Menentukan Panjang Busur Dengan Integral

Posted on

         Pondok Soal.com – Aplikasi integral yang kerap dipelajari merupakan menghitung luas suatu kawasan dan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva tertentu. Pada artikel ini kita membahas aplikasi atau penggunaan integral lainnya yaitu memilih panjang busur suatu kurva. Sesampai lalu bahan yang akan kita bahas merupakan Menentukan Panjang Busur dengan Integral. Setelah mempelajari semua penggunaan dari integral, kita sanggup menyadari bahwa begitu pentingnya bahan integral.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari bahan Menentukan Panjang Busur dengan Integral, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu bahan jarak dua titik, jumlah Riemann, turunan fungsi aljabar, dan integral tentu fungsi baik aljabar inginpun trigonometri. Sebenarnya secara teori bahan panjang busur ini sangatlah mudah, hanya saja penggunaan dalam soalnya lebih sulit terutama untuk menghitung hasil integralnya.

         Menentukan Panjang Busur dengan Integral maksudnya kita akan menghitung panjang suatu busur pada batas interval tertentu dari kurva yang nampak. Perhatikan gambar gambaran berikut ini, kita akan menghitung panjang busur dari kurva fungsi $ y = f(x) \, $ dari interval $ a \leq x \leq b \, $ atau $ c \leq y \leq d \, $ :

Dari gambar di atas, untuk menghitung panjang busur kita lakukan dengan pendekatan ibarat garis warna merah yang berupa garis lurus. Misalkan kita hitung panjang garis merah dari titik $ C(x_{k-1}, y_{k-1}) \, $ ke titik $ D(x_{k}, y_{k}) \, $ yang sanggup dihitung dengan rumus jarak dua titik yaitu
jarak $ = \sqrt{(x_k – x_{k-1})^2 + (y_k – y_{k-1})^2 } = \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } $.
Artinya panjang total busur dengan pendekatan garis yaitu :
Panjang busur (pendekatan) $ \, = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } $ .
Jika kita ambil nilai $ \Delta x_k \, $ dan $ \Delta y_k \, $ sekecil cukup, artinya kayanya garis-garis lurus kecil-kecil sependek cukup yang kita peroleh untuk $ n \, $ mendekati tak hingga kemudian, sesampai lalu panjang busur sanggup dirumuskan :
Panjang busur $ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } \, $ atau dengan jumlah Riemann
Panjang busur $ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{ 1 + \left( \frac{\Delta y_k}{\Delta x_k} \right)^2 } \, \Delta x_k = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx \, $ atau
Panjang busur $ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{ \left( \frac{\Delta x_k}{\Delta y_k} \right)^2 + 1 } \, \, \Delta y_k = \int \limits_c^d \sqrt{ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 + 1 } \, \, dy $.

Baca Juga:   Cara Cepat Menghitung Luas Tempat Berkaitan Integral

         Bagaimana dengan teori di atas, niscaya terlihat sulit yah? iya, alasannya ialah kita coba untuk menemukan bagaimana asal dari rumus atau cara penghitungan panjang busur suatu kurva memakai integral. Berikut akan kita tulis rangkuman secara lebih simpel rumus panjang busur suatu kurva.

Rumus Menentukan Panjang Busur dengan Integral
Perhatikan gambar kurva berikut ini,

Panjang busur kurva $ y = f(x) \, $ dari titik $ A(a,c) \, $ ke titik $ B(b,d) \, $ sanggup dihitung dengan rumus :
*). Berdasarkan batasan sumbu X :
panjang busur AB $ \, = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx $
*). Berdasarkan batasan sumbu Y :
panjang busur AB $ \, = \int \limits_c^d \sqrt{ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 + 1 } \, \, dy $ .

Contoh soal memilih panjang busur dengan integral.
1). Tentukan panjang busur kurva $ 9y^2 = 4x^3 \, $ dari titik $ A(0,0) \, $ ke titik $ B(3, 2\sqrt{3}) $ ?
Penyelesaian :
*). Kita ubah dahulu fungsinya :
$ 9y^2 = 4x^3 \rightarrow y = \sqrt{\frac{4x^3}{9}} = \frac{2}{3} x^\frac{3}{2} $
*). Menentukan turunannya :
$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} . \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} – 1} = x^\frac{1}{2} $
*). Menentukan panjang busurnya :
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^3 \sqrt{ 1 + \left( x^\frac{1}{2} \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^3 \sqrt{ 1 + x } \, dx \\ & = \int \limits_0^3 ( 1 + x )^\frac{1}{2} \, dx \\ & = [ \frac{2}{3} ( 1 + x )^\frac{3}{2} ]_0^3 \\ & = [ \frac{2}{3} ( 1 + 3 )^\frac{3}{2} ] – [ \frac{2}{3} ( 1 + 0 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{2}{3} . 8 ] – [ \frac{2}{3} . 1 ] \\ & = \frac{2}{3} . 7 \\ & = \frac{14}{3} \end{align} $
Jadi, panjang busurnya merupakan $ \frac{14}{3} \, $ satuan panjang.

Penghitungan untuk soal nomor 1 ini menurut batasan sumbu X yaitu dari $ x = 0 \, $ hingga $ x = 3 \, $ . Bagaimana dengan perhitungan menurut sumbu Y dari $ y = 0 \, $ hingga $ y = 2\sqrt{3} \, $ ? Bisa saja kita menghitung memakai sumbu Y, hanya saja untuk soal ini agak sulit terutama saat mengintegralkan fungsi yang terbentuk.

Baca Juga:   Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

2). Tentukan panjang busur kurva $ y = 3x \, $ dari titik $ A(0,0) \, $ ke titik $ B(2,6) $ ?
Penyelesaian :
*). Cara I : Berdasarkan sumbu X, dari $ x = 0 \, $ hingga $ x = 2 $ ,
*). Menentukan turunannya :
$ y = 3x \rightarrow \frac{dy}{dx} = 3 $
*). Menentukan panjang busurnya :
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^2 \sqrt{ 1 + \left( 3 \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^2 \sqrt{ 1 + 9 } \, dx \\ & = \int \limits_0^2 \sqrt{ 10 } \, dx \\ & = [ \sqrt{ 10 } x ]_0^2 \\ & = [ \sqrt{ 10 } .2 ] – [ \sqrt{ 10 } . 0 ] \\ & = [ 2\sqrt{ 10 } ] – [ 0 ] \\ & = 2\sqrt{ 10 } \end{align} $
Jadi, panjang busurnya merupakan $ 2\sqrt{ 10 } \, $ satuan panjang.

*). Cara II : Berdasarkan sumbu Y, dari $ y = 0 \, $ hingga $ y = 6 $ ,
*). Menentukan turunannya :
$ y = 3x \rightarrow x = \frac{1}{3}y \rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{3} $
*). Menentukan panjang busurnya :
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_c^d \sqrt{ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \left( \frac{1}{3} \right)^2 + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{1}{9} + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{1+9}{9} } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{10}{9} } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \frac{1}{3}\sqrt{ 10 } \, \, dy \\ & = [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 }y ]_0^6 \\ & = [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 }. 6 ] – [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 } . 0 ] \\ & = [ 2\sqrt{ 10 } ] – [ 0 ] \\ & = 2\sqrt{ 10 } \end{align} $
Jadi, panjang busurnya merupakan $ 2\sqrt{ 10 } \, $ satuan panjang.

Bagaimana cara menghitung panjang busur (berupa lintasan) apabila fungsi $ x = f(t) \, $ dan $ y = g(t) \, $ dengan berjalan selama $ a \leq t \leq b $. Hal ini sanggup kita hitung dengan memodivikasi rumus umumnya :
Panjang $ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } = \int \limits_a^b \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } $
menjadi :
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_a^b \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } \times \frac{dt}{dt} \\ & = \int \limits_a^b \frac{ \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } } {dt} \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \frac{ \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } } {(dt)^2} \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \frac{ (d x )^2 + ( dy )^2 } {(dt)^2} } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \frac{ (d x )^2 } {(dt)^2} + \frac{ ( dy )^2 } {(dt)^2} } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, \, dt \end{align} $

Rumus Menentukan Panjang Busur yang berkaitan dengan fungsi lain
Cara menghitung panjang busur (berupa lintasan) apabila fungsi $ x = f(t) \, $ dan $ y = g(t) \, $ dengan berjalan selama $ a \leq t \leq b $.
Panjang busur $ \, = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, \, dt $

Contoh soal :
3). Misalkan suatu partikel berjalan sepanjang suatu lintasan pada koordinat cartesius yang memenuhi persamaan $ x = 3t \, $ dan $ y = \frac{8}{3} t^\frac{3}{2} $, dengan $ t \, $ dalam menit. Tentukan panjang lintasan yang ditempuh oleh partikel tersebut sesudah 1 menit dari titik asal.?

Baca Juga:   Teknik Integral Parsial

Penyelesaian :
*). Menentukan turunan masing-masing :
$ x = 3t \rightarrow \frac{dx}{dt} = 3 $
$ y = \frac{8}{3} t^\frac{3}{2} \rightarrow \frac{dy}{dt} = \frac{8}{3} . \frac{3}{2}t^\frac{1}{2} = 4t^\frac{1}{2}$
*). Menentukan panjang lintasan partikel :
$ \begin{align} \text{Panjang lintasan } & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( 3 \right)^2 + \left( 4t^\frac{1}{2} \right)^2 } \, \, dt \\ & = \int \limits_0^1 \sqrt{ 9 + 16t } \, \, dt \\ & = \int \limits_0^1 ( 9 + 16t )^\frac{1}{2} \, \, dt \\ & = [ \frac{1}{6} . \frac{2}{3} ( 9 + 16t )^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = [ \frac{1}{9} ( 9 + 16t )^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = [ \frac{1}{9} ( 9 + 16.1 )^\frac{3}{2} ] – [ \frac{1}{9} ( 9 + 16.0 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{1}{9} ( 25 )^\frac{3}{2} ] – [ \frac{1}{9} ( 9 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{1}{9} . 125 ] – [ \frac{1}{9} . 27 ] \\ & = \frac{1}{9} ( 125 – 27 ) \\ & = \frac{1}{9} ( 98 ) \\ & = \frac{98}{9} \\ & = 10\frac{8}{9} \end{align} $
Jadi, panjang lintasan yang ditempuh oleh partikel tersebut selama 1 menit merupakan $ 10\frac{8}{9} \, $ satuan panjang.