Menghitung Luas Tempat Memakai Integral

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah kita mempelajari cara mengintegralkan suatu fungsi baik itu fungsi aljabar inginpun fungsi trigonometri, sudah saatnya kita akan mempelajari penggunaan integral itu sendiri. Ada sedikit penggunaan dari integral diantaranya ialah menghitung luas tempat yang dibatasi oleh sedikit kurva, menghitung volume benda putar, dan menghitung panjang lintasan suatu kurva. Pada artikel ini akan kita bahas salah satunya ialah Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral.

         Dalam mempelajari bahan Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral ini, ada sedikit hal yang harus kita kuasai terlebih dahulu selain menguasai cara pengintegralan ialah menggambar grafik suatu fungsi. Grafik atau kurva yang biasa dihitung luasnya merupakan grafik fungsi linear (berupa garis) dan grafik fungsi kuadrat (berupa parabola). Terkadang juga melibatkan grafik dengan fungsi selain linear dan kuadrat dimanan untuk menggambar kurvanya sanggup memakai turunan yang sanggup dibaca pada artikel Menggambar Grafik Fungsi Menggunakan Turunan.

         Cara Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral bersama-sama dibagi menjadi dua secara garis besarnya ialah luas tempat dengan batas ada di sumbu X dan luas tempat yang batasnya ada pada sumbu Y. Kemudian untuk masing-masing baik batas di sumbu X inginpun sumbu Y dibagi lagi menjadi sedikit bagian. Untuk lebih terangnya, mari kita baca materinya pribadi pada pembagian terstruktur mengenai berikut ini.

Luas Daerah dengan Batas pada Sumbu X
$\spadesuit \, $ Luas Daerah dibatasi Satu Kurva pada sumbu X
       Untuk tempat yang dibatasi oleh satu kurva terdapat dua tipe luas ialah luas dengan tempat di atas sumbu X dan tempat berada di bawah sumbu X menyerupai gambar berikut ini :

*). Luas Daerah R di atas sumbu X yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) \, $ , sumbu X, garis $ x = a \, $ dan garis $ x = b \, $ , dengan $ f(x) \geq 0 \, $ pada interval $[a,b] \, $ , sanggup dihitung dengan rumus integral :
              Luas R $ \, = \int \limits_a^b f(x) dx $.
*). Luas Daerah S di bawah sumbu X yang dibatasi oleh kurva $ y = g(x) \, $ , sumbu X, garis $ x = c \, $ dan garis $ x = d \, $ , dengan $ g(x) \leq 0 \, $ pada interval $[c,d] \, $ , sanggup dihitung dengan rumus integral :
              Luas S $ \, = – \int \limits_c^d g(x) dx $.
Catatan : Kenapa luas tempat di bawah sumbu X diberi tanda negatif? lantaran nilai fungsi di bawah sumbu X negatif padahal luasan suatu tempat selalu bernilai konkret sesampai kemudian diberi atau dikalikan negatif semoga bernilai positif.

$\spadesuit \, $ Luas Daerah dibatasi Dua Kurva pada sumbu X
       Untuk luas tempat yang terletak di antara dua kurva dengan batas ada di sumbu X sanggup dilihat gambar berikut ini.

Daerah U terletak antara dua kurva (dibatasi oleh dua kurva) ialah kurva fungsi $ y_1 = f(x) \, $ dan $ y_2 = g(x) \, $ dengan batas pada sumbu X ialah terletak pada interval $[a,b] \, $ secara umum sanggup dihitung dengan MENGURANGKAN KURVA ATAS dan KURVA BAWAH dimanapun letak kurva tersebut. Sesampai kemudian luas tempat U sanggup dihitung dengan rumus :
              Luas U $ \, = \int \limits_a^b (y_1 – y_2) dx = \int \limits_a^b (f(x) – g(x)) dx $

Baca Juga:   Cara Cepat Menghitung Luas Tempat Berkaitan Integral

Contoh Soal Luas Daerah pada Sumbu X :
1). Hitunglah luas tempat yang dibatasi oleh kurva $ y = 4x – x^2, x = 1, x = 3$, dan sumbu X.

Penyelesaian :
*). Kita gambar dahulu kurva dan arsiran tempat yang dimaksud.

Untuk cara menggambarnya, silahkan baca artikel Sketsa dan Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat.
*). Menentukan luas tempat yang diarsir :
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_1^3 f(x) dx \\ & = \int \limits_1^3 (4x – x^2) dx \\ & = [2x^2 – \frac{1}{3}x^3]_1^3 \\ & = [2.3^2 – \frac{1}{3}.3^3] – [2.1^2 – \frac{1}{3}.1^3] \\ & = [18 – 9] – [2 – \frac{1}{3} ] \\ & = 7\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luas tempat yang diarsir merupakan $ 7\frac{1}{3} \, $ satuan luas.

2). Tentukan luas tempat yang diarsir pada Gambar berikut dengan memakai integral.

Penyelesaian :
*). Karena L2 terletak di bawah sumbu X (bernilai negatif), L2 diberi tanda negatif (agar menjadi positif). Oleh lantaran itu, luas tempat yang dicari merupakan sebagai berikut.
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = L_1 + (-L_2) = L_1 – L_2 \\ & = \int \limits_0^1 ( x^2 – 5x + 4) dx – \int \limits_1^4 ( x^2 – 5x + 4) dx \\ & = [\frac{1}{3}x^3 – \frac{5}{2}x^2 + 4x]_0^1 – [\frac{1}{3}x^3 – \frac{5}{2}x^2 + 4x]_1^4 \\ & = 6\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luas tempat yang diarsir merupakan $ 6\frac{1}{3} \, $ satuan luas.

3). Tentukanlah luas tempat yang dibatasi oleh kurva $ f(x) = – sin x , \, 0 \leq x \leq 2\pi $, dan sumbu-x.

Penyelesaian :
*). Kita gambar dahulu kurva $ f(x) = – \sin x \, $ dan tempat arsirannya.

*). Menentukan luas tempat arsiran.
Luas tempat arisran terdiri dari dua tempat ialah A1 dan A2, dimana A2 ada di bawah sumbu X sesampai kemudian kita berikan tanda negatif semoga luasnya positif.
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = A_1 + (-A_2) = A_1 – A_2 \\ & = \int \limits_\pi^{2\pi} ( -\sin x) dx – \int \limits_0^\pi (-\sin x) dx \\ & = [\cos x]_\pi^{2\pi} – [\cos x]_0^\pi \\ & = ([\cos 2\pi ] – [\cos \pi ] ) – ([\cos \pi ] – [\cos 0 ] ) \\ & = ([1] – [ – 1] ) – ([ – 1 ] – [ 1 ] ) \\ & = (2 ) – (- 2) \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, luas tempat yang diarsir merupakan 4 satuan luas.

4). Hitunglah luas tempat yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 – 2x \, $ dan $ y = 6x – x^2 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua kurva :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 – 2x & = 6x – x^2 \\ 2x^2 – 8x & = 0 \\ 2x(x-4) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 4 \end{align} $
artinya titik potong kedua kurva di $ x = 0 \, $ dan $ x = 4 $.
*). Berikut gambar daerahnya,

*). Menentukan luas tempat arsiran.
Daerah arsiran dibatasi oleh dua kurva ialah $ y = x^2 – 2x \, $ (di atas) dan $ y = 6x-x^2 \, $ (di bawah).
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^4 [( x^2 – 2x ) – ( 6x-x^2) ] dx \\ & = \int \limits_0^4 ( 2x^2 – 8x ) dx \\ & = [ \frac{2}{3}x^3 – 4x^2 ]_0^4 \\ & = 21\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luas tempat yang diarsir merupakan $ \, 21\frac{1}{3} \, $ satuan luas.

Baca Juga:   Pembuktian Teorema Mendasar Kalkulus I Dan Ii

5). Tentukanlah luas tempat yang dibatasi oleh kurva $ f(x) = 4 – x^2$, garis $ x = 0$, dan di atas garis $ y = 1$, di kuadran I.
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua kurva :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ 4 – x^2 & = 1 \\ x^2 & = 3 \\ x & = \pm \sqrt{3} \\ x = -\sqrt{3} \vee x & = \sqrt{3} \end{align} $
Karena tempat yang dimaksud merupakan kuadran I, maka titik potong yang digunakan merupakan $ x = \sqrt{3} \, $ (positif).
*). Berikut gambar daerahnya,

*). Menentukan luas tempat arsiran.
Daerah arsiran dibatasi oleh dua kurva ialah $ y = 4 – x^2 \, $ (di atas) dan $ y = 1 \, $ (di bawah).
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^\sqrt{3} [( 4 – x^2 ) – ( 1 ) ] dx \\ & = \int \limits_0^\sqrt{3} [3 – x^2 ] dx \\ & = [3x – \frac{1}{3}x^3 ]_0^\sqrt{3} \\ & = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, luas tempat yang diarsir merupakan $ \, 2\sqrt{3} \, $ satuan luas.

Luas Daerah dengan Batas pada Sumbu Y
       Bagaimana dengan luas tempat dengan batas yang ada pada sumbu Y? Rumus dan cara penghitungannya hampir sama dengan luas tempat dengan batas pada sumbu X, hanya saja fungsinya harus diubah menjadi bentuk $ x = f(y) \, $ . Sementara luas yang dibatasi oleh dua kurva, caranya PENGURANGAN FUNGSI KURVA KANAN DAN FUNGSI KURVA KIRI. Kesulitan dari luas tempat yang batasnya pada sumbu Y merupakan dalam mengubah fungsinya menjadi bentuk $ x = f(y) $. Sesampai kemudian kekayaan soal dikerjakan dengan cara memakai batas pada sumbu X menyerupai di atas.

Contoh soal :
6). Kita akan coba untuk menghitung luas tempat dengan integral pada teladan soal nomor 5 di atas dengan batas yang kita gunakan ada pada sumbu Y.
Fungsinya merupakan $ y = 4 – x^2 \rightarrow x = \sqrt{4 – y } $.
Batasnya merupakan dari $ y = 1 \, $ hingga $ y = 4 $.
Rumus dasar yang digunakan : $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $.
*). Menghitung luasnya :
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_1^4 \sqrt{4 – y } dy \\ & = [ -\frac{2}{3} (4 – y)^\frac{3}{2} ]_1^4 \\ & = [ -\frac{2}{3} (4 – 4)^\frac{3}{2} ] – [ -\frac{2}{3} (4 – 1)^\frac{3}{2} ] \\ & = [ 0 ] – [ -\frac{2}{3} (3)^\frac{3}{2} ] \\ & = [ 0 ] – [ -\frac{2}{3} 3\sqrt{3} ] \\ & = [ 0 ] – [ -2\sqrt{3} ] \\ & = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, luas tempat yang diarsir merupakan $ \, 2\sqrt{3} \, $ satuan luas.

Baca Juga:   Jumlah Riemann Pada Integral

Contoh soal yang belum diketahui fungsinya.
7). Hitunglah luas tempat yang diarsir berikut ini :

Penyelesaian :
a). Daerah gambar (a) dibatasi oleh fungsi linear (garis lurus), sesampai kemudian kita harus memilih fungsi linearnya terlebih dahulu lantaran fungsinya belum ada. Silahkan baca bahan : Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus.
*). Garis melalui titik $(x_1,y_1) = (-2,0)\ , $ dan $ (x_2,y_2) = (0,1) $ :
*). Persamaan garis lurusnya :
$\begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-0}{1-0} & = \frac{x-(-2)}{0-(-2)} \\ \frac{y}{1} & = \frac{x + 2}{2} \\ y & = \frac{1}{2}x + 1 \end{align} $
Artinya fungsi linearnya merupakan $ y = \frac{1}{2}x + 1 $
*). Menghitung luasnya :
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^2 \frac{1}{2}x + 1 dx \\ & = [ \frac{1}{4}x^2 + x ]_0^2 \\ & = [ \frac{1}{4}. 2^2 + 2 ] – [ \frac{1}{4}x.0^2 + 0 ] \\ & = [ 3 ] – [ 0 ] \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, luas tempat yang diarsir merupakan $ \, 3 \, $ satuan luas.

b). Daerah gambar (b) dibatasi oleh fungsi kuadrat (sebab kurvanya berupa parabola), sesampai kemudian kita harus memilih fungsi kuadratnya. Silahkan baca bahan : Menyusun dan Menentukan Fungsi Kuadrat.
*). Titik puncaknya $(x_p,y_p) = (3,0) \, $ dan melalui titik (0,3)
*). Menyusun fungsi kuadratnya :
$\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-3)^2 + 0 \\ y & = a(x-3)^2 \, \, \, \, \, \, \text{[substitusi titik (0,3)]} \\ 3 & = a(0-3)^2 \\ 3 & = 9a \\ a & = \frac{1}{3} \end{align} $
Artinya fungsi kuadratnya merupakan
$ y = \frac{1}{3} (x-3)^2 = \frac{1}{3} (x^2 – 6x + 9) \rightarrow y = \frac{1}{3}x^2 – 2x + 3 $
*). Menghitung luasnya :
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^3 \frac{1}{3}x^2 – 2x + 3 dx \\ & = [ \frac{1}{9}x^3 – x^2 + 3x ]_0^3 \\ & = [ \frac{1}{9}.3^3 – 3^2 + 3.3 ] – [ \frac{1}{9}.0^3 – 0^2 + 3.0 ] \\ & = [ 3 ] – [ 0 ] \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, luas tempat yang diarsir merupakan $ \, 3 \, $ satuan luas.

       Dari semua teladan dan cara penghitungan Luas Daerah Menggunakan Integral di atas, perlu kita ketahui bahwa setiap pengerjaan memakai integral harus memerlukan fungsi kurva masing-masing, tempat arsiran, dan batasan baik pada sumbu X inginpun sumbu Y. Untuk pemilihan batas integralnya (sumbu X atau sumbu Y) sebaiknya kita sesuaikan dengan masing-masing soal dan fungsi yang ada.

       Apakah sanggup memilih luas tempat memakai integral tanpa harus menggambar kurvanya? Untuk sedikit jenis soal memang sanggup tanpa harus menggambar grafiknya atau kurvanya terlebih dahulu. Silahkan baca materinya pada artikel : cara cepat menghitung luas tempat berkaitan integral.