Menentukan Nilai Maksimum Fungsi Objektif Pertidaksamaan Linear

Posted on

Sebagaimana contoh-contoh lain yang telah dibahas di blog ini, langkah-langkah untuk memilih nilai maksimum fungsi tujuan dengan garfik merupakan sebagai berikut :

  1. Tentukan titik potong garis hambatan yang diberikan terhadap sumbu x dan sumbu y untuk memilih titik kordinat.
  2. Gambarkan garis hambatan ke dalam grafik sesuai dengan titik koordinat yang telah diperoleh pada langkah 1.
  3. Tentukan tempat himpunan penyelesaian yang sesuai dengan tanda pertaksamaan. Jika masih resah bagaimana memilih tempat himpunan penyelesaian, anda sanggup membaca postingan Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Pertaksamaan Linear.
  4. Tentukan titik-titik pojok yang berada dalam tempat himpunan penyelesaian dan substitusi nilainya ke dalam fungsi objektif atau fungsi tujuan untuk melihat titik mana yang menghasilkan nilai maksimum. Untuk tahap ini, kita juga sanggup memakai Garis Selidik.
Contoh soal :
  1. Apabila x, y anggota bilangan real terletak pada himpunan penyelesaian sistem pertaksamaan x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + y ≤ 8; dan x + 3y ≤ 9 maka tentukanlah nilai maximum fungsi sasaran x + 2y pada himpunan penyelesaian tersebut.
    Pembahasan :
    Tentukan titik potong masing-masing hambatan terhadap sumbu x dan sumbu y sebagai berikut :
    Untuk 2x + y = 8
    misal x = 0 , y = 8 → (0,8)
    misal y = 0 , x = 4 → (4,0)

    Untuk x + 3y = 9
    misal x = 0 , y = 3 → (0,3)
    misal y = 0 , x = 9 → (9,0)

    Selanjutnya, gambarkan garis tersebut ke dalam grafik ibarat berikut :

    Setelah itu tentukan tempat himpunan penyelesaiannya. Karena pertaksamaan bertanda lebih kecil dari sama dengan (≤), maka tempat himpunan penyelesaiannya merupakan tempat di bawah/kiri garis.

    Dari gambar sanggup dilihat bahwa ada tiga titik pojok ialah titik A, B, dan C. Titik A dan C sanggup dengan gampang ditentukan lantaran merupakan titik potong terhadap sumbu y dan sumbu x. Titik B merupakan perpotongan antara garis 2x + y = 8 dan x + 3y = 9. Dari grafik sanggup dilihat bahwa kedua garis itu berpotongan sempurna di titik (3,2).

    Langkah terakhir, substitusi nilai x dan y dari masing-masing titik pojok ke fungsi tujuan F(x,y) = x + 2y sebagai berikut :
    A(0,3) → F(0,3) = 0 + 2(3) = 6
    B(3,2) → F(3,2) = 3 + 2(2) = → maksimum.
    C(4,0) → F(4,0) = 4 + 2(0) = 4
    Kaprikornus nilai maksimum fungsi tujuannya merupakan 7 ialah pada titik B.

  2. Jika diketahui A = x + y dan B = 5x + y, maka tentukanlah jumlah nilai maksimum dari A dan B pada sistem pertaksamaan x ≥ 0; y ≥ 0; x + 2y ≤ 12; 2x + y ≤ 12.
    Pembahasan :
    Tentukan titik potong masing-masing hambatan terhadap sumbu x dan sumbu y sebagai berikut :
    Untuk x + 2y = 12
    misal x = 0 , y = 6 → (0,6)
    misal y = 0 , x = 12 → (12,0)

    Untuk 2x + y = 12
    misal x = 0 , y = 12 → (0,12)
    misal y = 0 , x = 6 → (6,0)

    Selanjutnya, gambarkan garis tersebut ke dalam grafik ibarat di atas dan tentukan tempat himpunan penyelesaiannya.

    Dari gambar sanggup dilihat bahwa ada tiga titik pojok ialah titik A, B, dan C. Titik A dan C sanggup dengan gampang ditentukan lantaran merupakan titik potong terhadap sumbu y dan sumbu x. Titik B merupakan perpotongan antara garis x + 2y = 12 dan 2x + y = 12. Dari grafik sanggup dilihat bahwa kedua garis itu berpotongan sempurna di titik (4,4) → pada gambar di atas, 1 kotak mewakili 2 satuan.

    Langkah terakhir, substitusi nilai x dan y dari masing-masing titik pojok ke fungsi tujuan A(x,y) = x + y dan B(x,y) = 5x + y sebagai berikut :
    A(0,6) → A(0,6) = 0 + 6 = 6
    B(4,4) → A(4,4) = 4 + 4 = → maksimum.
    C(6,0) → A(6,0) = 6 + 0 = 6

    A(0,6) → B(0,6) = 5(0) + 6 = 6
    B(4,4) → B(4,4) = 5(4) + 4 = 24 
    C(6,0) → B(6,0) = 5(6) + 0 = 30 → maksimum.

    Kaprikornus jumlah nilai maksimum fungsi tujuan A + B = 8 + 30 = 38

  3. Tentukan nilai maksimum dari fungsi tujuan 4x + 3y dari sistem pertaksamaan yang terdapat himpunan penyelesaian ibarat gambar di bawah ini. 

    Pembahasan :
    Pada gambar di atas, tempat yang diarsir (berwarna gelap) merupakan tempat himpunan penyelesaian sistem pertaksamaan. Daerah tersebut terdapat 4 titik pojok atau titik sudut yang di antaranya merupakan titik (0,0). Karena kita akan mencari nilai maksimum fungsi objektif atau fungsi tujuan, maka titik (0,0) tentu tak memenuhi.

    Dari gambar di atas, terdapat 3 titik pojok yang salah satunya menghasilkan nilai maksimum apabila disubstitusikan ke fungsi tujuan, ialah titik A, B, dan C. Sekarang yang harus dilakukan merupakan memilih titik-titik tersebut. Titik A dan C sanggup dengan gampang diketahui lantaran merupakan titik potong garis terhadap sumbu x dan sumbu y. Adapun titik A (0,4) dan titik C (3,0). Sementara itu, titik B merupakan perpotongan antara dua garis yang belum kita ketahui persamaan garisnya. Oleh lantaran itu, untuk mengetahui titik B sebaiknya kita tentukan terlebih dahulu persamaan garis yang saling berpotongan di titik itu dengan cara sebagai berikut :

    Sesuai dengan denah dan rumus di atas, maka :
    untuk a = 4, b = 8 
    4x + 8y = 32 → x + 2y = 8

    untuk a = 6, b = 3
    6x + 3y = 18 → 2x + y = 6

    Titik B (titik potong antara x + 2y = 8 dan 2x + y = 6) sanggup dicari dengan metode eliminasi.

    Selanjutnya substitusi masing-masing titik (A, B, dan C) ke fungsi tujuan f(x,y) = 4x + 3y.
    A (0,4) → f(x,y) = 4(0) + 3(4) = 12
    B (4/3, 10/3) → f(x,y) = 4(4/3) + 3(10/3) = 46/3 = 15,3
    C (3,0) → f(x,y) = 4(3) + 3(0) = 12

    Kaprikornus nilai maksimum fungsi tujuan dengan hambatan ibarat gambar di atas merupakan 15,3 ialah pada titik B.

Baca Juga:   Penyelesaian Pertidaksamaan Satu Variabel Berbentuk Pecahan