Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari bahan integral secara mendalam dari rumus umum untuk integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri serta berguru sedikit teknik integral yang sangat membantu kita dalam menuntaskan soal-soal integral, maka pada artikel ini kita akan membahas integral fungsi khusus ialah Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak. Dari judulnya ini, tentu pengintegralan akan berkaitan eksklusif dengan bermacam fungsi yang berbentuk harga mutlak baik mutlak fungsi aljabar inginpun mutlak fungsi trigonometri. Harga mutlak fungsi $ f(x) \, $ disimbolkan dengan $ |f(x)| \, $ yang nilainya selalu konkret untuk semua $ x $.

         Untuk mempermudah mempelajari Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak ini, sebaiknya teman-teman menguasai kembali bahan integral fungsi aljabar dan integral fungsi trigonometri serta teknik integral yang ada. Disamping itu pula, kita harus mempelajari kembali definisi dari harga mutlak (atau nilai mutlak) salah satunya sanggup dibaca pada artikel “Pertaksamaan Bentuk Nilai Mutlak“. Namun pada artikel ini akan kita ulas kembali pengertian dan sifat penting yang berkaitan dengan harga mutlak.

         Secara umum langkah-langkah dalam Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak ialah kita ubah dahulu fungsi mutlaknya menurut definisinya untuk memilih batasan kapan fungsi tersebut bernilai konkret dan bernilai negatif. Artinya fungsi mutlak tersebut akan dibagi menjadi sedikit batasan integral tergantung ada berapa kayanya fungsi mutlak yang ingin kita integralkan. Untuk lebih terangnya, kita pelajari saja eksklusif berikut ini.

Definisi Harga Multak suatu Fungsi
       Nilai mutlak dari suatu fungsi $ f(x) \, $ dinotasikan $ |f(x)| $ .
Definisi nilai mutlaknya :
              $ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , f(x) < 0 \end{array} \right. $
Artinya $ |f(x)| = f(x) \, $ atau $ |f(x)| = -f(x) \, $ tergantung nilai $ f(x) $
Sifat Harga Mutlak :
$ |f(x)| = \sqrt{(f(x))^2} \, $ dengan kuadrat dan akar tak boleh dihilangkan.

Dengan definisi nilai mutlak, maka nilai mutlak setiap bilangan atau fungsi nilainya selalu positif.

Contoh soal fungsi harga mutlak :
1). Pecahlah bentuk fungsi harga mutlak berikut ini menurut definisi harga mutlak (menghilangkan bentuk mutlaknya).
a). $ | x – 1| $
b). $ | 2x + 5| $
c). $ \sqrt{x^2 – 4x + 4} $
d). $ |x^2 – x – 6 | $

Penyelesaian :
a). $ | x – 1| $
Syarat Positif : $ x – 1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1 $,
Syarat negatif : $ x – 1 < 0 \rightarrow x < 1 $,
Sesampai kemudian bentuk fungsi $ | x – 1| \, $ tanpa mutlaknya :
$ | x – 1| = \left\{ \begin{array}{cc} x – 1 & , x \geq 1 \\ -(x-1) & , x < 1 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x-1| \, $ sanggup dibagi menjadi dua ialah :
$ |x-1| = (x-1) \, $ untuk batas $ x \geq 1 , \, $ atau
$ |x-1| = -(x-1) \, $ untuk batas $ x < 1 , \, $

b). $ | 2x + 5| $
Syarat Positif : $ 2x + 5 \geq 0 \rightarrow x \geq -\frac{5}{2} $,
Syarat negatif : $ 2x + 5 < 0 \rightarrow x < -\frac{5}{2} $,
Sesampai kemudian bentuk fungsi $ | 2x + 5 | \, $ tanpa mutlaknya :
$ | 2x + 5 | = \left\{ \begin{array}{cc} 2x + 5 & , x \geq -\frac{5}{2} \\ -(2x + 5 ) & , x < -\frac{5}{2} \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |2x + 5| \, $ sanggup dibagi menjadi dua ialah :
$ |2x + 5| = (2x + 5) \, $ untuk batas $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ atau
$ |2x + 5| = -(2x + 5) \, $ untuk batas $ x < -\frac{5}{2} , \, $

c). $ \sqrt{x^2 – 4x + 4} $
Bentuk : $ \sqrt{x^2 – 4x + 4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2| \, $ (berdasarkan sifatnya).
Syarat Positif : $ x-2 \geq 0 \rightarrow x \geq 2 $,
Syarat negatif : $ x-2 < 0 \rightarrow x < 2 $,
Sesampai kemudian bentuk fungsi $ | x-2 | \, $ tanpa mutlaknya :
$ \sqrt{x^2 – 4x + 4} = | x-2 | = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & , x \geq 2 \\ -(x-2 ) & , x < 2 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x-2| \, $ sanggup dibagi menjadi dua ialah :
$ \sqrt{x^2 – 4x + 4} = (x-2) \, $ untuk batas $ x \geq 2 , \, $ atau
$ \sqrt{x^2 – 4x + 4} = -(x-2) \, $ untuk batas $ x < 2 , \, $

Baca Juga:   Penghitungan Dan Sifat-Sifat Integral Tertentu

d). $ |x^2 – x – 6 | $
Syarat Positif : $ x^2 – x – 6 \geq 0 \rightarrow (x+2)(x-3) \geq 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 3 $,
sesampai kemudian syarat positifnya merupakan $ x \leq -2 \vee x \geq 3 $
SIlahkan baca penyelesaian pertaksamaan pada : Pertaksamaan Kuadrat .
Syarat negatif : $ x^2 – x – 6 < 0 \rightarrow -2 < x < 3 $,
Sesampai kemudian bentuk fungsi $ | x^2 – x – 6 | \, $ tanpa mutlaknya :
$ | x^2 – x – 6 | = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 – x – 6 & , x \leq -2 \vee x \geq 3 \\ -(x^2 – x – 6 ) & , -2 < x < 3 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x^2 – x – 6 | \, $ sanggup dibagi menjadi dua ialah :
$ |x^2 – x – 6 | = (x^2 – x – 6 ) \, $ untuk batas $ x \leq -2 \vee x \geq 3 , \, $ atau
$ |x^2 – x – 6 | = -(x^2 – x – 6 ) \, $ untuk batas $ -2 < x < 3 , \, $

Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak
       Misalkan kita akan memilih integral fungsi harga mutlak $ |f(x)| \, $ dari batas $ a \leq b \leq c \, $ dengan fungsi mutlaknya dipecah menjadi :
       $ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , x \geq b \\ -f(x) & , x < b \end{array} \right. $
Maka Integralnya sanggup dihitung dengan cara :
$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.

Contoh soal integral fungsi harga mutlak :
2). Tentukan hasil integral dari fungsi harga mutlak berikut ini,
a). $ \int \limits_{-1}^3 | x – 1| dx $
b). $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx $
c). $ \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 – 4x + 4} dx $
d). $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 – x – 6 | dx $

Penyelesaian :
*). Untuk menuntaskan referensi soal 2 ini, kita harus menghilangkan bentuk mutlaknya dengan definisi harga mutlak. Namun jangan khawatir saja, cara memecahnya sudah kita bahas pada referensi soal 1 sebelumnya. Kaprikornus untuk batasnya, silahkan baca referensi soal 1 di atas.
a). $ \int \limits_{-1}^3 | x – 1| dx $
$ |x-1| = (x-1) \, $ untuk batas $ x \geq 1 , \, $ atau
$ |x-1| = -(x-1) \, $ untuk batas $ x < 1 , \, $
*). Menentukan hasil integralnya menurut batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_{-1}^3 | x – 1| dx & = \int \limits_{-1}^3 | x – 1| dx + \int \limits_{-1}^3 | x – 1| dx \\ & = \int \limits_{-1}^1 | x – 1| dx + \int \limits_{1}^3 | x – 1| dx \\ & = \int \limits_{-1}^1 -(x-1) dx + \int \limits_{1}^3 (x-1) dx \\ & = \int \limits_{-1}^1 (1-x) dx + \int \limits_{1}^3 (x-1) dx \\ & = [x – \frac{1}{2}x^2 ]_{-1}^1 + [\frac{1}{2}x^2 – x]_{1}^3 \\ & = [(1 – \frac{1}{2}.1^2) – ((-1) – \frac{1}{2}(-1)^2 ) ] + [( \frac{1}{2}.3^2 – 3) – ( \frac{1}{2}.1^2 – 1) ] \\ & = [(1 – \frac{1}{2} ) – (-1 – \frac{1}{2} ) ] + [( \frac{9}{2} – 3 ) – ( \frac{1}{2} – 1) ] \\ & = [(\frac{1}{2} ) – (-\frac{3}{2}) ] + [( \frac{3}{2} ) – ( – \frac{1}{2} ) ] \\ & = [ \frac{4}{2} ] + [ \frac{4}{2} ] \\ & = [ 2 ] + [ 2 ] \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_{-1}^3 | x – 1| dx = 4 $.

Baca Juga:   Jumlah Riemann Pada Integral

b). $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx $
$ |2x + 5| = (2x + 5) \, $ untuk batas $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ atau
$ |2x + 5| = -(2x + 5) \, $ untuk batas $ x < -\frac{5}{2} , \, $
*). Menentukan hasil integralnya menurut batas nilai mutlaknya :
Karena batas integral yang diminta dari 0 hingga 2 sesuai dengan batas konkret $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ maka yang digunakan hanya bab pertama saja ialah : $ |2x + 5| = (2x + 5) $
$ \begin{align} \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx & = \int \limits_0^2 ( 2x + 5) dx \\ & = [ x^2 + 5x]_0^2 \\ & = [ (2^2 + 5.2) – (0^2 + 5.0)] \\ & = [ (14) – ( 0)] \\ & = 14 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx = 14 $.

c). $ \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 – 4x + 4} dx $
$ \sqrt{x^2 – 4x + 4} = (x-2) \, $ untuk batas $ x \geq 2 , \, $ atau
$ \sqrt{x^2 – 4x + 4} = -(x-2) \, $ untuk batas $ x < 2 , \, $
*). Menentukan hasil integralnya menurut batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 – 4x + 4} dx & = \int \limits_0^2 \sqrt{x^2 – 4x + 4} dx + \int \limits_2^5 \sqrt{x^2 – 4x + 4} dx \\ & = \int \limits_0^2 -(x-2) dx + \int \limits_2^5 (x-2) dx \\ & = \int \limits_0^2 (2-x) dx + \int \limits_2^5 (x-2) dx \\ & = [2x – \frac{1}{2}x^2]_0^2 + [\frac{1}{2}x^2 – 2x]_2^5 \\ & = [(2.2 – \frac{1}{2}.2^2) – (2.0 – \frac{1}{2}.0^2) ] + [(\frac{1}{2}.5^2 – 2.5) – (\frac{1}{2}.2^2 – 2.2)] \\ & = [(4 – 2) – (0) ] + [(\frac{25}{2} – 10) – (2 – 4)] \\ & = [2 ] + [(\frac{5}{2} ) – (-2)] \\ & = [2 ] + [(2,5 ) + 2] \\ & = 6,5 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 – 4x + 4} dx = 6,5 $.

d). $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 – x – 6 | dx $
$ |x^2 – x – 6 | = (x^2 – x – 6 ) \, $ untuk batas $ x \leq -2 \vee x \geq 3 , \, $ atau
$ |x^2 – x – 6 | = -(x^2 – x – 6 ) \, $ untuk batas $ -2 < x < 3 , \, $
*). Menentukan hasil integralnya menurut batas nilai mutlaknya :
Karena batas integral yang diminta dari -3 hingga 5, sesuai dengan batas nilai mutlak maka batasnya kita bagi menjadi tiga ialah $ -3 < x < -2, \, -2 < x < 3 , \, $ dan $ 3 < x < 5 $.
yang digunakan hanya bab pertama saja ialah : $ |2x + 5| = (2x + 5) $
$ \begin{align} \int \limits_{-3}^5 |x^2 – x – 6 | dx & = \int \limits_{-3}^{-2} |x^2 – x – 6 | dx + \int \limits_{-2}^3 |x^2 – x – 6 | dx + \int \limits_{3}^5 |x^2 – x – 6 | dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 – x – 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 -(x^2 – x – 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 – x – 6 ) dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 – x – 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 (-x^2 + x + 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 – x – 6 ) dx \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 – x – 6 | dx \, $ sanggup dihitung dari bentuk terakhir di atas yang sanggup teman-teman integralkan sendiri.^_^

3). Tentukan hasil dari integral $ \int \limits_{-1}^2 3x^2 – 2|x| + 5 dx $ ?
Penyelesaian :
*). Yang dimutlakan hanya $ |x| \, $ , sesampai kemudian yang kita hilangkan mutlaknya bentuk $ |x| \, $ saja dengan definisi harga mutlak :
$ | x | = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x| \, $ sanggup dibagi menjadi dua ialah :
$ |x| = x \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ |x| = -x \, $ untuk batas $ x < 0 $
Sesampai kemudian fungsi $ 3x^2 – 2|x| + 5 \, $ sanggup diubah menjadi :
$ 3x^2 – 2|x| + 5 = 3x^2 – 2(x) + 5 = 3x^2 – 2x + 5 \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ 3x^2 – 2|x| + 5 = 3x^2 – 2(-x) + 5 = 3x^2 + 2x + 5 \, $ untuk batas $ x < 0 $
*). Menentukan hasil integralnya menurut batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_{-1}^2 3x^2 – 2|x| + 5 dx & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 – 2|x| + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 – 2|x| + 5 dx \\ & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 + 2x + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 – 2x + 5 dx \\ & = [x^3 + x^2 + 5x]_{-1}^0 + [x^3 – x^2 + 5x]_{0}^2 \\ & = [(0^3 + 0^2 + 5.0) – ((-1)^3 + (-1)^2 + 5.(-1))] \\ & + [(2^3 – 2^2 + 5.2) – (0^3 – 0^2 + 5.0)] \\ & = [(0) – (-5)] + [(14) – ( 0)] \\ & = 5 + 14 \\ & = 19 \end{align} $
Jadi, hasil dari $\int \limits_{-1}^2 3x^2 – 2|x| + 5 dx = 19 $.

Baca Juga:   Pengertian Dan Rumus Dasar Untuk Integral Tak Tentu

4). Tentukan hasil dari integral $ \int \limits_{-2}^1 \sqrt{9x^4 – 12x^3 + 4x^2 } dx $ ?
Penyelesaian :
Bentuk : $ \sqrt{9x^4 – 12x^3 + 4x^2 } = \sqrt{(3x^2 – 2x)^2 } = |3x^2 – 2x| \, $ (sifat mutlak).
Syarat Positif : $ 3x^2 – 2x \geq 0 \rightarrow x(3x – 2) \geq 0 \rightarrow x = 0 \vee x = \frac{2}{3} $,
sesampai kemudian syarat positifnya merupakan $ x \leq 0 \vee x \geq \frac{2}{3} $
SIlahkan baca penyelesaian pertaksamaan pada : Pertaksamaan Kuadrat .
Syarat negatif : $ 3x^2 – 2x < 0 \rightarrow 0 < x < \frac{2}{3} $,
$ \sqrt{9x^4 – 12x^3 + 4x^2 } = |3x^2 – 2x| = \left\{ \begin{array}{cc} 3x^2 – 2x & , x \leq 0 \vee x \geq \frac{2}{3} \\ -(3x^2 – 2x) & , 0 < x < \frac{2}{3} \end{array} \right. $
Sesampai kemudian fungsi $ \sqrt{9x^4 – 12x^3 + 4x^2 } = |3x^2 – 2x| \, $ sanggup diubah menjadi :
$ \sqrt{9x^4 – 12x^3 + 4x^2 } = (3x^2 – 2x) \, $ untuk batas $ x \leq 0 \vee x \geq \frac{2}{3} , \, $ atau
$ \sqrt{9x^4 – 12x^3 + 4x^2 } = -(3x^2 – 2x) \, $ untuk batas $ 0 < x < \frac{2}{3} $
*). Menentukan hasil integralnya menurut batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_{-2}^1 \sqrt{9x^4 – 12x^3 + 4x^2 } dx & = \int \limits_{-2}^0 \sqrt{9x^4 – 12x^3 + 4x^2 } dx + \int \limits_{0}^\frac{2}{3} \sqrt{9x^4 – 12x^3 + 4x^2 } dx \\ & + \int \limits_{\frac{2}{3}}^1 \sqrt{9x^4 – 12x^3 + 4x^2 } dx \\ & = \int \limits_{-2}^0 (3x^2 – 2x) dx + \int \limits_{0}^\frac{2}{3} -(3x^2 – 2x) dx + \int \limits_{\frac{2}{3}}^1 (3x^2 – 2x) dx \\ & = \int \limits_{-2}^0 (3x^2 – 2x) dx + \int \limits_{0}^\frac{2}{3} (-3x^2 + 2x) dx + \int \limits_{\frac{2}{3}}^1 (3x^2 – 2x) dx \\ & = [x^3- x^2]_{-2}^0 + [-x^3+ x^2]_{0}^\frac{2}{3} + [x^3- x^2]_{\frac{2}{3}}^1 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_{-2}^1 \sqrt{9x^4 – 12x^3 + 4x^2 } dx \, $ sanggup teman-teman hitung sendiri dari bentuk integral yang terakhirnya. ^_^.

       Demikian pembahasan bahan Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan integral. Semoga bahan ini sanggup membantu teman-teman yang lagi membutuhkannya.