Menggambar Grafik Fungsi Memakai Turunan

Posted on

         Pondok Soal.com – Aplikasi turunan lain yang lebih menarik lagi merupakan menggambar grafik fungsi, sesampai lalu pada artikel kali ini kita akan membahas menggambar grafik fungsi memakai turunan baik fungsi aljabar inginpun fungsi trigonometri. Untuk memudahkan mempelajari bahan ini, sebaiknya kita pelajari dahulu bahan “turunan fungsi aljabar“, “turunan fungsi trigonometri“, serta “nilai stasionernya dan jenisnya“.

Langkah – Langkah Menggambar Grafik Fungsi Menggunakan Turunan
       Berikut langkah-langkah mengambar grafik suatu fungsi memakai turunan :
i). Menentukan titik potong (tipot) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y).
Titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 $ .
Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ .

ii). Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik balik maksimum, dan titik belok).

iii). Menentukan titik pertolongan lain biar grafiknya lebih gampang sketsa, atau sanggup juga secara umum memilih nilai $ y $ untuk $ x $ besar nyata dan untuk $ x $ besar negatif.

Contoh :
1). Gambarlah grafik kurva $ y = 3x^2 – x^3 $.
Penyelesaian :
i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu :
*). Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow y & = 3x^2 – x^3 \\ 0 & = 3x^2 – x^3 \\ 3x^2 – x^3 & = 0 \\ x^2 ( 3 – x) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 3 \end{align} $
Sesampai lalu titik potong sumbu X merupakan (0,0) dan (3,0).
*). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $
$ y = 3x^2 – x^3 = 3.0^2 – 0^3 = 0 $
Sesampai lalu titik potong sumbu Y merupakan (0,0).

ii). Menentukan titik-titik stasioner,
Fungsi : $ y = 3x^2 – x^3 $
$ f^\prime (x) = 6x – 3x^2 \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = 6 – 6x $ .
*). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 6x – 3x^2 & = 0 \\ 3x ( 2 – x) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 2 \end{align} $
*). Nilai stasionernya : substitusi ke fungsi awal.
Untuk $ x = 0 \, $ , nilai stasionernya $ f(0) = 3.0^2 – 0^3 = 0 $
titik stasionernya (0,0) .
Untuk $ x = 2 \, $ , nilai stasionernya $ f(2) = 3.2^2 – 2^3 = 4 $
titik stasionernya (2,4).
*). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = 6 – 6x $
Untuk $ x = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) = 6 – 6.0 = 6 \, $ (positif) , jenisnya minimum.
Untuk $ x = 2 \rightarrow f^{\prime \prime } (2) = 6 – 6.2 = -6 \, $ (negatif) , jenisnya maksimum.
Artinya titik (0,0) merupakan titik balik minimum dan titik (2,4) merupakan titik balik maksimum.

Baca Juga:   Turunan Fungsi Logaritma Dan Eksponen

iii). Berdasarkan fungsi $ y = 3x^2 – x^3 , \, $ kita substitusi sedikit nilai $ x \, $ ialah :
Untuk $ x \, $ semakin besar, nilai $ y \, $ semakin besar negatif (ke bawah) dan untuk $ x \, $ semakin kecil, nilai $ y \, $ semakin besar nyata (ke atas).

2). Gambarlah grafik kurva $ y = x^4 – 4x^3 $ .
Penyelesaian :
i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu :
*). Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow y & = x^4 – 4x^3 \\ 0 & = x^4 – 4x^3 \\ x^4 – 4x^3 & = 0 \\ x^3 ( x – 4 ) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 4 \end{align} $
Sesampai lalu titik potong sumbu X merupakan (0,0) dan (4,0).
*). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $
$ y = x^4 – 4x^3 = 0^4 – 4.0^3 = 0 $
Sesampai lalu titik potong sumbu Y merupakan (0,0).

ii). Menentukan titik-titik stasioner,
Fungsi : $ y = x^4 – 4x^3 $
$ f^\prime (x) = 4x^3 – 12x^2 \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 – 24x $ .
*). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 4x^3 – 12x^2 & = 0 \\ 4x^2 (x – 3) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 3 \end{align} $
*). Nilai stasionernya : substitusi ke fungsi awal.
Untuk $ x = 0 \, $ , nilai stasionernya $ f(0) = 0^4 – 4.0^3 = 0 $
titik stasionernya (0,0) .
Untuk $ x = 3 \, $ , nilai stasionernya $ f(2) = 3^4 – 4.3^3 = -27 $
titik stasionernya (3,-27).
*). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 – 24x $
Untuk $ x = 0 \rightarrow f^{\prime \prime } (0) = 12.0^2 – 24.0 = 0 \, $ (nol) , jenisnya titik belok.
Untuk $ x = 3 \rightarrow f^{\prime \prime } (3) = 12.3^2 – 24.3 = 36 \, $ (positif) , jenisnya minimum.
Artinya titik (0,0) merupakan titik belok dan titik (3,27) merupakan titik balik minimum.

iii). Berdasarkan fungsi $ y = x^4 – 4x^3 , \, $ kita substitusi sedikit nilai $ x \, $ ialah :
Untuk $ x \, $ semakin besar, nilai $ y \, $ semakin besar nyata (ke atas) dan untuk $ x \, $ semakin kecil, nilai $ y \, $ semakin besar nyata (ke atas).

3). Gambarlah grafik kurva $ y = \sin x \, $ untuk $ 0 \leq x \leq 360^\circ $ .
Penyelesaian :
i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu :
*). Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow y & = \sin x \\ 0 & = \sin x \\ \sin x & = 0 \\ x = 0 , \, x = 180^\circ = \pi \vee x & = 360^\circ = 2\pi \end{align} $
Sesampai lalu titik potong sumbu X merupakan $ (0,0), \, (180^\circ , 0), \, (360^\circ, 0) $ .
*). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $
$ y = \sin x = \sin 0 = 0 $
Sesampai lalu titik potong sumbu Y merupakan (0,0).

Baca Juga:   Turunan Fungsi Trigonometri

ii). Menentukan titik-titik stasioner,
Fungsi : $ y = \sin x $
$ f^\prime (x) = \cos x \, $ dan $ f^{\prime \prime } (x) = -\sin x $ .
*). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ \cos x & = 0 \\ x = 90^\circ = \frac{1}{2}\pi \vee x & = 270^\circ = \frac{3}{2}\pi \end{align} $
*). Nilai stasionernya : substitusi ke fungsi awal.
Untuk $ x = 90^\circ \, $ , nilai stasionernya $ f(90^\circ) = \sin 90^\circ = 1 $
titik stasionernya ($ 90^\circ , 1$) .
Untuk $ x = 270^\circ \, $ , nilai stasionernya $ f(270^\circ) = \sin 270^\circ = -1 $
titik stasionernya ($ 270^\circ , -1$).
*). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : $ f^{\prime \prime } (x) = -\sin x $
Untuk $ x = 90^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (90^\circ) = – \sin 90^\circ = -1 \, $ (negatif) , jenisnya maksimum.
Untuk $ x = 270^\circ \rightarrow f^{\prime \prime } (270^\circ) = -\sin 270^\circ = 1 \, $ (positif) , jenisnya minimum.
Artinya titik ($ 90^\circ , 1$) merupakan titik balik maksimum dan titik ($ 270^\circ , -1$) merupakan titik balik minimum.

Berikut gambar grafik fungsi $ y = \sin x \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $ .