Menghitung Nilai Sin Dan Cos 15+ Derajat

Posted on

         Pondok Soal.com – Rumus dasar sudut ganda trigonometri salah satunya sanggup kita gunakan untuk Menghitung Nilai sin dan cos 15 derajat yang akan kita bahas pada artikel ini. Selain memakai sudut ganda, juga akan memakai rumus dasar pengurangan sudut pada trigonometri. Sudut 15 derajat merupakan salah satu sudut bukan istimewa yang tentu tak kita hafalkan nilainya, akan tenamun sanggup kita hitung nilai sin dan cos nya dengan tunjangan rumus trigonometri. Harapannya akan menambah wawasan tetang nilai trigonometri sudut-sudut tak istimewa salah satunya sudut 15 derajat.

         Ada dua cara yang akan kita terapkan dalam Menghitung Nilai sin dan cos 15 derajat ialah memakai rumus sudut ganda dan rumus pengurangan sudut pada trigonometri. Untuk sudut ganda, kita akan membutuhkan nilai cos 30 derajat . Sementara untuk rumus pengurangan sudut, kita membutuhkan nilai sin dan cos sudut 30 dan 45 derajat. Untuk lebih terangnya, pribadi saja kita baca pembahasannya berikut ini.

Rumus Dasar Trigonometri

$\clubsuit \, $ Rumus Susdut ganda :
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \, \, $ dan $ \cos A = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} $
$ \spadesuit \, $ Rumus pengurangan sudut :
$ \sin (A – B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B $
$ \cos (A – B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $
*). Nilai trigonmetri sudut 30 dan 45 derajat :
$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \, \, \, $ dan $ \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
$ \sin 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2} \, \, \, $ dan $ \cos 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2} $

Nilai Sin dan Cos 15 derajat
$ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } = \frac{1}{4}(\sqrt{6} – \sqrt{2} ) $
$ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \sqrt{3} } = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) $

Cara I : Menggunakan sudut ganda
*). Nilai sin 15 derajat,
$ \begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \\ \sin 15^\circ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2 \times 15^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 30^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{2- \sqrt{3}}{4}} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } $

Baca Juga:   Menentukan Nilai Sin Cos 21 Dan 24 Derajat

*). Nilai cos 15 derajat,
$ \begin{align} \cos A & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} \\ \cos 15^\circ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2 \times 15^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 30^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{2+ \sqrt{3}}{4}} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ 2+ \sqrt{3} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \sqrt{3} } $

Cara II : Menggunakan Rumus pengurangan sudut
*). Nilai sin 15 derajat,
$ \begin{align} \sin (A – B) & = \sin A \cos B – \cos A \sin B \\ \sin 15^\circ & = \sin (45^\circ – 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ – \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} – \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6} – \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}(\sqrt{6} – \sqrt{2} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 15^\circ = \frac{1}{4}(\sqrt{6} – \sqrt{2} ) $

*). Nilai cos 15 derajat,
$ \begin{align} \cos (A – B) & = \cos A \cos B + \sin A \sin B \\ \cos 15^\circ & = \cos (45^\circ – 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6} + \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 15^\circ = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) $

Kenapa hasil cara I dan cara II kelihatannya berbeda? Sebenarnya nilainya sama saja ialah $ \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } = \frac{1}{4}(\sqrt{6} – \sqrt{2} ) \, $ dan $ \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \sqrt{3} } = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) $ . Untuk membuktikannya, silahkan kuadratkan saja, niscaya diperoleh nilai yang sama menyerupai berikut ini.
$ [\frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} }]^2 = \frac{1}{4}(2- \sqrt{3}) $
$ [\frac{1}{4}(\sqrt{6} – \sqrt{2} )]^2 = \frac{1}{16}( 6 + 2 – 2\sqrt{12} ) = \frac{1}{16}( 8 – 4\sqrt{3} ) = \frac{1}{4}(2- \sqrt{3}) $
Setelah dikuadratkan kedua bentuk $ \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } \, $ dan $ \, \frac{1}{4}(\sqrt{6} – \sqrt{2} ) \, $ memperlihatkan hasil yang sama, ini artinya meskipun mereka berbeda penyajian tenamun nilainya sama. Untuk mengambarkan nilai keduanya sama, sanggup juga teman-teman gunakan konsep dasar akar dalam akar yang sanggup dibaca pada artikel “Bentuk Akar pada Eksponen“.