Menentukan Turunan Kedua Dan Turunan Lanjut

Posted on

         Pondok Soal.com – Untuk bahan sebelumnya kita telah mempelajari “turunan fungsi aljabar” dan “turunan fungsi trigonometri”, namun turunan yang kita cari merupakan turunan pertama saja. Pada artikel kali ini kita akan membahas bahan menentukan turunan kedua dan turunan lanjut dari sebuah fungsi. Turunan lanjut di sini maksudnya merupakan turunan ketiga, turunan keempat, dan seterusnya.

Menentukan Turunan Kedua dan Turunan lanjutnya
       Kita telah mempelajari turunan pertama suatu fungsi $ y = f(x) \, $ yang dinotasikan $ \frac{dy}{dx} \, $ atau $ y^\prime \, $ atau $ \frac{df(x)}{dx} \, $ atau $ f^\prime (x) $.

       Turunan dari turunan pertama dari suatu fungsi dinamakan turunan kedua, yang dinotasikan :
$ \frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d^2 y }{dx^2} \, $ atau ditulis $ y^{\prime \prime } $
$ \frac{d}{dx}\left( \frac{df(x)}{dx} \right) = \frac{d^2 f(x) }{dx^2} \, $ atau ditulis $ f^{\prime \prime } (x) $

Artinya turunan kedua dinotasikan :
$ \frac{d^2 y }{dx^2} \, $ atau $ y^{\prime \prime } \, $ atau $ \frac{d^2 f(x) }{dx^2} \, $ atau $ f^{\prime \prime } (x) $

       Dengan menurunkan lagi turunan kedua yang ada, maka kita peroleh turunan ketiga. Turunan ketiga kita turunkan lagi, kita akan peroleh turunan keempat, begitu seterusnya.
Untuk memudahkan dalam melaksanakan penurunan, silahkan baca juga rumus dasar “turunan fungsi aljabar” dan “turunan fungsi trigonometri“.

Contoh :
1). Tentukan Turunan kedua dan ketiga dari fungsi :
a). $ y = x^4 – 2x^2 $
b). $ f(x) = 3\sqrt{x} $
c). $ y = \sin (2x+3) $
Penyelesaian :
a). Fungsi $ y = x^4 – 2x^2 $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ y^\prime $) ,
$ y = x^4 – 2x^2 \rightarrow y^\prime = 4x^3 – 4x $
*). Menentukan turunan keduanya ($ y^{\prime \prime } $ ),
$ y^\prime = 4x^3 – 4x \rightarrow y^{\prime \prime } = 12x^2 – 4 $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ y^{\prime \prime \prime } $),
$ y^{\prime \prime } = 12x^2 – 4 \rightarrow y^{\prime \prime \prime } = 24x $

Baca Juga:   Menggambar Grafik Fungsi Memakai Turunan

b). Fungsi $ f(x) = 3\sqrt{x} $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ f^\prime (x) $) ,
$ f(x) = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \rightarrow f^\prime (x) = 3.\frac{1}{2} . x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}. \frac{1}{x^\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
*). Menentukan turunan keduanya ($ f^{\prime \prime } (x) $ ),
$ f^\prime (x) = \frac{3}{2} . x^{-\frac{1}{2}} \rightarrow f^{\prime \prime } (x) = \frac{3}{2} . (-\frac{1}{2}) . x^{-\frac{3}{2}} = – \frac{3}{4} . x^{-\frac{3}{2}} = – \frac{3}{4\sqrt{x^3} } $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ f^{\prime \prime \prime } (x) $),
$ f^{\prime \prime } (x) = – \frac{3}{4} . x^{-\frac{3}{2}} \rightarrow f^{\prime \prime \prime } (x) = – \frac{3}{4} . -\frac{3}{2} . x^{-\frac{5}{2}} = \frac{9}{8 \sqrt{x^5} } $

c). Fungsi $ y = \sin (2x+3) $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ y^\prime $) ,
$ y = \sin (2x+3) \rightarrow y^\prime = 2 \cos (2x+3) $
*). Menentukan turunan keduanya ($ y^{\prime \prime } $ ),
$ y^\prime = 2 \cos (2x+3) \rightarrow y^{\prime \prime } = -2.2 \sin (2x + 3) = -4 \sin (2x+3) $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ y^{\prime \prime \prime } $),
$ y^{\prime \prime } = -4 \sin (2x+3) \rightarrow y^{\prime \prime \prime } = -4 . 2 \cos (2x+3) = -8\cos (2x+3) $

2). Tentukan nilai $ f^{\prime \prime } (1) \, $ dan $ f^{\prime \prime \prime } (2) \, $ dari fungsi $ y = x^4 – 2x^2 + x – 1 $ ?
Penyelesaian :
Fungsi $ f(x) = x^4 – 2x^2 + x – 1 $
*). Menentukan turunan pertamanya ($ f^\prime (x) $) ,
$ f(x) = x^4 – 2x^2 + x – 1 \rightarrow f^\prime (x) = 4x^3 – 4x + 1 $
*). Menentukan turunan keduanya ($ f^{\prime \prime } (x) $ ),
$ f^\prime (x) = 4x^3 – 4x + 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 – 4 $
Sesampai lalu nilai $ f^{\prime \prime } (1) = 12.1^2 – 4 = 8 $
*). Menentukan turunan ketiganya ($ f^{\prime \prime \prime } (x) $),
$ f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 – 4 \rightarrow f^{\prime \prime \prime } (x) = 24x $
Sesampai lalu nilai $ f^{\prime \prime \prime } (2) = 24.2 = 48 $
Jadi, nilai $ f^{\prime \prime } (1) = 8 \, $ dan $ f^{\prime \prime \prime } (2) = 48 $

Baca Juga:   Nilai Stasioner Suatu Fungsi Dan Jenisnya

Catatan : Turunan kedua suatu fungsi sanggup dipergunakan untuk memilih jenis satasioner suatu fungsi dan biasanya dipakai untuk memilih percepatan dari suatu fungsi jarak.