Menentukan Persamaan Kurva Dengan Integral

Posted on

         Pondok Soal.com – Dari pengertian integral, kita peroleh korelasi turunan dan integral. Pada artikel ini kita akan membahas materi Menentukan Persamaan Kurva dengan Integral dimana kita akan mementukan persamaan kurva dari turunan persamaan kurva tersebut. Materi prasyarat yang harus dikuasai terlebih dahulu merupakan “Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar“, alasannya ialah di sini kita akan membahasa bentuk fungsi aljabar saja. Sebenarnya Semua jenis fungsi sanggup kita cari persamaannya apabila diketahui turunannya.

Konsep Menentukan Persamaan Kurva dengan Integral
       Pada pengertian integral kita peroleh $ \int f(x) dx = F(x) + c \, $ dengan turunan dari $(F(x) + c) \, $ merupakan $ f(x) $, atau sanggup kita tulis $ F^\prime (x) = f(x) $. Jika kita mengganti $ f(x) = F^\prime (x) \, $ maka kita peroleh
$ \int f(x) dx = F(x) + c \leftrightarrow \int F^\prime (x) dx = F(x) + c $.

       Dari bentuk $ \int F^\prime (x) dx = F(x) + c \, $ , artinya untuk menghilangkan turunannya cukup kita integralkan saja. Penulisan bentuk $ \int F^\prime (x) dx = F(x) + c \, $ yaitu $ F(x) = \int F^\prime (x) dx – c \, $ atau $ \, F(x) = \int F^\prime (x) dx \, $ alasannya ialah integral tak tentu niscaya jadinya $ \, + c $ . Sesampai kemudian bentuk lainnya yaitu : $ f(x) = \int f^\prime (x) dx , \, $ atau $ \, y = \int y^\prime dx , \, $ atau $ \, S(t) = \int S^\prime (t) dt , \, $ dan lainnya.

Catatan :
*). Untuk menghilangkan turunan , cukup diintegralkan fungsi turunannya.
*). Jika diketahui turunan kedua, maka kita integralkan dua kali untuk memperoleh fungsi kurva aslinya. Begitu seterusnya, kita integralkan sekaya turunan yang diketahui.
*). Hasil integral dari turunannya disebut sebagai keluarga kurva alasannya ialah masih dalam bentuk $ + c \, $ hasilnya, artinya nilai $ c \, $ sanggup dimengganti dengan bermacam bilangan sesampai kemudian akan membentuk kaya persamaan kurva.
*). Untuk memilih salah satu nilai $ c \, $ , maka kita substitusikan salah satu titik yang dilalui oleh kurvanya.

Contoh soal memilih persamaan kurva :
1). Suatu kurva melalui titik (2, 1). Apabila gradien kurva itu pada setiap titik memenuhi korelasi $ \frac{dy}{dx} = 2\left( x – \frac{1}{x^2} \right) $ , tentukan persamaan kurva tersebut.

Penyelesaian :
*). Diketahui turunannya : $ y^\prime = \frac{dy}{dx} = 2\left( x – \frac{1}{x^2} \right) $.
*). Integralkan bentuk turunannya :
$ \begin{align} y & = \int y^\prime dx \\ y & = \int 2\left( x – \frac{1}{x^2} \right) dx \\ & = \int 2\left( x – x^{-2} \right) dx \\ & = 2\int \left( x – x^{-2} \right) dx \\ & = 2 \left( \frac{1}{2}x^2 – \frac{1}{-1}x^{-1} \right) + c \\ & = 2 \left( \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{x} \right) + c \\ y & = x^2 + \frac{2}{x} + c \end{align} $
*). Substitusikan titik (2,1) untuk memilih nilai $ c $ :
$ \begin{align} (x,y) = (2,1) \rightarrow y & = x^2 + \frac{2}{x} + c \\ 1 & = 2^2 + \frac{2}{2} + c \\ 1 & = 4 + 1 + c \\ c & = -4 \end{align} $
Sesampai kemudian persamaan kurvanya merupakan $ y = x^2 + \frac{2}{x} – 4 $.

Baca Juga:   Cara Cepat Menghitung Luas Tempat Berkaitan Integral

2). Jika kurva $ F(x) \, $ melalui titik (1,3) dengan $ F^\prime (x) = 3x^2 + 4x – 1 \, $. Tentukan nilai $ F(-1) $.

Penyelesaian :
*). Untuk memilih nilai $ F(-1) \, $ , kita harus memilih persamaan kurva $ F(x) \, $ terlebih dahulu.
*). Mengintegralkan :
$ \begin{align} F(x) & = \int F^\prime (x) dx \\ F(x) & = \int (3x^2 + 4x – 1) dx \\ F(x) & = x^3 + 2x – x + c \end{align} $
*). Substitusikan titik (1,3) untuk memilih nilai $ c $ :
$ \begin{align} (x,y) = (1,3) \rightarrow F(x) & = x^3 + 2x – x + c \\ 3 & = 1^3 + 2.1 – 1 + c \\ 3 & = 1 + 2 – 1 + c \\ 3 & = 2 + c \\ c & = 1 \end{align} $
Sesampai kemudian persamaan kurvanya : $ F(x) = x^3 + 2x – x + 1 $.
*). Menentukan nilai $ F(-1) $ :
$ F(x) = x^3 + 2x – x + 1 \rightarrow F(-1) = (-1)^3 + 2(-1) – (-1) + 1 = -1 $.
Jadi, nilai $ F(-1) = -1 $.

3). Diketahui biaya marginal (MC) dalam memproduksi suatu barang (Q) setiap bulan merupakan merupakan fungsi biaya terhadap kaya produksi barang dengan $ MC = \frac{dC}{dQ} = 2Q + 3 \, $. Biaya untuk memproduksi 1 unit produk merupakan tiga ratus ribu rupiah, tentukan fungsi biaya total per bulan.?
Keterangan :
Q = kaya produksi (Quantity),
C = Biaya produksi total (Total Cost),
dan MC = Biaya marginal (Marginal Cost).

Penyelesaian :
*). Diketahui : $ MC = \frac{dC}{dQ} = C^\prime (Q) = 2Q + 3 $
*). Menentukan biaya total $ C(Q) $ :
$ \begin{align} C(Q) & = \int C^\prime (Q) dQ \\ C(Q) & = \int (2Q + 3) dQ \\ C(Q) & = Q^2 + 3Q + k \end{align} $
*). Biaya untuk memproduksi 1 unit produk merupakan tiga ratus ribu rupiah, artinya $ C(1) = 3 $.
$ \begin{align} C(1) = 3 \rightarrow C(Q) & = Q^2 + 3Q + k \\ C(1) & = 1^2 + 3.1 + k \\ 3 & = 1 + 3 + k \\ k & = 1 \end{align} $
Jadi, fungsi biaya total per bulannya merupakan $ C(Q) = Q^2 + 3Q + 1 $

4). Tentukan fungsi $ y = f(x) \, $ dari persamaan diferensial $ \frac{x^2dy}{dx} = y^2\sqrt{x} \, $ dengan $ y = 1 \, $ di $ x = 1 $.

Baca Juga:   Teknik Integral Substitusi Aljabar

Penyelesaian :
*). Integralkan persamaan diferensialnya :
$ \begin{align} \frac{x^2dy}{dx} & = y^2\sqrt{x} \\ \frac{ dy}{y^2} & = \frac{\sqrt{x}}{x^2} dx \\ y^{-2}dy & = x^{-\frac{3}{2}} dx \\ \int y^{-2}dy & = \int x^{-\frac{3}{2}} dx \\ \frac{1}{-2+1}y^{-2+1} & = \frac{1}{-\frac{3}{2} + 1} x^{-\frac{3}{2} + 1} + c \\ -y^{-1} & = \frac{1}{-\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2} } + c \\ -y^{-1} & = (-2) \frac{1}{x^{\frac{1}{2} }} + c \\ \frac{1}{y} & = \frac{2}{\sqrt{x}} + c \end{align} $
*). Substitusi nilai $ y = 1 \, $ di $ x = 1 $.
$ \begin{align} \frac{1}{y} & = \frac{2}{\sqrt{x}} + c \\ \frac{1}{1} & = \frac{2}{\sqrt{1}} + c \\ 1 & = 2 + c \\ c & = -1 \end{align} $
Sesampai kemudian : $ \frac{1}{y} = \frac{2}{\sqrt{x}} – 1 $.
*). Menentukan bentuk $ y = f(x) $
$ \begin{align} \frac{1}{y} & = \frac{2}{\sqrt{x}} – 1 \\ \frac{1}{y} & = \frac{2}{\sqrt{x}} – \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \\ \frac{1}{y} & = \frac{2 – \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \\ y & = \frac{\sqrt{x}}{2 – \sqrt{x}} \end{align} $
Jadi, fungsi $ y = f(x) \, $ merupakan $ y = \frac{\sqrt{x}}{2 – \sqrt{x}} $ .

5). Suatu kurva $ y = f(x) \, $ melalui titik (1,2) dengan gradien garis singgungnya merupakan -5 di titik tersebut. Jika $ f^{\prime \prime } (x) = 6x + 4 \, $ , tentukan persamaan kurvanya?

Penyelesaian :
*). Menentukan bentuk $ f^\prime (x) \, $ dengan mengintegralkan $ f^{\prime \prime } (x) $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \int f^{\prime \prime } (x) dx \\ f^\prime (x) & = \int ( 6x + 4 ) (x) dx \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x + c_1 \end{align} $
*). Gradiennya merupakan $ – 5 \, $ di ketika $ x = 1 $, artinya $ f^\prime (1) = -5 $
Karena gradien $ m = f^\prime (x) $.
Silahkan baca : “Persamaan Garis Singgung pada Kurva Menggunakan Turunan”.
*). Menentukan nilai $ c_1 \, $ dengan $ f^\prime (1) = -5 $
$ \begin{align} f^\prime (1) = – 5 \rightarrow f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x + c_1 \\ f^\prime (1) & = 3.1^2 + 4.1 + c_1 \\ -5 & = 3 + 4 + c_1 \\ c_1 & = -12 \end{align} $
Sesampai kemudian : $ f^\prime (x) = 3x^2 + 4x – 12 $.
*). Menentukan bentuk $ f(x) \, $ dari $ f^\prime (x) $ :
$ \begin{align} f(x) & = \int f^{\prime } (x) dx \\ f(x) & = \int (3x^2 + 4x – 12) dx \\ f(x) & = x^3 + 2x^2 – 12x + c_2 \end{align} $
*). Kurva melalui titik (1,2), artinya $ f(1) = 2 $ :
$ \begin{align} f(1) = 2 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 – 12x + c_2 \\ f(1) & = 1^3 + 2.1^2 – 12.1 + c_2 \\ 2 & = 1 + 2 – 12 + c_2 \\ c_2 & = 11 \end{align} $
sesampai kemudian $ f(x) = x^3 + 2x^2 – 12x + 11 $ .
Jadi, persamaan kurvanya merupakan $ f(x) = x^3 + 2x^2 – 12x + 11 $ .

Penerapan Integral di Bidang Fisika
       Pada bidang fisika ada yang namanya fungsi lintasan $ (s(t)) \, $ fungsi kecepatan $ (v(t)) \, $ dan fungsi percepatan $ (a(t)) $. Dari materi “Kecepatan dan Percepatan Menggunakan Turunan“, kita peroleh :
*). Kecepatan merupakan laju perubahan dari lintasan terhadap perubahan waktu
$ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} = s^\prime (t) \, $ sesampai kemudian :
$ s(t) = \int s^\prime (t) dt = \int v(t) dt $.
*). Percepatan merupakan laju perubahan kecepatan terhadap perubahan waktu
$ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = v^\prime (t) = s^{\prime \prime } (t) \, $ sesampai kemudian :
$ v(t) = \int v^\prime (t) dt = \int a(t) dt $.

Contoh soal :
6). Sebuah partikel diamati pada interval waktu tertentu dan diperoleh data bahwa fungsi percepatan memenuhi pola dengan fungsi $ a(t) = -2t^2 + 3t +1 $ . Tentukan fungsi lintasan partikel tersebut apabila deketahui $ v_0 = 2 \, $ dan $ s_0 = 1 $.

Baca Juga:   Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak

Penyelesaian :
*). Diketahui : $ a(t) = -3t^2 + 4t +1 $
*). Menentukan kecepatan $(v(t)) $ :
$ \begin{align} v(t) & = \int a(t) dt \\ v(t) & = \int ( -3t^2 + 4t +1 ) dt \\ v(t) & = \frac{-3}{2+1}t^3 + \frac{4}{1+1}t^2 + t + c_1 \\ v(t) & = -t^3 + 2t^2 + t + c_1 \end{align} $
*). Bentuk $ v_0 = 2 \, $ artinya kecepatan awalnya merupakan 2 ketika $ t = 0 \, $ atau sanggup ditulis $ v(0) = 2 $.
*). substitusi $ v(0) = 2 $ :
$ \begin{align} v(0) = 2 \rightarrow v(t) & = -t^3 + 2t^2 + t + c_1 \\ v(0) & = -0^3 + 2.0^2 + 0 + c_1 \\ 2 & = -0 + 0 + 0 + c_1 \\ c_1 & = 2 \end{align} $
sesampai kemudian $ v(t) = -t^3 + 2t^2 + t + 2 $
*). Menentukan fungsi lintasan $(s(t)) $ :
$ \begin{align} s(t) & = \int v(t) dt \\ s(t) & = \int -t^3 + 2t^2 + t + 2 dt \\ s(t) & = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + c_2 \end{align} $
*). Bentuk $ s_0 = 1 \, $ artinya lintasan awalnya merupakan 1 ketika $ t = 0 \, $ atau sanggup ditulis $ s(0) = 1 $.
*). substitusi $ s(0) = 1 $ :
$ \begin{align} s(0) = 1 \rightarrow s(t) & = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + c_2 \\ s(0) & = -\frac{1}{4}.0^4 + \frac{2}{3}.0^3 + \frac{1}{2}.0^2 + 2.0 + c_2 \\ 1 & = 0 + 0 + 0 + 0 + c_2 \\ c_2 & = 1 \end{align} $
sesampai kemudian $ s(t) = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + 1 $
Jadi, fungsi panjang lintasannya merupakan $ s(t) = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + 1 $.