Menentukan Kawasan Penyelesaian (Arsiran) Sistem Pertidaksamaan

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah sebelumnya kita mempelajari pengertian program linear dan “Persamaan dan Grafik Bentuk Linear”, pada artikel ini kita akan melanjutkan tahapan dalam menuntaskan duduk perkara agenda linear ialah bahan Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertaksamaan. Pada bahan Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertaksamaan ini kita akan bahas cara-cara memilih kawasan penyelesaiannya (arsiran) yang biasa disingkat DHP (Daerah Himpunan Penyelesaian) dengan cara uji sembarang titik.

         Pada bahan ini kita akan mulai dari memilih DHP untuk satu pertaksamaan linear dua variabel, kemudian dilanjutkan dengan sedikit pertaksamaan linear dua variabel. Sistem pertaksamaan merupakan kumpulan dari sedikit pertaksamaan yang terdapat DHP yang sama.

Pengertian Pertaksamaan Linear Dua Variabel
       Pertaksamaan linear dua variabel merupakan kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketaksamaan. Tanda ketaksamaan yang dimaksud merupakan $ >, <, \leq, \, $ atau $ \, \geq $ .

Contoh pertaksamaan linear dua variabel :
1). Berikut merupakan sedikit teladan pertaksamaan linear dua variabel :
a). $ 2x + 3 \geq 3 $
b). $ -x + 2y \leq 20 $
c). $ 5x – 4y < -25 $
d). $ -3x – 2y > 17 $

Perbedaan Persamaan (baik linear atau tak) dengan Pertaksamaan
       Perbedaan fundamental antara persamaan dan pertaksamaan ialah :
Persamaan kesudahannya berupa grafik (untuk persamaan linear berupa garis), lagikan Pertaksamaan kesudahannya berupa kawasan arsiran.

Hasil yang dimaksud disini merupakan nilai semua variabel yang memenuhi persamaan atau pertaksamaan.

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) untuk satu pertaksamaan dengan metode uji sembarang titik
       Langkah-langkah Menentukan DHP nya :
i). Gambarlah terlebih dahulu pertaksamaannya (berupa grafik) dengan mengubah tanda ketaksamaannya ($>, \geq, \leq, <$) menjadi $ = $.

ii). Pilih satu titik sembarang yang tak dilalui oleh garis, kemudian substitusi ke pertaksamaannya. Jika titik tersebut memenuhi pertaksamaan, maka kawasan yang memuat titik yang diuji tersebut merupakan DHP nya. Jika titik yang diuji tak memenuhi pertaksamaan, maka DPH nya merupakan kawasan yang tak memuat titik tersebut.

iii). Beri tanda DHP nya berupa arsiran.

Catatan :
Perbedaan penggunakan $ \leq , \, \geq \, $ dengan $ \, >, \, < \, $ ialah :
*). Bentuk $ \leq , \, \geq \, $ artinya titik-titik yang ada pada garis juga ikut sebagai penyelesaian sesampai kemudian digambar utuh (tanpa putus) garisnya.
*). Bentuk $ \leq , \, \geq \, $ artinya titik-titik yang ada pada garis tak ikut sebagai penyelesaian sesampai kemudian digambar putus-putus garisnya.

Baca Juga:   Program Linear : Nilai Optimum Dengan Metode Gradien

Contoh soal Menentukan DHP nya :
2). Tentukan kawasan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan :
a). $ 2x – y \leq 6 $
b). $ 5x + 3y > 15 $
c). $ x \geq 3 $
d). $ y < -1 $
Penyelesaian :

Silahkan baca : “Cara membuat grafik bentuk linear“.
a). $ 2x – y \leq 6 $
*). Menggambar grafik dari $ 2x – y = 6 \, $ dengan memilih titik potong (tipot) sumbu-sumbunya :
Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ ,
$ 2x – y = 6 \rightarrow 2x – 0 = 6 \rightarrow 2x = 6 \rightarrow x = 3 $.
tipotnya merupakan (3,0).
Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ ,
$ 2x – y = 6 \rightarrow 2.0 – y = 6 \rightarrow -y = 6 \rightarrow y = -6 $.
tipotnya merupakan (0,-6).
gambar grafiknya ialah :

*). Pilih satu titik uji, biasanya titik (0,0) lantaran paling gampang dihitung. Kita substitusikan titik (0,0) ke pertaksamaan :
$ \begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow 2x – y & \leq 6 \\ 2.0 – 0 & \leq 6 \\ 0 & \leq 6 \, \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} $
Karena titik uji (0,0) memenuhi pertaksamaan, maka kawasan himpunan penyelesaiannya merupakan kawasan yang memuat titik (0,0) ialah kawasan sebelah kiri (atau atas).
*). Grafik kawasan himpunan penyelesaiannya diberi warna biru.

b). $ 5x + 3y > 15 $
*). Menggambar grafik dari $ 5x + 3y = 15 \, $ dengan memilih titik potong (tipot) sumbu-sumbunya :
Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ ,
$ 5x + 3y = 15 \rightarrow 5x + 3.0 = 15 \rightarrow 5x = 15 \rightarrow x = 3 $.
tipotnya merupakan (3,0).
Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ ,
$ 5x + 3y = 15 \rightarrow 5.0 + 3y = 15 \rightarrow 3y = 15 \rightarrow y = 5 $.
tipotnya merupakan (0,5).
gambar grafiknya ialah :

*). Pilih satu titik uji ialah titik (0,0). Kita substitusikan titik (0,0) ke pertaksamaan :
$ \begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow 5x + 3y & > 15 \\ 5.0 + 3.0 & > 15 \\ 0 & > 15 \, \, \, \, \, \text{(salah)} \end{align} $
Karena titik uji (0,0) tak memenuhi pertaksamaan, maka kawasan himpunan penyelesaiannya merupakan kawasan yang tak memuat titik (0,0) ialah kawasan sebelah kanan (atau atas).
*). Grafik kawasan himpunan penyelesaiannya diberi warna abu-abu.

c). $ x \geq 3 $
*). Grafik dari $ x = 3 \, $ merupakan tegak ibarat gambar berikut ini.

*). Karena yang diminta lebih besar dari 3 ($x \geq 3 $), maka kawasan himpunan penyelesaiannya merupakan di sebelah kanan garis.

d). $ y < -1 $
*). Grafik dari $ y = -1 \, $ merupakan mendatar ibarat gambar berikut ini.

*). Karena yang diminta lebih kecil dari -1 ($y < -1 $), maka kawasan himpunan penyelesaiannya merupakan di bawah garis.

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) sistem Pertaksamaan
       Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertaksamaan merupakan kawasan penyelesaian (DHP) yang memenuhi semua pertaksamaan yang ada.

Baca Juga:   Menentukan Nilai Maksimum Fungsi Objektif Pertidaksamaan Linear

Langkah-langkah memilih DHP nya :
1). Gambar masing-masing grafik pertaksamaan dan tentukan DHP nya.

2). Tandai DHP nya. Ada dua cara untuk menandai DHP nya ialah :
i). DHP nya ditandai dengan kawasan arsiran, maksudnya kita arsir kawasan yang benar dan kita cari kawasan yang terkena arsiran paling kaya dan itulah DHP nya. Terapi, cara ini kurang efektif lantaran kita terkadang mengalami kesulitan untuk memilih kawasan mana yang terkena arsiran yang paling kaya apalagi kita hanya memakai satu warna untuk mengarsirnya.

ii). DHP nya kawasan yang bersih, maksudnya kita arsir kawasan yang salah dan sesudah semua pertaksamaan kita selesaikan kemudian kita cari kawasan yang bersih, kawasan tersebutlah DHP nya.

Contoh soal Menentukan DHP sistem pertaksamaan :
3). Tentukan kawasan himpunan penyelesaian sistem pertaksamaan linear dua variabel berikut ini:
$ 3x + 2y \leq 12, \, x – y \leq 3, \, x \geq 0, $ dan $ y \geq 0 \, $ untuk $ x, y \in R$.

Penyelesaian :
*). Menggambar dan memilih DHP masing-masing pertaksamaan :
Menentukan titik potong terhadap sumbu-sumbu ibarat tabel berikut ini :

*). Mengambil sembarang titik uji, contohnya (0, 0), untuk disubstitusikan ke dalam pertaksamaannya.
$ \begin{align} 3x + 2y & \leq 12 \\ 3.0 + 2.0 & \leq 12 \\ 0 & \leq 12 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} \, \, \, \, \, $ $ \, \, \, \, \, \begin{align} x – y & \leq 3 \\ 0 – 0 & \leq 3 \\ 0 & \leq 3 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} $
*). DHP masing-masing :

*). Daerah yang terkena arsiran paling kaya ditunjukkan gambar berikut ini :

*). Bisa juga dengan mengarsir kawasan yang salah, sesampai kemudian DHP nya merupakan kawasan yang higienis ibarat gambar berikut ini :

Contoh soal :
4). Tentukan sistem pertaksamaan linear dua variabel yang kawasan himpunan penyelesaiannya ditunjukkan pada gambar berikut!

Penyelesaian :
Silahkan baca : “Cara menyusun persamaan linear diketahui grafiknya“.
*). Menentukan persamaan masing-masing garis :

Garis I : Kali silang,
$ 2x + (-4)y = 2 . (-4) \rightarrow 2x – 4y = – 8 \rightarrow x – 2y = – 4 $.
Garis II : Kali silang,
$ 4x + 5y = 4.5 \rightarrow 4x + 5y = 20 $.
Garis III : Sumbu Y, persamaannya $ x = 0 $.
Garis IV : Sumbu X, persamaannya $ y = 0 $.
*). Menentukan tanda ketaksamaan masing-masing :
Kita ambil satu titik uji yang ada di DHP nya, yang paling gampang merupakan titik (0,0). Sebenarnya sanggup kita uji titik lain selama titik tersebut ada di dalam DHP nya.
Garis I : $ x – 2y = – 4 $
$ \begin{align} x – 2y & = – 4 \\ 0 – 2.0 \, & \text{(tandanya)} \, – 4 \\ 0 & > -4 \end{align} $.
Artinya 0 lebih besar dari -4, sesampai kemudian tanda ketaksamaannya $ > $.
Sesampai kemudian perttaksamaan garis I merupakan $ x – 2y \geq – 4 $.

Garis II : $ 4x + 5y = 20 $
$ \begin{align} 4x + 5y & = 20 \\ 4.0 + 5.0 \, & \text{(tandanya)} \, 20 \\ 0 & < 20 \end{align} $.
Artinya 0 lebih kecil dari 20, sesampai kemudian tanda ketaksamaannya $ < $.
Sesampai kemudian perttaksamaan garis I merupakan $ 4x + 5y \leq 20 $.

Garis III : $ x = 0 \, $
Karena kawasan himpunan penyelesaian berada di sebelah kanan garis $ x = 0 $, maka diperoleh pertaksamaan $ x \geq 0$.

Garis IV : $ y = 0 $
Karena kawasan himpunan penyelesaian berada di sebelah atas garis $ y = 0 $, maka diperoleh pertaksamaan $ y \geq 0 $

Jadi, sistem pertaksamaan yang memenuhi DHP tersebut ialah :
$ x – 2y \geq – 4 , \, 4x + 5y \leq 20 , \, x \geq 0 , \, $ dan $ \, y \geq 0 $ .