.

Penyelesaian :
*). Karena grafik melalui leih dari dua titik, maka kita gunakan fungsi $ f(x) = {}^a \log (bx + c) $.
*). Grafik melalui titik $(-2,0) , \, (-1,-1)$, dan $ (2,-2) $. Kita substitusikan ketiga titik tersebut ke fungsi logaritmanya.
Substitusi titik pertama :
$ \begin{align} (x,y) = (-2,0) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ 0 & = {}^a \log (b \times (-2) + c ) \\ 0 & = {}^a \log (-2b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ -2b + c & = a^0 \\ -2b + c & = 1 \, \, \, \, \, \text{….(i)} \end{align} $
Substitusi titik kedua :
$ \begin{align} (x,y) = (-1,-1) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ -1 & = {}^a \log (b \times (-1) + c ) \\ -1 & = {}^a \log (-b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ -b + c & = a^{-1} \\ -b + c & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \text{….(ii)} \end{align} $
Substitusi titik ketiga :
$ \begin{align} (x,y) = (2,-2) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ -2 & = {}^a \log (b \times (2) + c ) \\ -2 & = {}^a \log (2b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ 2b + c & = a^{-2} \\ 2b + c & = \frac{1}{a^2} \, \, \, \, \, \text{….(iii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(iii) :
Kurangkan :
$\begin{array}{cc} -2b + c = 1 & \\ 2b + c = \frac{1}{a^2} & – \\ \hline -4b = 1 – \frac{1}{a^2} & \\ b = -\frac{1}{4}(1 – \frac{1}{a^2}) & \end{array} $
Jumlahkan :
$\begin{array}{cc} -2b + c = 1 & \\ 2b + c = \frac{1}{a^2} & + \\ \hline 2c = 1 + \frac{1}{a^2} & \\ c = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & \end{array} $
*). Dari pers(ii) , kita substitusi bentuk $ b $ dan $ c $ yang kita peroleh:
$ \begin{align} -b + c & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \text{….(ii)} \\ -[-\frac{1}{4}(1 – \frac{1}{a^2})] + \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \, \text{(kalikan } 4a^2) \\ 4a^2 \times [\frac{1}{4}(1 – \frac{1}{a^2})] + 4a^2 \times \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & = 4a^2 \times \frac{1}{a} \\ a^2 \times (1 – \frac{1}{a^2}) + 2a^2 \times (1 + \frac{1}{a^2}) & = 4a \\ a^2 – 1 + 2a^2 + 2 & = 4a \\ 3a^2 – 4a + 1 & = 0 \\ (3a – 1)(a-1) & = 0 \\ a = \frac{1}{3} \vee a & = 1 \end{align} $
Karena syarat basis tak sama dengan 1, maka $ a = \frac{1}{3} \, $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ b $ dan $ c $ :
$ b = -\frac{1}{4}(1 – \frac{1}{a^2}) = -\frac{1}{4}(1 – \frac{1}{\frac{1}{9}}) = -\frac{1}{4}(1 – 9) = 2 $
$ c = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{\frac{1}{9}}) = \frac{1}{2}(1 + 9) = 5 $
Sesampai kemudian fungsinya :
$ f(x) = {}^a \log (bx + c) \rightarrow f(x) = {}^\frac{1}{3} \log (2x + 5) $
Jadi, fungsi logaritma dari grafik tersebut di atas merupakan $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log (2x + 5) $.

Baca Juga:   Rumus Lengkap Logaritma Dan Pola Soal

       Dari pola penghitungan untuk soal nomor (2) di atas, terlihat bahwa proses menuntaskan persamaannya yang agak sulit. Namun, dengan penuh kesabaran, niscaya kita akan sanggup menyelesaikannya dengan baik dan benar. Memang untuk bentuk fungsi logaritma lebih sulit dibandingkan dengan bahan “menentukan fungsi eksponen dari grafiknya“.

Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya II
       Tipe-tipe soal menentukan fungsi logaritma dari grafiknya juga sanggup muncul di UJIAN NASIONAL. Namun di soal-soal Ujian Nasional biasanya dalam bentuk pilihan ganda, sesampai kemudian akan memudahkan kita untuk memilih fungsi dari sebuah grafik yaitu dengan cara eksklusif SUBSTITUSI titik yang dilewati oleh grafik ke opsionnya (pilihan gandanya), dan kita pilih yang sesuai hasil dengan titik yang dilalui. Untuk lebih terangnya, perhatikan pola soal berikut ini.

Contoh Soal :
3). Perhatikan grafik fungsi berikut ini.

Fungsi yang sesuai dengan grafik di atas merupakan …..
A). $ y = {}^3 \log ( x + 1) $
B). $ y = 2^x – 1 $
C). $ y = {}^2 \log x + 1 $
D). $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} – 2 $
E). $ y = {}^2 \log (x – 1) $

Penyelesaian :
*). Titik – titik yang dilalui oleh grafik yaitu $(2,0) \, $ dan $ (3,1) $.
*). Kita substitusi titik pertama $(2,0)$ , untuk $ x = 2 \, $ maka nilai $ y \, $ haruslah $ 0 $.
Pilihan A: $ y = {}^3 \log ( x + 1) = {}^3 \log ( 2 + 1) = {}^3 \log 3 = 1 $ (SALAH).
Pilihan B: $ y = 2^x – 1 = 2^2 – 1 = 4 – 1 = 3 $ (SALAH)
Pilihan C: $ y = {}^2 \log x + 1 = {}^2 \log 2 + 1 = 1 + 1 = 2$ (SALAH)
Pilihan D: $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} – 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2 + 1} – 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{- 1} – 2 = 2 – 2 = 0 $ (BENAR)
Pilihan E: $ y = {}^2 \log (x – 1) = {}^2 \log (2 – 1) = {}^2 \log 1 = 0 $ (BENAR)
*). Karena opsi D dan E BENAR, maka kita substitusi titik lain ke kedua opsion yang benar tersebut.
*). Kita substitusi titik kedua $(3,1)$ , untuk $ x = 3 \, $ maka nilai $ y \, $ haruslah $ 1 $.
Pilihan D: $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} – 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-3 + 1} – 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} – 2 = 4 – 2 = 2 $ (SALAH)
Pilihan E: $ y = {}^2 \log (x – 1) = {}^2 \log (3 – 1) = {}^2 \log 2 = 1 $ (BENAR)
Sesampai kemudian opsion yang tersisa benar merupakan opsi E.
Jadi, persamaan fungsi dari grafik tersebut merupakan $ f(x) = {}^2 \log (x-1) $, yaitu opsion E.

Baca Juga:   Pembahasan Soal Logaritma Uk 1.3 Kurikulum 2013+ Kelas X

         Demikian pembahasan bahan Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga bahan lain yang berkaitan dengan logaritma. Semoga bahan ini sanggup bermanfaat. Terima kasih.